2025年中考数学真题分类汇编27：锐角三角函数（10大考点，精选62题）（教师版）

这是一份2025年中考数学真题分类汇编27：锐角三角函数（10大考点，精选62题）（教师版），共32页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·天津·中考真题）tan45°−2cs45°的值等于（ ）
A．0B．1C．1−22D．1−2
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．
【详解】解：tan45°−2cs45°=1−2×22=0
故选：A．
2．（2025·广东·中考真题）计算20−2sin30°的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：20−2sin30°
=1−2×12
=1−1
=0，
故答案为：0．
3．（2025·北京·中考真题）计算：−3+27+12−1−2sin30°．
【答案】4+33
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．
【详解】解：−3+27+12−1−2sin30°
=3+33+2−2×12
=4+33．
4．（2025·青海·中考真题）计算：12+(1−2)0+−3−2sin30°
【答案】33
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算．
【详解】解：12+(1−2)0+−3−2sin30°
=23+1+3−2×12
=33．
5．（2025·四川南充·中考真题）计算：π−20250+8−4sin45°−12−1+−2．
【答案】1
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值．
【详解】解：原式=1+22−4×22−2+2
=1+22−22−2+2
=1．
6．（2025·云南·中考真题）计算：π−20−32+−6+15−1−2cs60°．
【答案】8
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：π−20−32+−6+15−1−2cs60°
=1−3+6+5−2×12
=1−3+6+5−1
=8．
7．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)12−2cs30°+π+10；
(2)aa+2−a3÷a．
【答案】(1)3+1
(2)2a
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式=23−2×32+1
=23−3+1
=3+1．
（2）解：原式=a2+2a−a2
=2a．
8．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：2sin60°+3.14−π0−327+12−1；
（2）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷a+2+52−a，其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
【答案】（1）3
（2）a−3a+3，−12
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：（1）原式=2×32+1−3+2
=3+1−3+2
=3；
（2）a2−6a+9a−2÷(a+2+52−a)
=(a−3)2a−2÷(a+2)(a−2)−5a−2
=(a−3)2a−2⋅a−2a2−9
=(a−3)2a−2⋅a−2(a+3)(a−3)
=a−3a+3，
∵a是使不等式a−12≤1成立的正整数，
∴a≤3且a为正整数，
∴a=1，2，3，
又∵a−2≠0，(a+3)(a−3)≠0，
∴a≠2，3，−3，
∴a=1，
当a=1时，原式=1−31+3=−12．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
考点2正弦的有关计算
9．（2025·云南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=13, BC=5，则sinA=（ ）
A．15B．112C．113D．513
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=13, BC=5，
∴在Rt△ABC中，sinA=BCAB=513，
故选：D．
10．（2025·广西·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sinB=（ ）
A．710B．37C．310D．17
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，
∴sinB=ACAB=37．
故选：B
11．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（ ）
A．223B．3C．24D．13
【答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵BC长为10米，斜道AC长为30米，
∴根据题意得：sinA=1030=13，
故选：D
考点3余弦、正切的有关计算
12．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cs∠OAB的值为 ．
【答案】45/0.8
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，由OC=x，
∴OH=x−2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH=BH=12AB=4，
在Rt△OAH中，
由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+x−22=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cs∠OAB=AHOA=45．
故答案为：45．
13．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（ ）
A．1010B．13C．31010D．23
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明△AGD∽△FGE，得到EGED=14，然后过点G作GH⊥BC，得到△GHE∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例分别求出HE，GH的长，进而求出CH的长，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，E，F是BC边上的三等分点，AB=8，BC=12，
∴AD=BC=12，CD=BC=8，AD∥BC，BE=EF=FC=4，EC=8，
∴△AGD∽△FGE，
∴EGDG=EFAD=412=13，
∴EGED=14，
过点G作GH⊥BC，则GH∥CD，
∴△GHE∽△DCE，
∴EHEC=GHCD=EGDE=14，
∴EH=14EC=14×8=2，GH=14CD=14×8=2，
∴CH=CE−EH=8−2=6，
∴tan∠GCF=GHCH=26=13；
故选：B．
14．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，∠MON=60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO= ．（结果保留根号）
【答案】55
【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接AB，交OC于点D，先得出OC垂直平分AB，再证出△AOB是等边三角形，则可得BD=1，然后利用勾股定理可得CD=5，最后根据角的正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，连接AB，交OC于点D，
由题意得：OA=OB=2，AC=BC=6，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB,BD=12AB，
∵∠MON=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
∴BD=1，
∴CD=BC2−BD2=5，
∴在Rt△BCD中，tan∠BCO=BDCD=15=55，
故答案为：55．
15．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO= ．
【答案】22/122
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴，可证明△DBO∽△COA，得到S△DBOS△COA=OBOA2，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到S△BOD=−22=1，S△AOC=−42=2，则OBOA=22，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴，
∴∠BDO=∠ACO=90°，
∵AO⊥BO，
∴∠DOB+∠DBO=∠COA+∠DOB=90°，
∴∠DBO=∠COA，
∴△DBO∽△COA，
∴S△DBOS△COA=OBOA2，
∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，
∴S△BOD=−22=1，S△AOC=−42=2，
∴12=OBOA2，
∴OBOA=22，
∴tan∠BAO=OBOA=22，
故答案为：22．
16．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα= ．
【答案】49
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长AN，交直线BC于点E，设DN=xcm，则CN=CD−DN=9−xcm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN=∠AEF=α，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得：AD=BC=CD=9cm,∠D=90°,AD∥BC,AN∥FG，
设DN=xcm，则CN=CD−DN=9−xcm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为9−xcm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和，
∴9×99−x+12×9×9x=9×9×7，
解得x=4，
即DN=4cm，
∵AN∥FG，
∴∠AEF=∠F=α，
∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠AEF=α，
∴tanα=tan∠DAN=DNAD=49，
故答案为：49．
17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E,F在坐标轴上．若∠A=90°,tanB=12,A−4,3，则点G坐标为（ ）
A．11,−4B．10,−3C．12,−3D．9,−4
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OAAB，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK=8,AK=6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可．
【详解】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则：∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO,
∴∠BAK=∠AOH=90°−∠HAO，
∴△AHO∽△BKA，
∴AHBK=OHAK=OAAB，
∵∠A=90°,tan∠ABO=12,A−4,3，
∴OH=3,AH=4,OAAB=12，
∴4BK=3AK=12，
∴BK=8,AK=6，
∵平移，
∴OF=BK=8,OE=AK=6，
∴E6,0，
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，
∴将点O0,0先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，
∴G10,−3；
故选B．
考点4三角函数与几何性质计算
18．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBE的值为（ ）
A．23B．733C．523D．833
【答案】A
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设BC=x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB=2x,AC=3x，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到CDBD=ACAB，进而求出CD的长，勾股定理求出AD的长，等角的正弦值相等，得到CDAD=BEAB，求出BE的长，进而求出ADBE的长即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AB=2BC,AC=3BC，
设BC=x，则：AB=2x,AC=3x，
∵AD平分∠CAB，∠ACB=90°，
∴点D到AC,AB的距离相等均为CD的长，∠CAD=∠BAD，
∴S△ACDS△ABD=12AC⋅CD12AB⋅CD=CDBD，
∴CDBD=ACAB=32，
∴CD=32+3BC=23−3x，
∴AD=AC2+CD2=32−6x，
∵BE⊥AD，∠CAD=∠BAD，
∴sin∠CAD=sin∠BAD，
∴CDAD=BEAB，即：BE2x=23−332−6，
∴BE=6−22x，
∴ADBE=32−6x6−22x=23；
故选：A．
19．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（ ）
A．2B．2C．2+1D．22−1
【答案】B
【分析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠FDE=45°，而DE=22，可得DF=EF=DE⋅sin45°=2，求解CD=BC=22+2=BF，OB=12BD=2+2，证明OG=HG，Rt△OBG≌Rt△HBG，可得BH=BO=2+2，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，过G作GH⊥BC于H，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90°，∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，
由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，
∴∠DEF=∠FDE=45°，而DE=22，
∴DF=EF=DE⋅sin45°=2，
∴CD=BC=22+2=BF，
∴AC=BD=BF+DF=22+4，
∴OB=12BD=2+2，
∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，
∴OG=HG，
∵BG=BG，
∴Rt△OBG≌Rt△HBG，
∴BH=BO=2+2，
∴CH=BC−BH=2，
同理可得：CH=GH=2，
∴CG=2+2=2；
故选：B.
【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
20．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12B．83C．16D．123
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得∠ACB=60°，然后解直角三角形可得AB,AC,BF,DE，从而得到AF=23,AE=4，即可求解．
【详解】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴∠BCD=120°,∠A=90°，BC=CD=2，
∴∠ACB=60°，
∴AB=BC×sin∠ACB=2×32=3，AC=BC×cs∠ACB=2×12=1，
同理BF=3,DE=1，
∴AF=23,AE=4，
∴矩形的面积是AE×AF=4×23=83．
故选：B．
21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12．当BF最短时，则AE的长度为（ ）

A．5B．4C．25D．213
【答案】B
【分析】在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得GF和CG的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CAG=90°，
∵EF⊥CE，tan∠ECF=12，
∴tan∠ECF=EFCE=12，
∴EFCE=AGAC=12，
∵∠CEF=∠CAG=90°，
∴△CEF∽△CAG，
∴CFCG=CECA，∠ECF=∠ACG，
∴CFCE=CGCA，∠GCF=∠ACE，
∴△GCF∽△ACE，
∴∠CGF=∠CAE=90°，
∴∠ACG+∠AGC=90°，∠AGC+∠HGF=90°，
∴∠HGF=∠ACG，
∵tan∠ACG=AGAC=12，
∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），
延长HF，CB相交于点N，
∵∠ACB=∠CAH=∠AHN=90°，
∴四边形ACNH是矩形，
∴HN=AC=4，AH=CN，
∵BF⊥GF，∠CGF=90°，
∴BF∥CG，
∴∠FBN=∠GCN，
∵AH∥CN，
∴∠CGA=∠GCN，
∴∠FBN=∠CGA，
∵∠FNB=∠CAG=90°，
∴△FNB∽△CAG，
∴FNCA=BNGA，
∵AG=12AC，
∴FN=2BN，
设BN=x，则FN=2x，CN=5+x，
∴FH=4−2x，
∴AH=CN=x+5，
∴GH=(x+5)−2=x+3，
∵tan∠ACG=tan∠HGF，
∴AGAC=FHGH，
∴24=4−2xx+3，
解得x=1，
∴BN=1，FN=2，FH=2，GH=4，
∴GF=FH2+GH2=22+42=25，CG=AG2+AC2=22+42=25，
∵△GCF∽△ACE，
∴GFAE=GCAC，
∴25AE=254，
解得AE=4，
∴当BF最短时，则AE的长度为4．
故选：B．

【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段BF最短时的几何图形是解题的关键．
22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF=DC，则AF的长为（ ）
A．2109B．2105C．41015D．4109
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=CD=2，∠BCD=∠B=90°；由线段中点的定义得到AE=BE=12AB=1，由勾股定理求出CE=5，解直角三角形可得cs∠BEC=55，sin∠BEC=255；可证明∠GCD=∠BEC，解Rt△CDG得到CG=255，由三线合一定理得到CF=2CG=455，则EF=55；解Rt△EFH得到EH=15，FH=25，则AH=65，在Rt△AFH中，由勾股定理得AF=AH2+FH2，即可解题．
【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=BC=CD=2，∠BCD=∠B=90°；
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=12AB=1；
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE=BE2+BC2=12+22=5，
∴cs∠BEC=BECE=15=55，sin∠BEC=BCCE=25=255；
∵∠BEC+∠BCE=∠GCD+∠BCE=90°，
∴∠GCD=∠BEC，
∴cs∠GCD=cs∠BEC；
在Rt△CDG中，CG=CD⋅cs∠GCD=2×55=255，
∵DF=DC，DG⊥CE，
∴CF=2CG=455，
∴EF=CE−CF=5−455=55；
在Rt△EFH中，EH=EF⋅cs∠FEH=55×55=15，
FH=EF⋅sin∠FEH=55×255=25，
∴AH=AE+EH=1+15=65，
在Rt△AFH中，由勾股定理得AF=AH2+FH2=652+252=2105．
故选：B．
23．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB=43，则AF= ．
【答案】4
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出△ABC是等边三角形，就可以得知△ABE和△FBE都是含30°的直角三角形，解出三角形，即可求出AF的长．
【详解】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵菱形ABCD，
∴BC=AB=43，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠FBC=30°，
∵BE=12AB=12×43=23，
∴AE=3BE=3×23=6，EF=BE3=233=2，
∴AF=AE−EF=6−2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．
24．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠ABD=30°，则HG的长为 ．
【答案】233
【分析】如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN=12BE=2，HQ=12HN=1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE，HN=12BE=2，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴HQ=12HN=1，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴cs∠GHQ=cs30°=HQHG=1HG，
∴HG=1÷32=233；
故答案为：233
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
25．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB=OA，AC=3，则OA的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得△AOB是等边三角形；得出∠OAC=60°，根据OA=ACcs60°=6即可求解．
【详解】解：∵AB=OA，OA=OB，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形；
∴∠OAC=60°；
∵AC=3，
∴OA=ACcs60°=6，
故答案为：6．
26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN，当△BND为直角三角形时，则CM的长是 ．
【答案】6或8或9
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作DE∥BC交BC于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答．
【详解】解：过点D作DE∥BC交BC于点E，
①当∠DBN=90°时，如图（1），
∵△BAC,△DMN是等边三角形，∠DBN=90°，
∴∠ABC=∠DEB=∠MDN=∠BDE=60°，DM=DN，即△DBE是等边三角形，
∴BD=DE=BE=2,
∠NBE=∠DBN−∠DBE=30°，∠EDN+∠NDB=∠NDB+∠MDB=60°
∴∠EDN=∠BDM，
∴△DEN≌△DBM，
∴∠DEN=∠DBM=180°−60°=120°，BM=NE，
∴∠BEN=∠DEN−∠DEB=60°，
∴∠BNE=90°，
∴NE=12BE=1，即BM=1，
∴MC=BC+BM=7+1=8．
②当∠BDN=90°时，如图（2）
同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE=∠BDN−∠BDE=90°−60°=30°，
∴∠NED=∠MBD=60°，即∠DMB=∠DNE=90°，
∴BM=BDcs60°=2×12=1，
∴CM=BC−BM=6．
③当∠BND=90°时，如图（3）
同理可证△DBN≌△DEM， DE=BD=2,∠DEM=60°
∴∠DME=∠DNB=90°,
∴ME=DEcs60°=2×12=1．
∴CM=BC−BM=6．
④当∠BDN=90°时，如图（4）
同理可证△DBN≌△DME,DE=BD=BE=2,∠DEM=60°，
∴∠MDE=∠NDB=90°, BE=BC−BE=5，
∴ME=DEcs60°=212=4，
∴CM=ME+BE=9．
综上所述，CM的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
27．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】π3/13π
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得∠OAC=60°，根据题意得到AC=BD=1，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得∠OAC=60°，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．
【详解】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵半径为1，
∴AC=BD=1，
∴A点的纵坐标为1，
把y=1代入y=3x，求得x=3，
∴A3,1，
∴OC=3，AC=1，
∴tan∠OAC=OCAC=3，
∴∠OAC=60°，
∴第一象限中阴影的面积S1=60π×12360=π6，
同理，第三象限中阴影的面积S2=π6，
∴S阴影=π3．
故答案为：π3．
28．（2025·陕西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM=AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 ．
【答案】5
【分析】如图，在▱ABCD中，得出∠BAD=120°，根据△MNP是等边三角形，得出MP=NP=MN,∠MPN=60°，连接AP，证明△AMP≌△ANP，得出∠1=∠2=60°,∠3=∠4=30°，则∠AMP=90°，作∠BAD的平分线交BC于点E，证明△ABE是等边三角形，得出AB=AE=BE，根据∠BAE=∠1，得出直线AP和直线AE重合，确定点P在AE上运动，根据△MNP的面积=32MP2，得出MP最大时，△MNP的面积最大，当点P与点E重合时，△MNP的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得BM=AM=3，则AN=AM=3，得出DN=8−3=5．
【详解】解：如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°，
则∠BAD=180°−60°=120°，
∵△MNP是等边三角形，
∴MP=NP=MN,∠MPN=60°，
连接AP，
∵AM=AN,MP=NP,AP=AP，
∴△AMP≌△ANPSSS，
∴∠1=∠2=60°,∠3=∠4=30°，
∴∠AMP=180°−∠1−∠3=90°，
作∠BAD的平分线交BC于点E，
∵∠B=∠BAE=∠DAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵∠BAE=∠1，
∴直线AP和直线AE重合，
即点P在AE上运动，
∵△MNP的面积=MP⋅MPsin60°=32MP2，
则MP最大时，△MNP的面积最大，
根据题意可得当点P与点E重合时，MP最大，即△MNP的面积最大，
此时，如图，
则BM=AM=3，
∴AN=AM=3，
∴DN=8−3=5，
故答案为：5．
【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点P的轨迹是解题的关键．
29．（2025·四川成都·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，AD=3，CD=2，∠CBD=45°，则tan∠ACB的值为 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED=∠ABD，则CE的长为 ．
【答案】 4 2173/2173
【分析】作AH⊥BC,DG⊥BC,DF⊥AH，垂足分别为H,G,F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG=FH,DF=HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG=DG，三线合一得到BH=CH，∠ABC=∠ACB，证明△ADF∽△ACH，得到DFCH=ADAC=ADAD+CD=35，设DF=3x，CH=5x，求出DG,CG的长，正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值，证明△DEC∽△BED，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：作AH⊥BC,DG⊥BC,DF⊥AH，垂足分别为H,G,F，则四边形DFHG为矩形，
∴DG=FH,DF=HG，DF∥HG,DG∥AH，
∵∠DBC=45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BG=DG，
∵AB=AC，
∴BH=CH，∠ABC=∠ACB，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACH，
∴DFCH=ADAC=ADAD+CD=35，
∴设DF=3x，CH=5x，则：HG=DF=3x，BH=CH=5x，
∴DG=BG=BH+HG=8x,CG=CH−HG=2x，
∴BD=82x，
∴在Rt△CGD中，tan∠ACB=DGCG=8x2x=4，由勾股定理，得：2x2+8x2=22，
∴x=1717（负值舍去），
∴BD=82x=83417，BC=2CH=10x=101717，
∵∠CED=∠ABD，∠ACB=∠E+∠CDE,∠ABC=∠ABD+∠CBD，∠ABC=∠ACB，
∴∠CDE=∠CBD=45°，
又∵∠E=∠E，
∴△DEC∽△BED，
∴DEBE=CEDE=CDDB=283417=348，
∴DE=834CE，DE2=BE⋅CE=BC+CE⋅CE，
∴834CE2=101717+CE⋅CE，
解得：CE=0（舍去）或CE=2173；
故答案为：4，2173．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键．
30．（2025·重庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG=12，GF=5，则DF的长度为 ，EH的长度为 ．
【答案】 3 13413/13134
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．
由垂径定理以及勾股定理可得CG=GF=5，即CF=2CG=10、AC=13，由菱形的性质可得CD=AC=13，进而得到GD=8、DF=3、AD=413；如图：连接BC,BH， 由圆周角定理可得∠ACB=90°、∠AHB=90°，再解直角三角形可得AB=16912、AH=13413；由菱形的性质以及平行线的性质可得∠DAE=∠CDA，如图：过H作HM⊥AE于M，解直角三角形可得MH=394、AM=132，易得ME=132，最后根据垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB⊥CD，AG=12，GF=5，
∴CG=GF=5，即CF=2CG=10，
∴AC=AG2+CG2=122+52=13，
∵菱形ACDE，
∴CD=AC=13，
∴GD=CD−GC=13−5=8，DF=CD−CF=13−10=3；
∴AD=AG2+GD2=122+82=413
如图：连接BC,BH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠AHB=90°
∴cs∠CAB=AGAC=ACAB，即1213=13AB，
解得：AB=16912；
cs∠DAB=AGAD=AHAB，即12413=AH16912，
解得：AH=13413；
∵菱形ACDE，
∴CD∥AE，
∴∠DAE=∠CDA，
如图：过H作HM⊥AE于M，
∴sin∠DAE=sin∠GDA,cs∠DAE=cs∠GDA，
∴MHAH=AGAD,AMAH=GDAD，
∴MH13413=12413,AM13413=8413，
∴MH=394，AM=132，
∴ME=AE−AM=13−132=132，
∴AM=ME，
∴HM垂直平分AE，
∴EH=AH=13413．
故答案为：3；13413．
31．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ．
【答案】4π3
【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，证明△AQH∽△PFA，进而得到AH=12AP=2，进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点E运动到点C时，点Q的运动轨迹是圆心角为60°的AQ，求出两段路径的和即可得出结果．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵翻折，
∴AP=AB=4，
当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，则：∠AQH=90°=∠BAD，
∴∠AHQ=∠PAF=90°−∠HAQ，
∵PF⊥AD，
∴∠PFA=90°=∠AQH，
∴△AQH∽△PFA，
∴AHAP=AQPF，
∵AQ=12PF，
∴AHAP=AQPF=12，
∴AH=12AP=2，
∴点Q在以AH为直径的圆上运动，
∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，
∴点Q的运动路径长为：12×2π=π；
当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K，
同法可得：△AKQ∽△PAF，AK=12AP=2，
∴∠AKQ=∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙O上运动，连接OQ，
当点E运动到点C时，如图：
∵AB=4,BC=43，∠B=90°，
∴tan∠BAC=BCAB=3，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAD−∠BAC=30°，
∵折叠，
∴∠PAC=∠BAC=60°，
∴∠PAF=∠PAC−∠CAD=30°，
∴∠AKQ=∠PAF=30°，
∴∠AOQ=2∠AKQ=60°，
∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ，路径长为60π180×1=π3，
∴点Q的运动路径总长为：π+π3=4π3；
故答案为：4π3
【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点Q的运动轨迹，是解题的关键．
32．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 ．
【答案】254或112
【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当∠APC−∠C=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得到BD=CD=4，证明△ADB∽△PAB，得到ABBP=BDAB，即可求出BP的长；②当∠APC−∠CAP=90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，由等角对等边得到AM=PM，再证明△CMP∽△CAD，设CP=x，进而得出PM=34x，CM=54x，根据AC=AM+CM=PM+CM求出x的值，即可求出BP的长；③当∠CAP=∠C+90°时，利用锐角三角函数，得出∠C>30°，∠BAC∠B，
∴∠APC>∠C，
若△APC为“反直角三角形”，
①当∠APC−∠C=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=12BC=4，
∴AD=AB2−BD2=3，
∵∠B=∠C，
∴∠APC−∠B=∠BAP=90°，
∵∠B=∠B，∠ADB=∠PAB=90°，
∴△ADB∽△PAB，
∴ABBP=BDAB，
∴5BP=45，
∴BP=254；
②当∠APC−∠CAP=90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，
∴∠APC−∠APM=∠CPM=90°，
∴∠CAP=∠APM，
∴AM=PM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴PM∥AD，
∴△CMP∽△CAD，
∴CPCD=PMAD=CMAC，
设CP=x，则BP=8−x，
∴x4=PM3=CM5，
∴PM=34x，CM=54x，
∴AC=AM+CM=PM+CM=34x+54x=5，
∴x=52，
∴BP=8−52=112；
③当∠CAP=∠C+90°时，
∵sin∠C=ADCC=35，sin30°=12，且35>12，
∴∠C>30°，
∴∠BAC120°，即∠CAP>∠BAC，
∴此种情况不存在；
④当∠CAP=∠APC+90°时，
∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC=∠B>30°，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，BP的长为254或112，
故答案为：254或112．
33．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1−12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0−12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：sin15°=6−24，sin75°=6+24）
【答案】6+22
【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD=75°，解直角三角形求出BD=6+24，然后利用三线合一求解即可．
【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，
∵其中数字1−12对应的点均匀分布在一个圆上，
∴360°÷12=30°
∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴∠OAB=∠OBA=12180°−∠AOB=15°
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴sin∠BOD=sin75°=BDOB，即6+24=BD1
∴BD=6+24
∵OA=OB，OD⊥AB
∴AB=2BD=6+22．
∴这条线段的长为6+22．
故答案为：6+22．
【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
考点5锐角三角函数解三角形
34．（2025·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD,OE
(1)求证：OD⊥OE．
(2)若AB=BC,OB=3，求四边形ODCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3+32
【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据等边对等角导角得到OD∥AC，再结合圆的切线性质得到∠DOE=∠AEO=90°，即可证明垂直；
（2）先得到△ABC是等边三角形，则∠A=60°，解Rt△AOE求出AO,AE，根据AE+EC=AO+OB，求出EC，再由梯形面积公式求解．
【详解】（1）证明：由题意得OD=OB=OE，
∴∠ODB=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠DOE=∠AEO=90°，
∴OD⊥OE；
（2）解：∵AB=BC，AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵OE⊥AC，OD=OB=OE=3，
∴AE=OEtanA=33=1，AO=OEsinA=332=2，
∴AC=AB=AO+OB=2+3，
∴EC=AC−AE=2+3−1=1+3，
∴四边形ODCE的面积为：12OD+EC×OE=121+3+3×3=3+32．
35．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°，AB=CE=12cm．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．
①求线段AD的长；（结果保留根号）
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）∠AFD=15°，AD=62−43cm；（2）①AD=6+23cm；②AB⊥DE，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ABC=45°，再求出∠CDE=60°，然后根据三角形的外角性质即可得∠AFD=15°；最后根据解直角三角形可得AC,CD的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点C作CG⊥DE，垂足为G，先解直角三角形可得CG,DG的长，再利用勾股定理可得AG的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得∠CAG=∠ACG=45°，则可得∠DAB=90°，由此即可得．
【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°，
∴∠CDE=60°，
∴∠AFD=∠CDE−∠A=60°−45°=15°；
在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin∠ABC=12×22=62cm，
在Rt△CDE中，CD=CE⋅tanE=12×33=43cm，
∴AD=AC−CD=62−43cm．
（2）①如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
∵△CDG中，∠CGD=90°,∠CDE=60°,CD=43cm，
∴DG=CD⋅cs∠CDE=23cm,CG=CD⋅sin∠CDE=6cm．
∵△CGA中，∠CGA=90°,CA=62cm,CG=6cm．
∴AG=AC2−CG2=6cm，
∴AD=AG+DG=6+23cm．
②AB⊥DE，理由如下：
∵在Rt△CGA中，∠CGA=90°,AG=CG=6cm，
∴∠CAG=∠ACG=45°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAG+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AB⊥DE．
36．（2025·山东威海·中考真题）问题提出
已知∠α，∠β都是锐角，tanα=12，tanβ=13，求∠α+∠β的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα=23，tanβ=32，则∠α+∠β=___________°；
（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα=13，tanβ=17，∠α+∠β=∠θ，求tanθ的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
【答案】（1）45°；（2）90；（3）tanθ=12．
【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问题．
（1）连接BC，利用等腰直角三角形的性质求解；
（2）构造等腰直角三角形ABC可得结论；
（3）构造直角三角形DGF可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，连接BC，
∵AB=BC=12+22=5，AC=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠α+∠β=45°；
（2）如图中，连接BC，
由题意，tanα=tan∠BAD=23，tanβ=tan∠DAC=32，
∵AB=AC=22+32=13，BC=12+52=26，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠α+∠β=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
故答案为：90；
（3）如图中，
由题意知，tanα=tan∠GDH=13，tanβ=tan∠HDF=17，
∴∠α=∠GDH,∠β=∠HDF，
∵∠α+∠β=∠θ，
∴∠θ=∠GDH+∠HDF=∠GDF，
∵DG=22+62=210，GF=12+32=10，DF=12+72=52，
∴DG2+GF2=DF2，
∴△DGF是直角三角形，
tanθ=tan∠GDF=GFDG=10210=12．
37．（2025·北京·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC．
(1)求证：四边形DFCG是矩形；
(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=8，AC=210
【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，则可证明四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥BC，即可证明平行四边形DFCG是矩形；
（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，则BC=BF+CF=8；由线段中点的定义可得AB=2BD=62；过点A作AH⊥BC于H，解Rt△ABH得到AH=6，BH=6，则CH=BC−BH=2，再利用勾股定即可求出AC的长．
【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF，即DG∥CF，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴平行四边形DFCG是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF=DG=5；
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中，∠B=45°，DF=3，
∴BD=DFsinB=3sin45°=32，BF=DFtanB=3tan45°=3，
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴AB=2BD=62；
如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，AH=AB⋅sinB=62⋅sin45°=6，BH=AB⋅csB=62⋅cs45°=6，
∴CH=BC−BH=2，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AC2=AH2+CH2=62+22=210．
考点6三角函数与圆的计算与证明
38．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．
(1)求证：∠ADB=∠AOP；
(2)延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP=12，求DE的长．
【答案】(1)见解析；
(2)DE长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得OP平分∠AOB，利用圆周角定理得∠ADB=12∠AOB，等量代换即可证明；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得DE长．
【详解】（1）证明：∵ AP，BP分别切⊙O于A点，B点，
∴ OP平分∠AOB，
∴ ∠AOP=12∠AOB，
又∵ AB=AB，
∴ ∠ADB=12∠AOB，
∴ ∠ADB=∠AOP．
（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF=90°，
∵ AP，BP分别切⊙O于A点，B点，
∴PA⊥OA，
∵C为OP的中点，
∴PC=OC，
∴AC=OC=12OP，
又∵ AP=10，tan∠AOP=12，
∴ AO=APtan∠AOP=20，
OP=AO2+AP2=202+102=105，
AC=OC=12OP=55，AF=2AO=40，
∵AC=OC，
∴∠CAO=∠AOC，
又∵∠PAO=∠ADF=90°，
∴POAO=FADA，
∴DA=20105×40=165，CD=DA−AC=115，
∵∠AOP=∠ADB，∠ACO=∠ECD，
∴△ACO∽△ECD，
∴AOED=COCD，
∴DE=11555×20=44．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
39．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
(1)求证：∠ADB=∠AEC；
(2)若AB=4，cs∠AEC=53，求OD的长．
【答案】(1)见解析
(2)OD=26．
【分析】（1）由切线的性质求得∠ABD=90°，由圆周角定理求得∠ACB=90°，利用同角的余角相等求得∠ADB=∠ABC，再利用圆周角定理即可证明结论成立；
（2）由（1）得∠ADB=∠ABC=∠AEC，求得BDAD=BCAB=53，求得BC=453，利用勾股定理求得AC=83，证明△ADB∽△ABC，求得AD=6，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADB=90°−∠DBC=∠ABC，
∵AC=AC，
∴∠AEC=∠ABC，
∴∠ADB=∠AEC；
（2）解：由（1）得∠ADB=∠ABC=∠AEC，
∴cs∠ADB=cs∠ABC=cs∠AEC，
∴BDAD=BCAB=53，
∵AB=4，
∴BC=453，
∴AC=AB2−BC2=42−4532=83，
∵∠ADB=∠ABC，∠ABD=∠ACB=90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴ABAD=ACAB，即4AD=834，
解得AD=6，
∴BD2=AD2−AB2=36−16=20，
∵OB=12AB=2，
∴OD=OB2+BD2=22+20=26．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
40．（2025·陕西·中考真题）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F=45°．
(1)求证：AB=AC；
(2)若sinA=35，AB=8，求DG的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)DG=1227
【分析】（1）如图，连接OD，证明OD⊥AB，∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD，可得AB∥EF，进一步证明∠B=∠C，可得AB=AC；
（2）求解AC=8，设⊙O的半径为r，结合sinA=35，可得ODAO=r8−r=35，可得：r=3，AD=AO2−DO2=4，求解DF=32+32=32，证明△OFG∽△ADG，可得FGDG=OFAD=34，进一步可得答案.
【详解】（1）解：如图，连接OD，
∵以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠F=45°，
∴∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD，
∴AB∥EF，
∴∠OEC=∠B，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：∵AB=8，AB=AC，
∴AC=8，
设⊙O的半径为r，
∴AO=8−r，OD=r，而∠ADO=90°，sinA=35，
∴ODAO=r8−r=35，
解得：r=3，
∴OF=OD=3，AO=5，AD=AO2−DO2=4，
∵OD⊥EF，则∠DOF=90°，
∴DF=32+32=32，
∵EF∥AB，
∴△OFG∽△ADG，
∴FGDG=OFAD=34，
∴DG=43+4DF=47×32=1227.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
41．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC,BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点F．
(1)求证：BE∥CD；
(2)若sinD=23，BD=1，求半圆O的半径及EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)半圆O的半径为2，EF=8515
【分析】（1）连接OC，切线得到OC⊥CD，等边对等角得到∠OAC=∠OCA，圆周角定理得到∠EBC=∠CAO,∠ACB=90°，同角的余角得到∠OCA=∠BCD，等量代换得到∠CBE=∠BCD，即可得证；
（2）连接AE，设半圆O的半径为r，解直角三角形OCD，求出半径的长，进行求出AB的长，平行得到∠ABE=∠D，解直角三角形ABE，求出AE，BE的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到AEAB=EFBF，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接OC，则：OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OCA=∠BCD，
∴∠CAB=∠BCD，
∵EC=BC，
∴∠CAE=∠CAB=∠BCD，
∵∠CAB=∠EBC，
∴∠EBC=∠BCD，
∴BE∥CD；
（2）设半圆O的半径为r，则OC=OB=r，
∵BD=1，
∴OD=r+1，
∵OC⊥CD，
∴sinD=OCOD=rr+1=23，
∴r=2，即：半圆O的半径为2；
∴AB=2r=4，
连接AE，则：∠AEB=90°，
∵BE∥CD，
∴∠ABE=∠D，
∴sin∠ABE=sinD=AEAB=AE4=23，
∴AE=83，
∴BE=AB2−AE2=453，
∵EC=BC，
∴∠EAF=∠BAF，
∴AF平分∠BAE，
∴F到AE,AB的距离相等，都等于EF的长，
∴S△AEFS△ABF=12AE⋅EF12AB⋅EF=EFBF，
∴EFBF=AEAB=23，
∴EFBE=25，
∴EF=25BE=8515．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
42．（2025·天津·中考真题）已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=80°,OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．
(1)如图①，求∠CED的大小；
(2)如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长．
【答案】(1)∠CED=20°
(2)33
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接OC，切线的性质得到OC⊥AB，三线合一，求出∠BOC的度数，圆周角定理求出∠CED的度数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到∠EDF=∠EFG−∠FED=60°，直径得到∠GED=90°，解Rt△GED，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接OC．
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB．又OA=OB，
∴OC平分∠AOB．
∴∠COB=12∠AOB．
∵∠AOB=80°，
∴∠COB=40°．
在⊙O中，∠CED=12∠COD，
∴∠CED=20°．
（2）由（1）知：∠CED=20°．
∵EC∥OA，
∴∠EFG=∠AOB=80°．
∵∠EFG为△DEF的一个外角，
∴∠EDF=∠EFG−∠FED=60°．
由题意，DG为⊙O的直径，
∴∠GED=90°．
又⊙O的半径为3，则：DG=6．
在Rt△GED中，cs∠EDG=EDDG,sin∠EDG=EGDG，
∴ED=6cs60°=3,EG=6sin60°=33．
43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键：
（1）连接OC，圆周角定理，得到∠ACB=90°，进而得到∠A+∠ABC=90°，等边对等角，得到∠ABC=∠OCB，结合∠BCD=∠A，推出∠OCD=90°，即可得证；
（2）根据线段之间的数量关系求出sinD=BEDE=OCOD=13，进而求出DE的长，勾股定理求出BD的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴BD=AB=2OC．
∵OB=OC，
∴OD=OB+BD=3OC．
∴OCOD=13
∵BE⊥AD，
∴∠DBE=90°．
又∵∠OCD=90°，
∴sinD=BEDE=OCOD=13．
∴DE=3BE=9．
在Rt△DBE中BD=DE2−BE2=92−32=62．
∴OC=32．
即⊙O半径为32．
44．（2025·山东威海·中考真题）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作，DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD=BE,BD=AF．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若AP=4，sin∠C=23，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)455
【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接OB，证明Rt△DEB≌Rt△FAD，则∠3=∠4，而OA=OB，则∠1=∠2，由于PA是⊙O的切线，则∠OAP=∠1+∠3=90°，再由等式的性质即可证明；
（2）可得sinC=APPC=OBOC=23，设OB=2x,OC=3x，则BC=5x，OA=OB=2x，由切线长定理得到PB=PA=4，则44+5x=23，求出x，即可求解半径．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠1+∠3=90°
∵DF⊥AB，DE⊥BP，
∴∠ADF=∠BED=90°，
∵AD=BE,BD=AF，
∴Rt△DEB≌Rt△FADHL，
∴∠3=∠4，
∵OA=OB
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OBP=∠2+∠4=90°，
即OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OB⊥BP，∠OAP=90°，
∴sinC=APPC=OBOC=23，
设OB=2x,OC=3x，
∴BC=OC2−OB2=5x，OA=OB=2x，
∵PB是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，
∴PB=PA=4，
∵sinC=APPC=23
∴44+5x=23，
解得：x=255，
∴半径为255×2=455．
45．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD=12∠AOB．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠E=12∠AOB，推出∠BCD=∠E，根据等边对等角，推出∠OAE=∠BCD，根据直径得到∠BAE=90°，进而得到∠BAO+∠EAO=90°，继而得到∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到OF=12OB，根据OF+OE=EF=3,OB=OE，得到12OB+OB=3，求出OB的长，证明▱ABCO是菱形，得到△BOC为等边三角形，进而得到∠BOC=60°，解Rt△ODC，求出CD的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接AE，
∵∠BCD=12∠AOB，∠E=12∠AOB，
∴∠BCD=∠E．
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠E，
∴∠OAE=∠BCD．
∵ BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，即∠BAO+∠OAE=90°．
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC．
∵ OC为⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线．
（2）解：如图2，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OF=12OB．
又∵OF+OE=EF=3,OB=OE，
∴12OB+OB=3，
∴OB=2．
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形，
∴BC=OC=OB=2．
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°．
∴在Rt△ODC中，DC=OC⋅tan∠DOC=2×tan60°=23．
46．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F、点D是EB延长线上的一点且∠BCD=12∠AOB．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3．求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠E=12∠AOB，推出∠BCD=∠E，根据等边对等角，推出∠OAE=∠BCD，根据直径得到∠BAE=90°，进而得到∠BAO+∠EAO=90°，继而得到∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到OF=12OB，根据OF+OE=EF=3,OB=OE，得到12OB+OB=3，求出OB的长，证明▱ABCO是菱形，得到△BOC为等边三角形，进而得到∠BOC=60°，解Rt△ODC，求出CD的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接AE，
∵∠BCD=12∠AOB，∠E=12∠AOB，
∴∠BCD=∠E．
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠E，
∴∠OAE=∠BCD．
∵ BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，即∠BAO+∠OAE=90°．
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC．
∵ OC为⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线．
（2）解：如图2，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OF=12OB．
又∵OF+OE=EF=3,OB=OE，
∴12OB+OB=3，
∴OB=2．
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形，
∴BC=OC=OB=2．
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°．
∴在Rt△ODC中，DC=OC⋅tan∠DOC=2×tan60°=23．
考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题
47．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
【答案】无人机离湖面的高度为153+15米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，根据题意得出BD=x，AD=30+x，在Rt△ACD中，根据tan∠CAD=CDAD，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
依题意∠CAD=30°,∠CBD=45°
设CD=x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°
∴BD=CDtan45°=x，
∵AB=30
∴AD=AB+BD=30+x，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD
∴33=xx+30
解得：x=153+15
答：无人机离湖面的高度为153+15米
48．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
【答案】该城市规划展览馆AB的高度为77m；3D打印模型的高度约为19cm
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．
任务二：先由矩形BECD得到BE=CD=1.4m，CE=BD=42m，然后解Rt△AEC即可；
任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．
【详解】解：任务二：由题意得BECD为矩形，
∴BE=CD=1.4m，CE=BD=42m，
∵在Rt△AEC中，tan∠ACE=AECE
∴AE=CE×tan61°=42×1.804≈76m，
∴AB=AE+BE=76+1.4≈77m，
答：该城市规划展览馆AB的高度为77m；
任务三：设3D打印模型的高度约为xcm，
则由题意得：x7700=1400，
解得：x≈19cm，
答：3D打印模型的高度约为19cm．
49．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE=1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cs72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）
【答案】信号杆的高AB为16m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出∠DBH=∠BDE=72.5°，再在Rt△DBH中，运用HD=BD×sin72.5°，BH=BD×cs72.5°，代入数值进行计算，得出HD,BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI=HD=20.9m，根据∠AEI=45°，∠AIE=90°，得∠EAI=45°，AI=EI=20.9m，把数值代入AB=AI+IH−BH进行计算，即可作答．
【详解】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵AB，DE均与水平线FC垂直．
∴DE∥AC,
∴∠DBH=∠BDE=72.5°，
∵DH⊥AC
∴∠DHI=90°
在Rt△DBH中，BD=22m,sin72.5°=DHBD，
则HD=BD×sin72.5°=22×0.95=20.9m，
在Rt△DBH中，BD=22m,cs72.5°=BHBD，
则BH=BD×cs72.5°=22×0.30=6.6m，
∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC,
∴∠EDH=∠DHI=∠HIE=90°，
∴四边形EDHI是矩形
∴EI=HD=20.9m，
∵∠AEI=45°，∠AIE=90°，
∴∠EAI=45°，
∴AI=EI=20.9m，
∴AB=AI+IH−BH=20.9+1.7−6.6=16m，
信号杆的高AB为16m．
50．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB=13.20m，求AD的长（精确到0.1m）．参考数据：sin23.8°≈0.40，cs23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
【答案】37.5m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则四边形ABCE为矩形，可得CE=AB=13.20m，解Rt△ACE求出AE的长，再解Rt△ADE求出AD的长即可得到答案．
【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E．
∵线段AB和CD都与地面垂直，
∴四边形ABCE为矩形，
∴CE=AB=13.20m．
在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，
∴AE=CEtan∠CAE=13.20tan23.8°≈．
在Rt△ADE中，cs∠DAE=AEAD，
AD=AEcs∠DAE=30.0cs36.9°≈．
答：AD的长为37.5m．
51．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD=EF=1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE=32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．
【答案】世纪钟建筑AB的高度约为40m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长DF与AB相交于点G，在Rt△FGB和Rt△DGB中，分别求得GF=GBtan31°和GD=GBtan22°，再根据GF+DF=GD，列式计算求解即可．
【详解】解：如图，延长DF与AB相交于点G，
根据题意，可得DG∥CA，
有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB=90°，AG=EF=CD=1.7，DF=CE=32，
在Rt△FGB中，tan∠GFB=GBGF，
∴GF=GBtan31°，
在Rt△DGB中，tan∠GDB=GBGD，
∴GD=GBtan22°．
∵GF+DF=GD，
∴GBtan31°+32=GBtan22°．
∴GB=32×tan22°tan31°tan31°−tan22°≈32×0.4×0.60.6−0.4=38.4．
∴AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40．
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m．
52．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：
sin8.5°≈0.15，cs8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，则EF=AD=26，AD∥EF，所以∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°，设BE=CF=x米，则CE=(26−x)米，BC=(26−2x)米，然后通过AE=BE⋅tan∠ABE=x⋅tan37°， AE=CE⋅tan∠ACE=26−x⋅tan8.5°， 列出方程x⋅tan37=26−x⋅tan8.5°， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，
∴EF=AD=26，AD∥EF，
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°，
设BE=CF=x米，则CE=(26−x)米，BC=(26−2x)米，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠AEB=90°，tan∠ABE=AEBE，
∴AE=BE⋅tan∠ABE=x⋅tan37°，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=AECE，
∴AE=CE⋅tan∠ACE=26−x⋅tan8.5°，
∴x⋅tan37=26−x⋅tan8.5°，解得x≈133，
∴BC=26−2×133≈17（米），
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
53．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
【答案】2.02m
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，则FG=AB=AD+BD=14m，NG=AH=AD+DB+BH=27.5m，然后分别解Rt△EFG求出EG，解Rt△MNG求出MG，再由EM=EG−MG即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
∴FG=AB=AD+BD=10+4=14m，NG=AH=AD+DB+BH=4+10+13.5=27.5m，
∵在Rt△EFG中，tan∠EFG=EGFG，
∴tan43°=EG14≈0.93，
∴EG=14×0.93=13.02m，
在Rt△MNG中，tan∠MNG=MGNG，
∴tan21.8=MG27.5≈0.40，
∴MG=11m，
∴EM=EG−MG=13.02−11=2.02m，
答：校徽的高度为2.02m．
54．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1=45°，∠2=52°，∠3=65°，CD=10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）
【答案】大楼的高度AB约为29m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH=CD=10m,CG=DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG=AG，设CG=AG=DH=xm，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，
∴GH=CD=10m,CG=DH，
∵∠1=45°，
∴CG=AG，
设CG=AG=DH=xm，
在Rt△BCG中，∠2=52°，
∴BG=CG⋅tan52°≈1.3xm，
在Rt△BDH中，∠3=65° ，
∴BH=DH⋅tan65°≈2.1xm，
∴GH=BH−BG=2.1x−1.3x=10，
∴x=12.5，
∴AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29m，
答：大楼的高度AB约为29m．
55．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物AD, BC，其中BC=18m．从A, B之间的E点（A, E, B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．
(1)求∠CDE的度数；
(2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】(1)45°
(2)27+93m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC=90°，利用三角形内角和定理分别求出∠CDH，∠ADE的度数即可得到答案；
（2）过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，求出∠DET=45°，则可求出∠CET=30°；解Rt△BCE得到CE=36m，解Rt△CTE得到CT=18m，ET=183m，则解Rt△DET可得DT=183m，则CD=DT+CT=18+183m，解Rt△DCH可得DH=9+93m；再证明四边形ABCH是矩形， 得到AH=BC=18m ，则AD=AH+DH=27+93m.
【详解】（1）解：如图所示，过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC=90°，
由题意得，∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90°，
∴∠CDH=180°−∠DCH−∠DHC=60°，∠ADE=180°−∠AED−∠DAE=15°，
∴∠CDE=∠CDH−∠ADE=45°；
（2）解：如图所示，过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，
∴∠DET=90°−∠EDT=45°，
∴∠CET=180°−∠AED−∠DET−∠BEC=30°；
在Rt△BCE中，CE=BCsin∠BEC=18sin30°=36m，
在Rt△CTE中，CT=CE⋅sin∠CET=36⋅sin30°=18m，
ET=CE⋅cs∠CET=36⋅cs30°=183m，
在Rt△DET中，DT=ETtan∠EDT=183tan45°=183m，
∴CD=DT+CT=18+183m，
在Rt△DCH中，DH=CD⋅sin∠DCH=18+183⋅sin30°=9+93m；
∵CH⊥AD，AD⊥AB，BC⊥AB，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH=BC=18m ，
∴AD=AH+DH=27+93m；
答：建筑物AD的高度为27+93m
56．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
(1)制作工具
如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．
(2)获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W=90°，∠WVZ=14.5°，VW=10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW=5.1°，∠XVY=4.0°，量得YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm，则tan5.1°≈___________，tan9.1°≈ ___________，tan14.5°≈ ___________（结果保留小数点后两位）．
(3)计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
(4)反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】(1)见解析
(2)0.09，0.16，0.26
(3)50米
(4)见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=30−x米，解直角三角形得出30−x0.16=x0.09，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
【详解】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM∥HK，
∴∠IQM=∠H=90°，
又∵OG∥HI，
∴∠MOG=∠IQM=90°，
∴OG⊥QM；
（2）解：∵在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YWVM=0.9110≈0.09；
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm，
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴tan9.1°=tan∠XVW=XWVM=1.6110≈0.16；
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm，
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴tan14.5°=tan∠ZVW=ZWVM=2.5510≈0.26；
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=25−15×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF−EU=30−x米，
∵tan∠EPU=EUPE=xPE=tan5.1°≈0.09，tan∠FDU=FUDF=30−xDF=tan9.1°≈0.16，
∴PE=x0.09，DF=30−x0.16，
∴30−x0.16=x0.09，
解得：x=10.8，
∴FU=30−10.8=19.2米，PE=DF=米，
∵tan∠TDF=TFDF=TF120=tan14.5°≈0.26，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米；
（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
考点8锐角三角函数的应用：方向角问题
57．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB=800m．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)30°
(2)1200−4003m
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）由题意可得∠CBE=60°,∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM⊥DM，BE∥AF∥DM．从而得出∠BCM=∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30，根据∠ACB=∠BCM−∠ACM即可求解．
（2）根据∠CBE=60°，得出∠CBM=30°．由（1）得∠ACB=30°．则∠ABC=∠ACB=30°，故AB=AC=800．在Rt△ACM中，解直角三角形求出AM，CM，从而求出BM．再根据∠BDM=45°,BM⊥DM，求出DM=BM=1200，即可求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可得∠CBE=60°,∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM⊥DM，BE∥AF∥DM．
∴∠BCM=∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30°．
∴∠ACB=∠BCM−∠ACM=60°−30°=30°．
（2）解：∵∠CBE=60°，
∴∠CBM=90°−∠CBE=90°−60°=30°．
由（1）得∠ACB=30°．
∴∠ABC=∠ACB=30°．
又∵AB=800，
∴AB=AC=800．
在Rt△ACM中，sin∠ACM=AMAC，cs∠ACM=CMAC，
∴AM=AC⋅sin∠ACM=800×sin30°=800×12=400，
CM=AC⋅cs∠ACM=800×cs30°=800×32=4003．
∴BM=BA+AM=800+400=1200．
∵∠BDM=45°,BM⊥DM，
∴DM=BM=1200．
∴DC=DM−CM=1200−4003m．
∴景点C与景点D之间的距离为1200−4003m．
58．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DC=52BD．
(1)求岛A与港口B之间的距离；
(2)求tanC．
（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
【答案】(1)4km
(2)821
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据DC=52BD作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=BDCD，结合DC=52BD，AC=6km，求出BM=125，再在Rt△ABM中利用三角函数即可求解；
（2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出DMAD=BDCD=25，则可求出AD，再在Rt△ADC中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，
∵AC⊥AD，
∴BM∥AC，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=BDCD，
∵DC=52BD，AC=6km，
∴BM6=25，
得：BM=125，
在Rt△ABM中，由sin∠BAD=sin37°=BMAB=125AB≈35，
得AB≈4．
答：岛A与港口B之间的距离为4km；
（2）解：在Rt△ABM中，AM=AB×cs37°≈4×45=165，
∵△BDM∽△CDA，
∴DMAD=BDCD=25，
∴AD=57AM=165×57=167，
在Rt△ADC中，tanC=ADAC=1676=821．
59．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里
(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点B作BE⊥AC于点E，设BE=x，根据题意得出EC=ED+DC=x+5，解Rt△BCE，得出EC=43x，建立方程，即可求解；
（2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE=x，
依题意，∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10×12=5，
∴∠C=90°−∠EBC=37°，ED=x，
∴EC=ED+DC=x+5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37°≈x0.75=43x，
∴43x=x+5，
解得：x=15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15，
∴AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75，
∴AC=AE+DE+DC=15+3.75+5=23.75，
23.75÷10=2.375小时=142.5分钟，
从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17:30之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．
考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题
60．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3,AB=1010米，CD⊥BN．（点A,B,C,D在同一竖直平面内）．
(1)求平台BN的高度；
(2)求建筑物的高度（即CD的长）．
【答案】(1)10米
(2)153−15米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
（1）过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°，根据斜坡AB的坡度i=BEAE=13，得到AE=3BE，从而在Rt△ABE中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长CD交AM于点F，得到四边形BDFE是矩形，因此DF=BE=10米，BD=EF，设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10（米），通过解直角三角形在Rt△ACF中，求得AF=CFtan∠CAF=3x+10（米），在Rt△BCD中，求得∴BD=CDtan∠CBD=33x（米），进而根据AF=AE+EF列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°
∵斜坡AB的坡度i=BEAE=13，
∴AE=3BE，
∵在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即3BE2+BE2=10102，
∴BE=10米，
∴平台BN的高度是10米．
（2）解：延长CD交AM于点F，
∵CD⊥BN，BN∥AM，
∴CD⊥AM，
∴四边形BDFE是矩形，
∴DF=BE=10米，BD=EF，
设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10（米），
∵在Rt△ACF中，∠CAF=30°，
∴AF=CFtan∠CAF=x+10tan30°=3x+10（米），
∵在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
∴BD=CDtan∠CBD=xtan60°=33x（米），
∴EF=BD=33x米，
由（1）有AE=3BE=3×10=30（米），
∵AF=AE+EF，
∴3x+10=30+33x，
解得x=153−15，
∴CD=153−15（米），
即建筑物的高度（即CD的长）为153−15米．
考点10锐角三角函数综合问题
61．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．
(1)如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，求证：OE=OF；
(2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AC,AB=355,tan∠ACB=12,BE:EC=1:2，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，连接OF，求OFCF的值；
(3)如图3，四边形ABCD是菱形，∠B=60°,BC=6，连接DE交AC于点G,F是边AB上的一点，∠EDF=30°，若AF=13AB，求OG的长．
【答案】(1)见解析
(2)414
(3)97
【分析】（1）连接OD，根据正方形的性质，利用AAS得到△OCE≌△ODE，即可证明结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行四边形的面积公式求出AG长，根据正切得到CG长，然后设CH=a，则FH=2a，求出CF长，再根据正切得到tan∠FEH=HFEH=13求出a的值，解答即可；
（3）过点D作DP⊥BA于点P，作DQ⊥BC于点Q，设CE=x，求出AP=CQ=3，DP=DQ=33，然后表示DF2，DE2，在射线CA上截取AM=AF=2，在射线AC上截取CN=CE=x，根据全等得到DM=DF，DN=DE，∠MDN=90°，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵ABCD是正方形，OF⊥OE，
∴OD=OC，∠COD=∠EOF=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠DOF=∠COE，
∴△OCE≌△ODE，
∴OE=OF；
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
（3）∵AC⊥AB，tan∠ACB=ABAC=12，
∴AC=2AB=655，
∴BC=AB2+AC2=3，
∵BE:EC=1:2，
∴CE=2，
又∵S平行四边形ABCD=AB⋅AC=BC⋅AG，
∴AG=AB⋅ACBC=655×3553=65，
又∵tan∠ACB=ABAC=12，
∴CG=2AG=125，
∴EG=CG−CE=125−2=25，
∴tan∠GAE=GEAG=13，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠FCH=∠FCH+∠CFH=90°，
∴∠ACB=∠FCH，
∴tan∠CFH=tan∠ACB=12，即CHFH=12，
设CH=a，则FH=2a，
∴CF=CH2+HF2=5a，
同理可得tan∠FEH=HFEH=13，即2a125+a=13，
解得a=1225，
∴CF=12525，
又∵O是AC的中点，
∴OC=355，
∴OF=OC2+CF2=320525，
∴OFCF=32052512525=414；
过点D作DP⊥BA于点P，作DQ⊥BC于点Q，设CE=x，
∵ABCD是菱形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠PAD=∠DCQ=∠B=60°，
∴∠ADP=∠CDQ=30°，
∴AP=CQ=3，DP=DQ=AD2−AP2=33，
∵AF=13AB，
∴AF=2，
∴PF=PA+AF=5，
∴DF2=DP2+PF2=27+25=52，DE2=DQ2+QE2=27+(3+x)2，
在射线CA上截取AM=AF=2，在射线AC上截取CN=CE=x，
∵ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠BAC=∠DAC=∠D=60°，
∴∠MAD=∠FAD=120°，AC=AB=6，
又∵DA=DA，
∴△ADM≌△ADF，
∴DM=DF，∠MDA=∠FDA，
同理：DN=DE，∠NDC=∠EDC，
∴∠MAF+∠EDN=2(∠ADF+∠EDC)=2(∠ADC−∠EDF)=2×(60°−30°)=60°，
∴∠MDN=90°，
∴DM2+DN2=MN2，即DF2+DE2=MN2，
∴52+27+(3+x)2=(2+6+x)2，
解得CE=2.4，
又∵CE∥AD，
∴∠BCA=∠CAD，∠CEG=∠ADG，
∴△CEG∽△ADG，
∴CGAG=CEAD，即CG6−CG=2.46，
解得：CG=127，
又∵O是AC的中点，
∴OC=3，
∴OG=OC−CG=3−127=97．
【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
62．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC．求：
①AD与BC的位置关系为：__________：
②AC2_____AD⋅BC．（填“>”，“