2025年中考数学真题分类汇编22：圆的有关位置关系（9大考点，精选51题）（教师版）

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【答案】5
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若点在圆外，则d>r时，当点在圆上时，则d=r时；当点在圆内时，则dBF=EF，故③不符合题意；如图，取BC的中点R，连接AF,RF，可得F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A,F,R共线时，AF最小，再进一步可判断④.
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，
∵CF⊥BE，
∴∠COP=90°=∠BFP，
∵∠CPO=∠BPF，
∴∠OCP=∠OBE，故①符合题意；
∵∠COP=90°=∠BOE，OC=OB，
∴△COP≌△BOE，
∴OP=OE，故②符合题意；
当CE=CB时，CF⊥BE，
∴EF=BF，∠BFP=90°，
∴BP>BF=EF，故③不符合题意；
如图，取BC的中点R，连接AF,RF，
∵∠CFB=90°，
∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，
当A,F,R共线时，AF最小，
∵AB=BC=4，
∴RF=RB=2，
∴AR=42+22=25，
∴AF=25−2，
∴点A与点F之间的距离的最小值为25−2．故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
45．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE=15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF=BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：①AE=CE；②BE+AE=EF；③AHHB=23−1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为7+3−22．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】证明△ADE≌△CDESAS即可判断①，在FC上取一点G，使得BG=BE，证明△FBG≌△CBESAS，进而判断②；过点A,B分别作FC的垂线，垂足分别为K,N，则△AHK∽△BHN，根据相似三角形的性质即可判断③，取HB的中点T，连接TD，根据题意得出Q在以HB为直径的圆上运动，进而得出当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，勾股定理求得TD的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，
∴∠ADE=∠CDE,AD=CD,DE=DE，
∴△ADE≌△CDESAS，
∴AE=EC，故①正确；
如图，在FC上取一点G，使得BG=BE，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE=45°，∠BAD=90°，AD=CD，
∵∠BAE=15°，
∴∠DAE=90°−15°=75°，
∴∠AED=180°−45°−75°=60°，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠AED=∠CED=60°，∠DAE=∠DCE=75°，
∴∠HEB=∠CED=60°，∠BCE=∠BAE=15°，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠EBG=60°，EG=BE，
又∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=15°，
∴∠FBC=180°−15°−15°=150°，
∵∠DBC=45°，
∴∠FBG=∠FBC−∠GBE−∠CBE=150°−60°−45°=45°=∠CBE，
∴△FBG≌△CBESAS，
∴FG=CE，
∴EF=EG+FG=EC+BE=AE+BE，
即BE+AE=EF，故②正确；
如图，连接AC交BD于点O，则∠DAO=45°，过点A,B分别作FC的垂线，垂足分别为K,N，
∵AB=1，
∴AO=BO=22AB=22，AC=2AB=2，
∵∠DAE=75°,∠DAO=45°，
∴∠EAO=30°，
∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴EO=AOtan∠EAO=33×22=66
∴BE=OB−OE=22−66
∵∠BCE=15°,∠ACB=45°
∴∠ACK=30°
∴AK=12AC=22
在Rt△BEN中，BN=sin∠NEBBE=sin60°BE=3222−66=6−24
∵AK⊥FC,BN⊥FC
∴KA∥BN
∴△AHK∽△BHN
∴AHHB=AKBN=226−24=3+1，故③错误
如图
∵AB=AH+HB=1,AH=3+1HB
∴3+1HB+HB=1
即HB=13+2=2−3
∵点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，
∴PQ⊥HM
∴∠HQB=90°
∴Q在以HB为直径的圆上运动
取HB的中点T，连接TD，
∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，
∴BT=12HB=122−3=1−32
∴AT=AB−BT=32
∴TD=AD2+AT2=1+322=72
∴DT−12HB=72−122−3=7+3−22，故④正确
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
46．（2025·重庆·中考真题）在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE．
(1)如图1，α=∠BAC=60°，∠CAE=20°，求∠ADB的度数；
(2)如图2，α=∠BAC=90°，BDAB（三角形的任意两边之和大于第三边）．
∵O′A=O′B，
∴2O′A>AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径．
∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴OC=OA=OB，
∴C在⊙O上；
拓展应用：（1）如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆；
（2）∵矩形ABCD，AB=1cm，BC=2cm，
∴∠ABC=90°，BD=AC=12+22=5cm；
（3）作AD的垂直平分线LJ，交AD于L，交BC于J，
∴四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形，
∴AL=DL=1=BJ=CJ，
∵用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，
∴两圆一定过L,J，
连接AJ,BL,CJ,DJ，交点分别为Q,K，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL或CL或DJ，
∴最小直径为12+12=2，
如图，作AB的垂直平分线交AB,CD于V,W，
同法作⊙Q，⊙K，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形ABCD．则这样的两个等圆的最小直径为2cm.
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键.
考点9有关圆位置关系的新定义问题
51．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图，⊙O的半径为1．
①在点A112,0，A243,0，A32,0中，点_______是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为_______°；
②点B1,m在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为_______；
(2)已知点E1,3,F4,3,Tt,0，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)①A3，60；②3
(2)322≤t5或t≤−1−11
【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键；
（1）①根据新定义可得A3的是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，进而根据切线的性质，解Rt△MA3O,即可求得∠MA3O=30°，即可求解．
②根据定义可得B为⊙O外一点，由BD