2024年中考数学真题分类汇编：知识点28 等腰三角形与等边三角形2024（解析版）

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A．（24−123）mB．（24−83）mC．（24−63）mD．（24−43）m
【答案】D【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，∴CD=63，∵∠BED＝60°，∴DE=23，BE＝AE=43，∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）−（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD−AE−BE−DE＝24−43（cm），故选D．
云南省
1．【2024·云南】已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（ ）
A．32B．2C．3D．72
【答案】C
甘肃省
11. 【2024·兰州】如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】∵，，∴.∵，∴，
∴．故选B.
8．【2024·临夏州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB=45，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【答案】B【解析】如图，过点A作BC的垂线，垂足为M.在Rt△ABM中，sinB=AMAB，∴AM=5×45=4，∴BM=52−42=3．又∵AB＝AC，∴BC＝2BM＝6．故选B．
辽宁省
4．【2024·辽宁】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
二、填空题
重庆
15．【2024·重庆B卷】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
【答案】2【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，又∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝180°−∠C−∠CBD＝180°−72°−36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC＝2，∵∠A＝36°，∠ABD＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝2，故答案为2．
陕西省
13．【2024·陕西】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 ．
【答案】60【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF，∴∠ABC＝∠CBF，∴BC平分∠ABF，过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，则：CM＝CN，∵S△ACE=12AE⋅CM，S△CBF=12BF⋅CN，且BF＝AE，∴S△CBF＝S△ACE，∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA，∵AC＝13，∴AB＝13，设AM＝x，则BM＝13−x，由勾股定理，得：CM2＝AC2−AM2＝BC2−BM2，∴132−x2＝102−（13−x）2，解得：x=11913，
∴CM=132−(11913)2=12013，∴S△CBA=12AB⋅CM=60，∴四边形EBFC的面积为60，故答案为：60．
湖北省
15．【2024·湖北】如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G．若AE＝ED＝2．则（1）∠FDB的度数是 ；（2）DG的长是 ．
【答案】（1）30 （2）453【解析】∵△ABE≌△BCF≌△CAD（已知），∴AD＝BE＝CF，AE＝BF＝DC.∵AE＝ED＝2，∴AD＝BE＝4.∵△DEF为等边三角形，∴EF＝DF＝DE＝2，∠EFD＝∠EDF＝60°，∴BF＝DF＝DC＝2，
∴∠FDB＝∠FBD=12∠EFD＝30°，∠ADB＝∠EDF+∠FDB＝90°.如图，过点C作CH⊥BG的延长线于点H.
∵∠CDH＝30°，∴CH＝CD×sin30°＝2×12=1，DH＝CD×cs30°＝2×32=3.∵∠ADG＝∠CHG，∠AGD＝∠CGH，∴△ADG∽△CHG，∴DGHG=ADCH=41，∴DG=45DH=453．
湖南省
14．【2024·湖南14题】若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °．
【答案】100【解析】由题知，∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，∴等腰三角形的顶角的度数为：180°−2×40°＝100°．故答案为100．
四川省
23．【2024·内江】如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ．
【答案】100°【解析】∵AC＝AE，BC＝BD，∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，∴∠A＝180°−2x°，∠B＝180°−2y°.∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，∴∠ACB+（180°−2x）+（180°−2y）＝180°，180°−（x+y）＝∠DCE，∴∠ACB+360°−2（x+y）＝180°，∴∠ACB+2∠DCE＝180°.∵∠DCE＝40°，∴∠ACB＝100°，故答案为100°．
1．【2024·德阳】如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 .
【答案】2【解析】如图，作BC，AD中点为M，N，连接MN，GN，连接PD，FC，过F作FR⊥CD交CD的延长线于R点，延长RF，与GN交于Q点．设BC＝a，CD＝b，∵△PBC是以BC为底的等腰三角形，∴P在MN上，∴P到CD的距离即为12a，∴S△PCD=12×b×12a=14ab，在△GQF和△DRF中，GF=DF∠GFQ=∠DFR∠FQG=∠FRD=90°，
∴△GQF≌△DRF（AAS），∴QF=RF=12×12a=14a，∴S△FCD=12⋅CD⋅FR=12×b×14a=18ab，∴S△PCDS△FCD=14ab18ab=2，故答案为2．
甘肃省
14. 【2024·兰州】如图，四边形为正方形，△ADE为等边三角形，于点F，若，则______ ．
【答案】2【解析】∵四边形为正方形，△ADE为等边三角形，，，
∴，∴，∴.故答案为2．
三、解答题
江西省
1．【2024·江西20题】追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
方法应用
（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有 ．
A.3个B.4个C.5个D.6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
解：（1）△BDE 的形状是等腰三角形，
理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．
∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠ABD，∴EB＝ED，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）①共有四个等腰三角形．分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF，
故答案为B；
②由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝3，
∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF.
∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB.
∴∠BAF＝∠AGB，∴AB＝AG＝3.
∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG.
∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF.
∵CG＝BC−BG＝5−3＝2，
∴CF＝2．
吉林省
23．【2024·长春】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧．
（1）当点D是边BC的中点时，求AD的长；
（2）当BD＝4时，点D到直线AC的距离为 ；
（3）连结PN，当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；
（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 .（写出一个即可）
解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴BD＝CD.
∵BC＝6，∴BD=12BC＝3.
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴AD=AB2−BD2=4．
（2）如图①，过D作DE⊥AC于点E，作AF⊥BC于点F.
∵BC＝6，BD＝4，∴CD＝2.
由（1）知AF＝4，
∵S△ACD=12AC•DE=12CD•AF，即5DE＝8，
∴DE=85，∴点D到AC的距离是85．
故答案为85．
（3）当PN⊥AC时，如图②，
∵∠DAC＝45°，设AP＝x，则CD＝6−x．
∴DE=AE=45(6−x)，CE=35(6−x)，
∴45(6−x)+35(6−x)=5，解得x=177，
即正方形边长为177．
（4）①M、N在AC同侧时如图③，
∵点N到直线AC的距离是点M到AC距离的3倍，
∴tan∠DAC=23.
设CD＝x，DE=45x，CE=35x，
∴AE=65x，∴65x+35x=5，解得x=259．
②M、N在AC两侧时如图④，
∵点N到直线AC的距离是点M到AC距离的3倍，
∴tan∠DAC=43，
设CD＝x，DE=45x，CE=35x，
∴AE=35x，35x+35x=5，解得x=256．
综上，CD的值为259或256．
故答案为259或256．
山东省
1．【2024·滨州】【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替换为AB+BD＝AC+CD，还能推出∠B＝∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
解：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADB和△ADC中，AD=AD∠ADB=∠ADCBD=CD，
∴△ADB≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠C.
（2）小军的证明过程：
分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，如图所示，
∵AB+BD＝AC+CD，∴BE+BD＝CF+CD，
∴DE＝DF.
∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°.
在△ADE和△ADF中，AD=AD∠ADE=∠ADFDE=DF，
∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠E＝∠F.
∵BE＝BA，CF＝CA，
∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB.
小民的证明过程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形，
根据勾股定理，得：AD2+BD2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，∴AB2+CD2＝AC2+BD2，
∵AB+BD＝AC+CD，∴AB−CD＝AC−BD，
∴（AB−CD）2＝（AC−BD）2，
∴AB2−2AB•CD+CD2＝AC2−2AC•BD+BD2，
∴AB•CD＝AC•BD，∴ABAC=BDCD，
又∵∠ADB＝∠ADC，∴△ADB∽△ADC，
∴∠B＝∠C．
四川省
20．【2024·自贡】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
（1）求证：∠BDF＝∠A；
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A.
（2）∵∠A＝45°，∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
小军
小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得……
证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得……