2024年中考数学真题分类汇编：知识点26 反证法、命题与定理2024（解析版）

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A．两点之间，线段最短
B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°
D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
黑龙江省
10．【2024·绥化】下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C【解析】A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，顺次连接菱形各边中点一定能得到一个矩形，原说法错误，故本选项不符合题意；B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，故本选项不符合题意；C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，说法正确，故本选项符合题意；
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，原说法错误，故本选项不符合题意．故选C．
二、填空题
三、解答题
安徽省
18．【2024·安徽18题】数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（x，y均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24＝（ ）2−（ ）2；
（ⅱ）4n＝ （ ）2−（ ）2 ；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
解：（1）4＝4×1＝（1+1）2−（1−1）2，
8＝4×2＝（2+1）2−（2−1）2，
12＝4×3＝（3+1）2−（3−1）2，
20＝4×5＝（5+1）2−（5−1）2，
24＝4×6＝（6+1）2−（6−1）2＝72−52，
．
4n＝4•n＝（n+1）2−（n−1）2．
故答案为7，5.
（2）由（1）推导的规律可知4n＝4•n＝（n+1）2−（n−1）2．
故答案为：（n+1）2−（n−1）2．
（3）（2k+1）2−（2m+1）2＝（2k+1+2m+1）（2k+1−2m−1）＝4（k2−m2+k−m）．
故答案为4（k2−m2+k−m）．
福建省
23．【2024·福建23题】已知实数a，b，c，m，n满足3m+n=ba，mn=ca．
（1）求证：b2−12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．
解：（1）证明：∵3m+n=ba，mn=ca
∴b＝a（3m+n），c＝amn，
则b2−12ac＝[a（3m+n）]2−12a2mn
＝a2（9m2+6mn+n2）−12a2mn
＝a2（9m2−6mn+n2）
＝a2（3m−n）2，
∵a，m，n是实数，
∴a2（3m−n）2≥0，∴b2−12ac 为非负数．
（2）m，n不可能都为整数．
理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
又∵3m+n=ba，∴b＝a（3m+n）.
∵a为奇数，∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
又∵mn=ca，∴c＝amn，
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，m，n不可能都为整数．
N
奇数
4的倍数
表示结果
1＝12−02
3＝22−12
5＝32−22
7＝42−32
9＝52−42
…
4＝22−02
8＝32−12
12＝42−22
16＝52−32
20＝62−42
…
一般结论
2n−1＝n2−（n−1）2
4n＝ （n+1）2−（n−1）2
假设4n−2＝x2−y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2−y2＝（2k）2−（2m）2＝4（k2−m2）为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2−y2＝（2k+1）2−（2m+1）2＝ 为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．