初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）21.2 一元二次方程的解法精品精练

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一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】【解答】 一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得
实数m的值可以是 2，
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式求得m的取值范围，结合选项即可求解.
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：对于A选项：当时，方程可化为：，为一元一次方程，故A选项错误；B选项：方程：可化为：符合一元二次方程的形式，故B选项正确；对于C选项：方程中出现两个未知数，为二元二次方程，故C选项错误；对于D选项：为分式方程，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式：进行逐项判定即可求解.
3．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长是（ ）
A．5B．7C．5或7D．10
【答案】B
【解析】【解答】x2-4x+3=0
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
所以x ₁=3，x ₂=1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7.
故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先解方程x2-4x+3=0求出其解，然后分腰为3、底为1和腰为1、底为3，再结合三角形的三边关系求出三角形的周长.
4．据（南通市2005年国民经济和社会发展统计公报）报告：南通市2005年国内生产总值达1493亿元，比2004年增长11.8%．下列说法：
①2004年国内生产总值为1493（1﹣11.8%）亿元；
②2004年国内生产总值为 亿元；
③2004年国内生产总值为 亿元；
④若按11.8%的年增长率计算，2007年的国内生产总值预计为1493（1+11.8%）2亿元．
其中正确的是（ ）
A．③④B．.②④C．①④D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】解：设2004年国内生产总值为为x亿元，则
（1+11.8%）x=1493．
所以x= ，
故①②错误，③正确；
若按11.8%的年增长率计算，2007年的国内生产总值预计为1493（1+11.8%）2亿元．故④正确；
故选：A．
【分析】依据增长后的量=（1+增长率）增长的次数×增长前的量即可作出判断．
5．若制作的一个长方体底面积为 24 ，长、宽、高的比为4：2：1 ，则此长方体的体积为（ ）
A．216B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得：
4x×2x＝24
解得x＝ ，x＝- （舍去）
这个长方体的高 cm
长方体的体积为：24× =24
故答案选：C
【分析】设出长宽高，利用底面积，求出高，最后再求出体积
6．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6、2、5B．2、﹣6、5C．2、﹣6、﹣5D．﹣2、6、5
【答案】C
【解析】【解答】解：方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5；
故选C．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
7．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5
【答案】A
【解析】【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，
∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，
∴△=9+20=29，
∴x= ，
则较小的根a= ，即﹣2＜a＜﹣1，
故选A
【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．
8．关于x的方程（a﹣1）x2+ x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≥﹣1且a≠1
C．a＞﹣1且a≠1D．a≠±1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+ x+2=0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1，且a≠1．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义，得a﹣1≠0解出a≠1，以及被开方数≥0，解出a的范围。
9．用求根公式法解方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
10．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】C
【解析】【解答】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，则a＞0， y＞0
根据题意可得：
∴
整理得：2x2-xy-2y2=0
同时除以y2得∴
∴或（不合题意，舍去）
则甲的速度是乙的倍.
故答案为：C.
【分析】本题考查分式方程，一元二次方程的应用及环形跑道问题，正确理解题意，列出方程，正确求解是解题关键。设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，则a＞0， y＞0，得，得，得，可得答案，注意根的取舍。本题不需计算甲和乙各自的速度，而是求甲乙的速度比.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：x2-10x+24=0，
∴（x-6）（x-4）=0，
∴x-6=0或x-4=0，
解之：x=6或x=4，
当第三边长为6时，
∵2+4=6，不符合题意；
当第三边长为4时，该三角形的周长为2+4+4=10.
故答案为：10.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系定理，可求出三角形的周长.
12．将方程 化为一般形式为 .
【答案】
【解析】【解答】方程整理得：
故答案为
【分析】将方程移项合并，整理化为一般形式即可.
13．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人．
【答案】5
【解析】 【解答】解：设有人参加聚会，
根据题意得，，
整理得，
解得（舍去），．
所以有5人参加聚会．
故答案为：5．
【分析】设有人参加聚会，根据 所有人共握手10次， 即可得出方程，解方程求解即可。
14．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵方程，
∴，
∵方程可以配方成的形式，
∴9-q=7，
解得：q=2，
∵方程 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】掌握配方法解题的步骤是关键，先求出q=2，再求出，最后配方求解即可。
15．若 ，其中 ，则 .
【答案】 或
【解析】【解答】∵ ，
∴（x-3y）（x-2y）=0，
∴x-3y=0或x-2y=0，
即x=3y或x=2y，
∴ 或 .
故答案为：2或3.
【分析】把y作为常数，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程得出原方程的解，然后分两种情况代入分式约分得出答案.
16．若 是方程 的两个实数根，且 ，则 的值为 .
【答案】1
【解析】【解答】若 是方程 x 2 − 2 m x + m 2 − m − 1 的两个实数根；
∴x1+x2=2m；x1·x2= m 2 − m − 1
因为
∴2m=1-（m 2 − m − 1）
解得m1=-2；m2=1
又因为
∴得（2m）2-4(m 2 − m − 1)
解得m≥-1
因此m=1
故答案应为：1
【分析】易由韦达定理得到两个关系，借助可得m的值，又因为由两个实数根，所以得到判别式大于等于零，从而得到m取值范围，最终得到答案。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）将方程转化为一般形式，再观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可.
（2）此方程不能用因式分解法解，再观察方程特点：二次项系数为2，一次项系数为1，因此利用公式法解此方程.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．已知：a2+b2﹣2a+4b+5=0，c是（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的个位数字，求（a+c）b的值．
【答案】解：∵a2+b2﹣2a+4b+5=0，
∴（a﹣1）2+（b+2）2=0，
∴a=1，b=﹣2，
∵（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…
∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，
∵64=16×4，
∴264的个位数字与24的个位数字相同，为6，
∴原式的个位数字为6，即c=6；
∴（a+c）b=．
【解析】【分析】先利用平方分得出a、b的数值，再把2+1变成22﹣1，然后逐个使用平方差公式，算出结果，再根据2的整数次幂的个位数字的规律，可判断最后结果的个位数字得出c，进一步代入求得答案即可．
19．某汽车生产企业产量和效益逐年增加．据统计，2014年某种品牌汽车的年产量为100万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到144万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，求该品牌汽车年平均增长率和2017年的年产量．
【答案】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
则100（1+x）2=144，
解得x=0.2=20%，或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年平均增长率是20%；
2）∵144（1+25%）=172.8万辆，
∴2017年生产172.8万辆汽车
【解析】【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则增长2次以后的车辆数是100（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可．（2）2017年的产量=2016年的产量×（1+x）．
20．儿童商场购进一批服装，进价为30元/件，销售时标价为60元/件，每天可销售20件．商场现决定对这批服装开展降价促销活动，经测算，每件降价1元，每天可多销售4件．在促销期间，若要每天获得1200元利润，则每件应降价多少元？若考虑商家减少库存，在每天获利1200元时，商品应降价多少元？
【答案】解：设每件应降价x元，根据题意得
（60-30-x）（20+4x）=1200
整理得： x2-25x+150=0
解方程得：
x1=10，x2=15
所以，若要每天获得1200元利润，则每件应降价10元或15元．
若考虑商家减少库存，在每天获利1200元时，商品应降价15元．
【解析】【分析】设每件应降价x元，利用“利润=每件的利润×数量”，再根据题意列出方程（60-30-x）（20+4x）=1200求解即可。
21．突尼斯软籽石榴，原产于突尼斯，于1986年引入我国，在河南、安徽、山东等地均有栽培．突尼斯软籽石榴粒大籽甜，软籽可食，非常适合儿童、老年人食用，更有助于消食化积，因此受到人们的喜欢．从8月份开始，软籽和硬籽两种石榴开始上市，根据市场调查，软籽石榴售价为20元/千克，硬籽石榴售价为15元/千克
（1）湛江某水果店抓住商机，开始销售这两种石榴．若第一周软籽石榴的销量比硬籽石榴的销量多100千克，要使该水果店第一周销售这两种石榴的总销售额不低于9000元，则第一周至少销售软籽石榴多少千克？
（2）若该水果店第一周按照（1）中软籽和硬籽的最低销量销售这两种石榴，并决定第二周继续销售这两种石榴，第二周软籽石榴售价降低了，销量比第一周增加了，硬籽石榴的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果两种石榴第二周的总销售额比第一周增加了，求a的值．
【答案】（1）解：设第一周销售软籽石榴x千克，则销售硬籽石榴千克，
依题意，得：，
解得：．
∴第一周至少销售软籽石榴300千克．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍去），．
∴a的值为20．
【解析】【分析】（1）设第一周销售软籽石榴x千克，可得销售硬籽石榴千克，根据软籽石榴销售额+硬籽石榴销售额9000元，列不等式解出即可.
（2）先计算第二周软籽石榴售价和销量，硬籽石榴销量，再根据两种石榴第二周的总销售额比第一周增加了可列方程
，化简解出即可.
（1）解：设第一周销售软籽石榴x千克，则销售硬籽石榴千克，
依题意，得：，
解得：．
答：第一周至少销售软籽石榴300千克．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍去），．
答：a的值为20．
22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元?这时应进台灯多少个?

【答案】解：设售价为x元，每件台灯的利润为(x-30)元，可售的件数为 件，
依题意列方程 ，
解得 ， ，
因需扩大销售量，减少库存，所以 应舍去，
当 时，销售件数为 （个），
答：当售价为50元时，应进500个台灯．
【解析】【分析】设售价为x元，列出售价与利润之间的一元二次关系式，并解得x的取值，但是为了满足题中要求的扩大销售量，减少库存，要选取售价较低，销售量较高的方案．
23．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣8x+17=0
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
【答案】解：（1）△=（﹣8）2﹣4×17＜0，
所以方程没有实数解；
（2）（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=﹣1．
【解析】【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程无实数解；
（2）利用因式分解法解方程．
24．关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
【答案】解：由已知得，
所以
即（）
把代入得
则有代入（）
得
即又
所以
【解析】【分析】本题将方程组 分开进行变形讨论，因为该方程组有两个实数解，所以，然后利用根与系数的关系将y1y2和y1+y2用n和a表示出来，最后变形为方程求解即可。
25．已知关于x的方程(k-1)x2-2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当k-1=0，即k=1时，方程为-2x+3=0，x= ，即方程有实数根；当k-1≠0时，b2-4ac=(-2k)2-4(k-1) ·(k+2)≥0，方程有实数根，即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．
（2）解：存在，x1 ，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，
∴(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，
x1+x2= ，，
∵(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2， ∴(k-1)x12+2k(-x1)+k+2=， 即(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，
把①代人②得，解得k=2或h=-1．
由(1)可知k≤2且k≠1，∴k=2或-1．存在实数k，k=2或-1．
【解析】【分析】（1）分两种情况：①当k-1=0，②当k-1≠0时，据此分别解答即可；
（2）存在，理由：根据一元二次方程根的定义及根与系数的关系，可得(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，x1+x2，，由(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2，可得(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，把①代人②可求出k值.