7.1.2不等式的基本性质（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548807.1.2 不等式的基本性质课程导入知识回顾上节课我们学习了不等式的概念、解、解集以及解集的表示方法。我们知道，像\(x + 3 > 5\)、\(2x \leq 6\)这样用不等号表示大小关系的式子就是不等式。在学习等式时，我们掌握了等式的基本性质，利用这些性质可以求解等式中的未知数。那么不等式是否也有类似的性质呢？利用这些性质能否帮助我们求解不等式呢？这就是本节课要探讨的核心问题。情境引入问题 1：已知小明的年龄是 12 岁，小华的年龄是 10 岁，显然小明的年龄大于小华的年龄，即 12 > 10。5 年后，小明的年龄是 17 岁，小华的年龄是 15 岁，此时 17 > 15，不等关系仍然成立；5 年前，小明的年龄是 7 岁，小华的年龄是 5 岁，7 > 5，不等关系也成立。问题 2：如果苹果的单价是每千克 8 元，梨的单价是每千克 6 元，即 8 > 6。若购买 2 千克，买苹果需要 16 元，买梨需要 12 元，16 > 12；若购买 0.5 千克，买苹果需要 4 元，买梨需要 3 元，4 > 3。这些情境中蕴含着不等式的哪些变化规律呢？知识讲解不等式的基本性质 1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。用字母表示为：如果\(a > b\)，那么\(a \pm c > b \pm c\)；如果\(a < b\)，那么\(a \pm c < b \pm c\)。例如：因为 5 > 3，两边都加 2，得 5 + 2 > 3 + 2，即 7 > 5，不等号方向不变；因为 7 < 10，两边都减 5，得 7 - 5 < 10 - 5，即 2 < 5，不等号方向不变。不等式的基本性质 2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用字母表示为：如果\(a > b\)，\(c > 0\)，那么\(ac > bc\)（或\(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)）；如果\(a < b\)，\(c > 0\)，那么\(ac < bc\)（或\(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)）。例如：因为 6 > 4，两边都乘 3，得 6×3 > 4×3，即 18 > 12，不等号方向不变；因为 10 < 15，两边都除以 5，得 10÷5 < 15÷5，即 2 < 3，不等号方向不变。不等式的基本性质 3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用字母表示为：如果\(a > b\)，\(c < 0\)，那么\(ac < bc\)（或\(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)）；如果\(a < b\)，\(c < 0\)，那么\(ac > bc\)（或\(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)）。例如：因为 8 > 5，两边都乘\(-2\)，得 8×(-2) < 5×(-2)，即\(-16 < -10\)，不等号方向改变；因为 12 < 18，两边都除以\(-3\)，得 12÷(-3) > 18÷(-3)，即\(-4 > -6\)，不等号方向改变。不等式性质与等式性质的对比性质类型等式性质不等式性质不同点加减同一个数（或式子）两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变无乘除同一个正数两边乘（或除以）同一个正数，结果仍相等两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变无乘除同一个负数两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变不等号方向是否改变例题分析例 1利用不等式的性质，填 “>” 或 “ b\)，则\(a + 3\)\(b + 3\)；（2）若\(a < b\)，则\(a - 5\)\(b - 5\)；（3）若\(a > b\)，则\(3a\)\(3b\)；（4）若\(a < b\)，则\(-2a\)\(-2b\)；（5）若\(a > b\)，则\(\frac{a}{-4}\)______\(\frac{b}{-4}\)。解：（1）根据不等式基本性质 1，两边加 3，不等号方向不变，所以填 “>”；（2）根据不等式基本性质 1，两边减 5，不等号方向不变，所以填 “”；（4）根据不等式基本性质 3，两边乘\(-2\)（负数），不等号方向改变，所以填 “>”；（5）根据不等式基本性质 3，两边除以\(-4\)（负数），不等号方向改变，所以填 “ 5.7\)，所以\(-7.5 < -5.7\)；（2）因为\(a + 8 > 4\)，所以\(a > -4\)；（3）因为\(4a > 4b\)，所以\(a > b\)；（4）因为\(-1 > -2\)，所以\(-a - 1 > -a - 2\)。解：（1）正确。理由：根据不等式基本性质 3，两边乘\(-1\)，不等号方向改变，所以推导正确。（2）正确。理由：根据不等式基本性质 1，两边减 8，不等号方向不变，即\(a + 8 - 8 > 4 - 8\)，得\(a > -4\)，所以推导正确。（3）正确。理由：根据不等式基本性质 2，两边除以 4（正数），不等号方向不变，即\(\frac{4a}{4} > \frac{4b}{4}\)，得\(a > b\)，所以推导正确。（4）正确。理由：根据不等式基本性质 1，两边加\(-a\)，不等号方向不变，即\(-1 + (-a) > -2 + (-a)\)，得\(-a - 1 > -a - 2\)，所以推导正确。例 3利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）\(x - 7 > 26\)；（2）\(3x < 2x + 1\)；（3）\(\frac{x}{2} > 50\)；（4）\(-4x > 3\)。解：（1）根据不等式基本性质 1，两边加 7，得\(x - 7 + 7 > 26 + 7\)，即\(x > 33\)。在数轴上表示解集：找到表示 33 的点，画空心圆圈，向右画射线。（2）根据不等式基本性质 1，两边减\(2x\)，得\(3x - 2x < 2x + 1 - 2x\)，即\(x < 1\)。在数轴上表示解集：找到表示 1 的点，画空心圆圈，向左画射线。（3）根据不等式基本性质 2，两边乘 2，得\(\frac{x}{2}×2 > 50×2\)，即\(x > 100\)。在数轴上表示解集：找到表示 100 的点，画空心圆圈，向右画射线。（4）根据不等式基本性质 3，两边除以\(-4\)，不等号方向改变，得\(x < -\frac{3}{4}\)。在数轴上表示解集：找到表示\(-\frac{3}{4}\)的点，画空心圆圈，向左画射线。例 4已知\(a < b\)，判断下列不等式是否成立，并说明理由：（1）\(a + 1 < b + 1\)；（2）\(3a < 3b\)；（3）\(-a < -b\)；（4）\(a - 2 > b - 2\)。解：（1）成立。理由：根据不等式基本性质 1，两边加 1，不等号方向不变，所以\(a + 1 < b + 1\)成立。（2）成立。理由：根据不等式基本性质 2，两边乘 3（正数），不等号方向不变，所以\(3a < 3b\)成立。（3）不成立。理由：根据不等式基本性质 3，两边乘\(-1\)（负数），不等号方向应改变，所以\(-a > -b\)，原不等式\(-a < -b\)不成立。（4）不成立。理由：根据不等式基本性质 1，两边减 2，不等号方向不变，所以\(a - 2 < b - 2\)，原不等式\(a - 2 > b - 2\)不成立。课堂总结重点回顾不等式的基本性质 1：两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。不等式的基本性质 2：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。不等式的基本性质 3：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。利用不等式的基本性质可以解不等式，步骤与解方程类似，但要特别注意应用性质 3 时不等号方向需改变。不等式性质与等式性质的主要区别在于乘除同一个负数时，不等式的不等号方向会改变，而等式仍然成立。知识拓展运用不等式性质时，要明确 “同一个数（或式子）” 的含义，确保两边操作的一致性。解不等式时，每一步变形都要依据不等式的基本性质，尤其要警惕在乘除负数时忘记改变不等号方向的错误。可以通过列举具体数值验证不等式性质的正确性，加深对性质的理解和记忆。例如，用\(5 > 3\)验证乘负数后不等号方向改变：\(5×(-2) = -10\)，\(3×(-2) = -6\)，显然\(-10 < -6\)。解方程的依据是：___________猜想 ：解不等式的依据是：____________等式的性质不等式的性质用不等号填一填：1.a b；2.a + c b + c；3.(a + c) - c (b + c) - c. 观察 如图所示，在托盘天平的右盘放上一质量为 b g 的立体木块，左盘放上一质量为 a g 的立体木块，天平向左倾斜.a gb gc g＞＞＞c g你发现了什么？不等式的基本性质性质 1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.即：如果 a > b，那么 a + c > b + c，a - c > b - c.一般地，不等式具有如下基本性质：解析：因为 a > b，两边都加上 3，解析：因为 a < b，两边都减去 5，由不等式的基本性质 1，得a + 3 > b + 3.由不等式的基本性质 1，得a - 5 < b - 5.（1）已知 a > b，则 a + 3 b + 3；（2）已知 a < b，则 a - 5 b - 5. >”或“>>a gb g你发现了什么？性质 2 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.一般地，不等式还有如下性质：a>ba-a-b>b-a-b不等式两边同乘 -1，不等号方向改变.猜想：不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变.-ac b，两边都乘 3，解析：因为 a > b，两边都乘 -1，解析：由不等式的基本性质 2，得3a > 3b.由不等式的基本性质 3，得-a < -b. （1）已知 a > b，则 3a 3b；（2）已知 a > b，则 -a -b.>”或“ （1）如果 a＞b，那么 ac＞bc. （2）如果 a＞b，那么 ac2＞bc2. （3）如果 ac2＞bc2，那么 a＞b.2. 判断正误：××√当 c≤0 时，不成立.当 c = 0 时，不成立.思考：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？ 下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：在不等式 -4x + 5 > 9 的两边都减去 5，得 -4x > 4在不等式 -4x > 4 的两边都除以 -4，得 x > -1 请问他做对了吗？如果不对，请改正.不对x < -1思考：等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗?已知 x > 5，那么 5 < x 吗?由 8 < x，x < y，可以得到 8 < y 吗?如：8 < 10，10 < 15，8 15.x > 5 5 < x b，那么 b < a.性质5（同向传递性）：如果 a > b，b > c，那么 a > c.例3 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1 可变形为 x＞1，那么 a 必须满足________.方法总结：只有当不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数时，不等号的方向才改变．解析：根据不等式的基本性质，可判断 a＋1 为负数，即 a＋1＜0，可得 a＜－1. a＜－1求未知数 x 的范围化为 x＞a 或 x＜a 的形式目标方法：不等式的基本性质思路：解：(1) 根据不等式的性质1， 不等式两边都加 7，不等号的方向不变， 得 x - 7 + 7＞26 + 7，即 x＞33.(1) x - 7＞26； (2) 3x＜2x + 1；　　　　(2) 根据______________， 不等式两边都减去____，不等号的方向_____， 得 .3x - 2x＜2x + 1 - 2x，即 x＜1不等式的性质12x不变(4) 为了使不等式 -4x＞3 中的不等号的一边变为 x， 根据______________，不等式两边都除以____， 不等号的方向______，得x＜- .不等式的性质3-4改变(3) ＞ 50；　　 (4) -4x ＞ 3.　　　　1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.（1）a - 3____b - 3；（2）a÷3____b÷3；（3）0.1a____0.1b； （4）-4a____-4b；（5）2a + 3____2b + 3；（6）(m2 + 1)a____ (m2 + 1)b (m 为常数).＞＞＞＞＞＜不等式的性质 1不等式的性质 2不等式的性质 2不等式的性质 3不等式的性质 1，2不等式的性质 22. 已知 a＜0，用“＜”“＞”填空： (1) a + 2 ____2；  (2) a - 1 _____-1； (3) 3a______0； (4) ______0； (5) a2_____0； (6) a3______0； (7) a - 1_____0；  (8)| a |______0．＜＜＜＞＜＞＜＞ ＜＜＜＞×××√ ≤≥≥≤核心必知        1星题 基础练 不等式的基本性质1.填空：   不等式的基本性质1  不等式的基本性质2   不等式的基本性质3     D  A 2星题 中档练       D        不等式的基本性质性质4：如果 a＞b，那么 b＜a.性质5：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086