7.1.2 不等式及其基本性质2024-2025学年七年级数学下册教学同步课件【2024沪科版】

1.掌握不等式的基本性质，并能利用其对不等式进行变形.2.借助不等式的性质，学会将文字语言转化为符号语言，培养学生的数学符号意识.3.通过对不等式的性质的合作探究，增强学生团队协作意识，培养学生学习数学的兴趣.互逆命题、互逆定理教案一、教学目标知识与技能目标理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。过程与方法目标通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。二、教学重难点重点互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。能正确写出一个命题的逆命题。难点判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。用逻辑推理的方法证明命题的真假。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5 分钟）展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。（二）讲授新课（25 分钟）互逆命题给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。命题真假的判断引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。互逆定理给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。（2）全等三角形的对应角相等。（3）等腰三角形的两个底角相等。分析：（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。求证：AB = AC。证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。在△ABD 和△ACD 中，∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，AD = AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以 AB = AC。（四）课堂练习（10 分钟）写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）如果 x = 2，那么 x² = 4。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）对顶角相等。判断下列说法是否正确：（1）每个命题都有逆命题。（2）每个定理都有逆定理。（3）真命题的逆命题一定是真命题。（4）假命题的逆命题一定是假命题。（五）课堂小结（5 分钟）与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。（六）布置作业（5 分钟）课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。请你回忆一下，等式的性质有哪些呢？等式的性质性质1 如果a=b，那么a+c=b+c， a–c=b–c. 性质3 如果a=b，那么b=a.性质4 如果a=b，b=c，那么a=c.对称性传递性如右图，天平两端的托盘中分别放置了质量为a、b的物体，图中天平倾斜，这说明什么呢？质量为a的物体的质量大于质量为b的物体的质量a ＞ b如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体，天平倾斜方向会改变吗？a + c ＞ b + c没有改变不等式的两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.如右图，天平两端的托盘中分别放置了质量为a、b的物体，图中天平倾斜，这说明什么呢？质量为a+c的物体的质量大于质量为b+c的物体的质量a+c ＞ b+c如果在两端托盘中同时减去质量为c的物体，天平倾斜方向会改变吗？(a+c)–c＞(b+c)–c没有改变不等式的两边都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.不等式性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.如果a＞b，那么a+c＞b+c， a–c＞b–c.不等式的两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.不等式的两边都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，＞×3×3＞那么天平的倾斜方向会改变吗？不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变.＞0倾斜方向不变对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？＞÷3÷3＞不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变.＞0不等式性质2 不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变.不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.如果a＞b，那么它们的相反数–a与–b哪个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗？a、b都是正数baba–––a ＜–ba、b都是负数baba–––a ＜–ba、b一正一负baba–––a ＜–ba、b无论如何取值，如果a＞b，那么a、b对应的相反数–a、–b都满足–a＜–b.如果a＞b，那么–a＜–b，这个式子可理解为： a×(–1)＜b×(–1).这样，对于不等式a＞b ，两边同乘以–3，会得到什么结果呢？a＞b×(–1)a×(–1)＜b×(–1)×3a×(–3)＜b×(–3)×(–3)两边同乘以–3不等式性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.不等式具有对称性和传递性吗?对称性：如果a＞b，那么b＜a.传递性：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.例如：由3＞x，可得x＜3.根据“a＞b，b＞c”，可在数轴上分别标记出三个点A、B、C分别对应三个实数a、b、c.显然满足a＞c不等式的性质性质1 如果a＞b，那么a+c＞b+c， a–c＞b–c.  性质4 如果a＞b，那么b＜a.性质5 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.对称性传递性等式与不等式的性质有哪些相同点和不同点？两边加上(或减去)同一个数(或式子)，原式中的等号或不等号不改变；两边乘以(或除以)同一个正数，原式中的等号或不等号不改变.两边乘以(或除以)同一个负数，等式中的等号不变，而不等式中的不等号改变方向；两边乘以0时，等式仍然成立，而不等式的变形中两边不能同乘以0.例1 设a＜b，根据不等式的性质，用“＜”或“＞”填空．＜ 利用不等式的性质1＜利用不等式的性质1＜利用不等式的性质2＞利用不等式的性质3＞利用不等式的性质3＜利用不等式的性质2解析： 根据不等式的基本性质分析、判断即可.例2 填空：(1)若x+1>0，两边同加上 –1， 得_________ （依据：_______________）；(2)若x≤3，两边同乘 –3， 得 _________ （依据：________________）. x>–1不等式的性质1–3x≥–9不等式的性质3知识点1 不等式的基本性质1 A  返回2. 设“ ”“ ”“ ”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“ ”“ ”“ ”这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( )BA. 、 B. 、 C. 、 D. 、 返回    返回知识点2 不等式的基本性质2 B  D  返回知识点3 不等式的基本性质3 C  返回 B    返回知识点4 不等式的基本性质4、基本性质5   D  返回不等式及其基本性质 用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子叫做不等式.性质1 如果a＞b，那么a+c＞b+c， a–c＞b–c.  性质4 如果a＞b，那么b＜a.性质5 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.对称性传递性完成教材上的课后习题