7.2.1一元一次不等式的解法（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548807.2.1 一元一次不等式的解法课程导入知识回顾上节课我们学习了不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。我们还知道，像\(x + 3 > 5\)、\(2x \leq 6\)这样的不等式中只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1。这样的不等式是什么类型的不等式呢？又该如何求解呢？这就是本节课要学习的内容。情境引入问题：某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 3 件和 B 商品 2 件，共需 120 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 4 件，共需 220 元。若商店准备用不超过 500 元购进这两种商品，且 A 商品数量不少于 5 件，设购进 A 商品\(x\)件，那么\(x\)需要满足什么样的不等式？这个不等式该如何求解？要解决这个问题，我们首先需要明确这类不等式的特征，掌握它的解法。知识讲解一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的不等式，叫作一元一次不等式。一元一次不等式的特征：只含有一个未知数；未知数的次数是 1；不等式的两边都是整式；未知数的系数不为 0。例如：\(3x - 2 > 0\)、\(5x + 1 \leq 2x - 3\)、\(\frac{x}{2} + 3 < 7\)都是一元一次不等式；而\(x^2 + 1 > 0\)（未知数次数是 2）、\(\frac{1}{x} + 2 < 5\)（不是整式）、\(x + y > 3\)（含有两个未知数）都不是一元一次不等式。一元一次不等式的解法步骤解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似，主要包括：去分母：根据不等式的基本性质 2 或 3，在不等式两边都乘各分母的最小公倍数，去掉分母。注意：如果分母是负数，乘负数后不等号方向要改变。去括号：利用乘法分配律去括号，括号前是 “+” 号，去掉括号后各项符号不变；括号前是 “-” 号，去掉括号后各项符号都要改变。移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号（依据不等式基本性质 1）。合并同类项：把不等式两边的同类项分别合并，化为\(ax > b\)或\(ax < b\)（\(a \neq 0\)）的形式。系数化为 1：根据不等式的基本性质 2 或 3，在不等式两边都除以未知数的系数\(a\)，得到不等式的解集。注意：如果\(a > 0\)，不等号方向不变；如果\(a < 0\)，不等号方向改变。解一元一次不等式与解一元一次方程的异同步骤解一元一次方程解一元一次不等式不同点去分母在方程两边乘各分母的最小公倍数，等式仍成立在不等式两边乘各分母的最小公倍数，乘负数时不等号方向改变乘负数时不等号方向是否改变去括号去括号法则相同去括号法则相同无移项移项要变号，等式仍成立移项要变号，不等号方向不变无合并同类项合并同类项法则相同合并同类项法则相同无系数化为 1两边除以未知数系数，等式仍成立两边除以未知数系数，系数为负数时不等号方向改变系数为负数时不等号方向是否改变结果方程的解是一个具体的数（或无解）不等式的解集是一个范围结果形式不同例题分析例 1解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）\(2(x + 1) < 3x\)；（2）\(\frac{x - 1}{2} \geq \frac{2x - 5}{3}\)。解：（1）\(2(x + 1) < 3x\)去括号，得\(2x + 2 < 3x\)；移项，得\(2x - 3x < -2\)；合并同类项，得\(-x < -2\)；系数化为 1，两边除以\(-1\)（不等号方向改变），得\(x > 2\)。在数轴上表示解集：找到表示 2 的点，画空心圆圈，向右画射线。（2）\(\frac{x - 1}{2} \geq \frac{2x - 5}{3}\)去分母，两边乘 6（最小公倍数），得\(3(x - 1) \geq 2(2x - 5)\)；去括号，得\(3x - 3 \geq 4x - 10\)；移项，得\(3x - 4x \geq -10 + 3\)；合并同类项，得\(-x \geq -7\)；系数化为 1，两边除以\(-1\)（不等号方向改变），得\(x \leq 7\)。在数轴上表示解集：找到表示 7 的点，画实心圆点，向左画射线。例 2解不等式：\(1 - \frac{x - 1}{3} \leq \frac{2x + 3}{2}\)，并写出它的正整数解。解：去分母，两边乘 6，得\(6 - 2(x - 1) \leq 3(2x + 3)\)；去括号，得\(6 - 2x + 2 \leq 6x + 9\)；合并同类项，得\(8 - 2x \leq 6x + 9\)；移项，得\(-2x - 6x \leq 9 - 8\)；合并同类项，得\(-8x \leq 1\)；系数化为 1，两边除以\(-8\)（不等号方向改变），得\(x \geq -\frac{1}{8}\)。所以该不等式的解集是\(x \geq -\frac{1}{8}\)，它的正整数解是 1，2，3，…（所有正整数）。例 3当\(x\)为何值时，代数式\(2x - 3\)的值大于代数式\(5x + 3\)的值？解：根据题意，得\(2x - 3 > 5x + 3\)；移项，得\(2x - 5x > 3 + 3\)；合并同类项，得\(-3x > 6\)；系数化为 1，两边除以\(-3\)（不等号方向改变），得\(x < -2\)。所以当\(x < -2\)时，代数式\(2x - 3\)的值大于代数式\(5x + 3\)的值。例 4已知关于\(x\)的方程\(3x + a = x - 7\)的解是正数，求\(a\)的取值范围。解：解方程\(3x + a = x - 7\)，移项，得\(3x - x = -7 - a\)；合并同类项，得\(2x = -7 - a\)；系数化为 1，得\(x = \frac{-7 - a}{2}\)。因为方程的解是正数，即\(x > 0\)，所以\(\frac{-7 - a}{2} > 0\)；去分母，得\(-7 - a > 0\)；移项，得\(-a > 7\)；系数化为 1，两边除以\(-1\)（不等号方向改变），得\(a < -7\)。所以\(a\)的取值范围是\(a < -7\)。课堂总结重点回顾一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数次数是 1，系数不为 0 的不等式。解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。每一步都要依据不等式的基本性质，尤其注意系数化为 1 时，若系数是负数，不等号方向必须改变。解一元一次不等式与解一元一次方程的异同：步骤基本相同，但在去分母和系数化为 1 时，不等式乘除负数要改变不等号方向，而方程无此变化；方程的解是具体数值，不等式的解集是范围。可以利用一元一次不等式解决与代数式大小比较、方程解的范围相关的问题。知识拓展解不等式时，去分母容易漏乘不含分母的项，要特别注意每一项都要乘各分母的最小公倍数。移项时要变号，不要与加法交换律混淆，例如把\(3x + 2 > 2x - 1\)移项为\(3x - 2x > -1 - 2\)，而不是\(3x + 2x > -1 + 2\)。系数化为 1 时，一定要先判断系数的正负，再决定是否改变不等号方向，这是解不等式最容易出错的地方。求不等式的特殊解（如正整数解、负整数解等）时，需先求出不等式的解集，再在解集中筛选符合条件的解。问题 某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加 1.8 万元. 如果该公司原来的年利润为 200 万元，要使年利润超过 245 万元，那么增加的科研经费应高于多少万元?前面问题中涉及的数量关系是： 设该公司增加科研经费 x 万元，那么年利润就增加1.8x 万元. 因为年利润要超过 245 万元，所以 200 + 1.8x > 245. 原年利润 + 增加的年利润 ＞ 增加后的年利润一元一次不等式的概念像 200 + 1.8x > 245 这样， 含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式.它与一元一次方程的定义有什么共同点？1. 下列不等式中，哪些是一元一次不等式?(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0； (3) (4) x(x - 1) < 2x.✓✓✕✕左边不是整式化简后是x2 - x < 2x例1 已知 是关于 x 的一元一次不等式，则 a 的值是_______．解析：由 是关于 x 的一元一次不等式得 2a－1＝1，计算即可求出 a 的值是1.1解不等式：4x - 1 < 5x + 15.解方程：4x - 1 = 5x + 15.解：移项，得4x - 5x = 15 + 1.合并同类项，得-x = 16.系数化为 1，得x = -16.解：移项，得4x - 5x < 15 + 1.合并同类项，得-x < 16.系数化为 1，得x > -16.解一元一次不等式根据不等式的性质，解不等式 200 + 1.8x > 245.根据不等式的性质 1，两边同时减去 200，得200 + 1.8x - 200 > 245 - 200.即 1.8x > 45.再根据不等式的性质 2，两边同时除以 1.8，得 x > 25.因此，这个不等式的解集为 x > 25.像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式.例2 解不等式 2x + 5 ≤ 7(2 - x)，并把它的解集在数轴上表示出来.解：首先将括号去掉去括号，得 2x + 5≤14 - 7x. 移项，得 2x + 7x≤14 - 5.将同类项放在一起合并同类项，得 9x≤9. x 系数化为 1，得 x≤1.根据不等式的性质2 原不等式的解集在数轴上的表示如图：例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：解 ： 不等式两边同乘以 6，得 2(4 + x) - 6 < 3x.去括号，得 8 + 2x - 6 2.在数轴上表示不等式的解集： 2. 解下列一元一次不等式 ：（1）2 - 5x < 8 - 6x ；（2） 解：（1） 原不等式为 2 - 5x < 8 - 6x. 将同类项放在一起即 x < 6. 移项，得 -5x + 6x < 8 - 2，计算结果首先将分母去掉去括号，得 2x -10 + 6≤9x.去分母，得 2(x - 5) + 6≤9x.移项，得 2x - 9x≤10 - 6.去括号将同类项放在一起合并同类项，得 -7x≤4. 两边都除以 -7，得计算结果根据不等式性质3方法归纳：熟练运用不等式的5个基本性质是解题的关键.解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质. 它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1. 这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向. 这是与解一元一次方程不同的地方.所以当 x≤6 时，代数式 x + 2 的值大于或等于 0. 解：解得 x≤6.x≤6 在数轴上表示如图所示. 由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.例4 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m 是常数) 的解集是 x＜3，求 m.方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．解：因为 x＋8＞4x＋m， 所以 x－4x＞m－8，即－3x＞m－8， 因为其解集为 x＜3， 所以 ，解得 m = －1.1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:(1) 2x＞－8； (2) －4x＜2；(3) 5x－4≤7x－1； (4) 2x－5≥2＋5x.解：(1) x＞－4.   2.解下列不等式：(1) 3(1－x)≤x＋8； (2) 12－2x＞3(2x－3).解：(1) 去括号，得 3－3x≤x＋8. 移项，得 x + 3x≥3－8.合并同类项，得 4x≥－5. (2) 去括号，得 12－2x＞6x－9. 移项，得 6x + 2x＜12 + 9.合并同类项，得 8x＜21. 1. 解下列不等式： 解：(1) 不等式两边同乘以 5，得 3x + 7 > 5x - 5.移项、合并同类项，得 -2x > -12.x 系数化成1，得 x < 6. (2) 不等式两边同乘以 -15，得 2x + 1 < -5(x - 3).去括号，得 2x + 1