7.3.2解复杂的一元一次不等式组（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548807.3.2 解复杂的一元一次不等式组课程导入知识回顾上节课我们学习了简单一元一次不等式组的概念、解集的确定方法以及基本解法，知道了解不等式组的核心是分别求解每个不等式，再找出解集的公共部分。对于由两个简单一元一次不等式组成的不等式组，我们可以通过数轴法或口诀法快速确定解集。但在实际解题中，我们遇到的不等式组往往更为复杂，例如不等式中含有分母、多个括号，或者需要进行多次变形才能求解。这类复杂的一元一次不等式组该如何处理呢？本节课我们就来学习解复杂一元一次不等式组的方法。情境引入问题：某服装厂生产一批校服，已知每套校服需要用布 2.5 米，现有布料 100 米。为了保证校服的质量，每套校服的用布量不能少于 2.4 米，且生产的校服数量不少于 30 套。设生产校服\(x\)套，那么\(x\)需要满足哪些不等关系？列出的不等式组涉及分数和复杂计算，该如何求解呢？要解决这类问题，需要我们掌握解复杂一元一次不等式组的技巧。知识讲解复杂一元一次不等式组的特征复杂的一元一次不等式组通常具有以下特征：不等式中含有分母，且分母较大或需要通分才能去分母；不等式中含有多个括号，需要多次去括号才能化简；不等式的变形步骤较多，需要经过去分母、去括号、移项、合并同类项等多步操作才能求解；不等式组中不等式的数量可能超过两个，需要逐一求解后再确定公共部分。例如：\(\begin{cases}\frac{2x - 1}{3} > \frac{x + 1}{2} \\3(x - 1) \leq 2x + 5 \\x - 4 < 0\end{cases}\)就是一个典型的复杂一元一次不等式组。解复杂一元一次不等式组的步骤解复杂一元一次不等式组的基本步骤与简单不等式组一致，但需要更加注重每一步的细节处理：分别求解每个不等式：对于含分母的不等式，先找到各分母的最小公倍数，利用不等式的基本性质 2 或 3 去分母（注意乘负数时不等号方向改变）；对于含括号的不等式，按照去括号法则逐层去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；去分母、去括号后，通过移项、合并同类项将不等式化为\(ax > b\)或\(ax < b\)（\(a \neq 0\)）的形式；最后系数化为 1，得到每个不等式的解集（注意系数为负数时不等号方向改变）。确定公共部分：对于含有两个不等式的组，可利用数轴法或口诀法确定公共部分；对于含有三个或三个以上不等式的组，先确定前两个不等式的公共部分，再将结果与第三个不等式的解集比较，依次类推，最终找到所有解集的公共部分。写出解集：用规范的数学语言表示不等式组的解集，若没有公共部分则说明无解。解复杂一元一次不等式组的注意事项去分母时，要将不等式两边的每一项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；去括号时，要严格按照去括号法则操作，尤其是括号前是负号时，要确保括号内每一项都改变符号；移项时要变号，避免与加法交换律混淆；系数化为 1 时，要先判断系数的正负，再决定是否改变不等号方向，这是最容易出错的步骤；在数轴上表示解集时，要准确标注空心圆圈和实心圆点，明确解集的范围和边界是否包含在内；对于含有多个不等式的组，确定公共部分时要耐心细致，可分步进行，先两两确定公共部分，再逐步扩大范围。例题分析例 1解不等式组：\(\begin{cases}\frac{2x - 1}{3} \geq \frac{x + 1}{2} - 1 \\3(x - 2) < 2x + 1\end{cases}\)，并在数轴上表示解集。解：解第一个不等式\(\frac{2x - 1}{3} \geq \frac{x + 1}{2} - 1\)，去分母（两边乘 6），得\(2(2x - 1) \geq 3(x + 1) - 6\)，去括号，得\(4x - 2 \geq 3x + 3 - 6\)，化简右边，得\(4x - 2 \geq 3x - 3\)，移项，得\(4x - 3x \geq -3 + 2\)，合并同类项，得\(x \geq -1\)。解第二个不等式\(3(x - 2) < 2x + 1\)，去括号，得\(3x - 6 < 2x + 1\)，移项，得\(3x - 2x < 1 + 6\)，合并同类项，得\(x < 7\)。在数轴上表示两个解集：\(x \geq -1\)和\(x < 7\)的公共部分是\(-1 \leq x < 7\)。所以不等式组的解集是\(-1 \leq x < 7\)。例 2解不等式组：\(\begin{cases}\frac{x - 1}{2} + 1 > x \\3(x - 1) + 1 \leq 2(x + 1)\end{cases}\)。解：解第一个不等式\(\frac{x - 1}{2} + 1 > x\)，去分母（两边乘 2），得\(x - 1 + 2 > 2x\)，合并同类项，得\(x + 1 > 2x\)，移项，得\(1 > 2x - x\)，即\(x < 1\)。解第二个不等式\(3(x - 1) + 1 \leq 2(x + 1)\)，去括号，得\(3x - 3 + 1 \leq 2x + 2\)，合并同类项，得\(3x - 2 \leq 2x + 2\)，移项，得\(3x - 2x \leq 2 + 2\)，合并同类项，得\(x \leq 4\)。两个解集\(x < 1\)和\(x \leq 4\)的公共部分是\(x < 1\)。所以不等式组的解集是\(x < 1\)。例 3解不等式组：\(\begin{cases}5x - 2 > 3(x + 1) \\ \frac{1}{2}x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2}x \\x + 3 \leq 2x + 2\end{cases}\)。解：解第一个不等式\(5x - 2 > 3(x + 1)\)，去括号，得\(5x - 2 > 3x + 3\)，移项，得\(5x - 3x > 3 + 2\)，合并同类项，得\(2x > 5\)，系数化为 1，得\(x > \frac{5}{2}\)（即\(x > 2.5\)）。解第二个不等式\(\frac{1}{2}x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2}x\)，移项，得\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x \leq 7 + 1\)，合并同类项，得\(2x \leq 8\)，系数化为 1，得\(x \leq 4\)。解第三个不等式\(x + 3 \leq 2x + 2\)，移项，得\(3 - 2 \leq 2x - x\)，合并同类项，得\(1 \leq x\)，即\(x \geq 1\)。现在确定三个解集的公共部分：\(x > 2.5\)、\(x \leq 4\)和\(x \geq 1\)的公共部分是\(2.5 < x \leq 4\)。所以不等式组的解集是\(2.5 < x \leq 4\)。例 4当\(a\)为何值时，关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}\frac{x + 15}{2} > x - 3 \\ \frac{2x + 2}{3} < x + a\end{cases}\)只有 4 个整数解？解：解第一个不等式\(\frac{x + 15}{2} > x - 3\)，去分母，得\(x + 15 > 2x - 6\)，移项，得\(15 + 6 > 2x - x\)，合并同类项，得\(x < 21\)。解第二个不等式\(\frac{2x + 2}{3} < x + a\)，去分母，得\(2x + 2 < 3x + 3a\)，移项，得\(2 - 3a < 3x - 2x\)，合并同类项，得\(x > 2 - 3a\)。所以不等式组的解集是\(2 - 3a < x < 21\)。因为不等式组只有 4 个整数解，而小于 21 的整数有 20、19、18、17、16……，所以这 4 个整数解应为 17、18、19、20。因此，\(x\)的取值范围应满足\(16 \leq 2 - 3a < 17\)，解不等式\(16 \leq 2 - 3a\)，得\(14 \leq -3a\)，即\(a \leq -\frac{14}{3}\)；解不等式\(2 - 3a < 17\)，得\(-3a < 15\)，即\(a > -5\)。所以\(a\)的取值范围是\(-5 < a \leq -\frac{14}{3}\)。课堂总结重点回顾复杂一元一次不等式组的特征：含分母、多个括号、变形步骤多或不等式数量多。解复杂一元一次不等式组的步骤：分别求解每个不等式（注重去分母、去括号等细节）、确定公共部分（多步不等式组可分步确定）、写出解集。关键注意事项：去分母不漏乘、去括号变号正确、移项变号、系数化为 1 时注意不等号方向、数轴表示解集规范。对于含参数的复杂不等式组，需结合整数解的数量等条件，逆向推理参数的取值范围，解题时要明确解集的边界值。知识拓展解含有多个不等式的组时，可借助数轴逐步筛选公共部分，先将每个不等式的解集在数轴上标出，再从左到右或从右到左找出重叠区域。当不等式中分母为小数时，可先将小数化为分数，再按去分母步骤操作，例如\(0.5x\)可化为\(\frac{1}{2}x\)，方便寻找最小公倍数。遇到复杂不等式组时，不要急于求成，应按步骤逐步化简，每一步变形后可简单检验是否正确，避免因一步错误导致整个解题过程出错。含参数的不等式组是难点，解题时要明确参数对解集的影响，通过整数解的数量、解集的存在性等条件建立关于参数的不等式，进而求解。1.会解复杂的一元一次不等式组，并会在数轴上表 示出来；（重点）2.会通过列一元一次不等式组去解决生活中的实际 问题.（重点、难点）问题1 什么叫做不等式组的解集？问题2 解一元一次不等式组的步骤是什么？（1）分别求出每个不等式的解集； 不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集. 交流： 说一说不等式的解集有哪几种情况？2. 假设 a < b ，你能很快说出下列不等式组的解集吗？解较复杂的一元一次不等式组 解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况? 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找x > bx < aa < x < b无解解不等式②，得 x ＜ －3.例1 解不等式组：解：解不等式①，得 x ≤ 3.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图： 由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是 x＜-3，所以这个不等式组的解集是 x＜－3.例2 解不等式组： 解不等式②，得x＜－1.解： 解不等式①，得 x＞1在数轴上分别表示这两个不等式的解集.从图可知，这两个不等式的解集无公共部分，因此，原不等式组无解.变式 解不等式组：解： 解不等式①，得x ＞－2. 解不等式②，得x ＞6.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图： 由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x＞6，所以这个不等式组的解集是 x＞6.例3 已知不等式组 的解集为－1＜x＜1， 则 (a + 1)(b - 1) 的值为多少?解: 由不等式组得因为不等式组的解集为－1< x < 1，解得 a = 1，b = －2.所以 (a + 1)(b－1) = 2×(－3) = －6. 问题 3 个小组计划在 10 天内生产 500 件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产 1 件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？一元一次不等式组的应用解：设每个小组原先每天生产 x 件产品，由题意得解不等式组，得 .根据题意，x 的值应取整数，所以 x = 16.答：每个小组原先每天生产 16 件产品.列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数，找不等关系；（3）根据不等关系列不等式组；（4）解不等式组；（5）检验并作答. 因为 x 只能取整数，所以 x = 6，即有 6 辆货车运这批货物.例4 用若干辆载重量为 8 t 的货车运一批货物，若每辆货车只装 4 t ，则剩下 20 t 货物；若每辆货车装满 8 t，则最后一辆货车不满也不空. 请你算一算：有多少辆货车运这批货物？解：设有 x 辆货车，则这批货物共有 (4x + 20) t. 依题意得解不等式组，得 5＜x＜7.1. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：解：(1) 由①，得 x＜1. 由②，得 x＜-2.所以原不等式组的解集为 x＜-2.在数轴上表示如图：(2) 由①，得 x≥5. 由②，得 x≥3.所以原不等式组的解集为 x≥5.在数轴上表示如图： 所以原不等式组的无解.2. 解本节开始的问题 1，2 中得到的不等式组：  (2) 由①，得 x≥12 087. 由②，得 x≤12 324.所以原不等式组的解集是12 087≤x≤12 324.①②①②1星题 基础练 解稍复杂的一元一次不等式组 BA. B. C. D.  D  A  D  246. 解不等式组 (Ⅰ)解不等式①，得________；(Ⅱ)解不等式②，得________；  (Ⅲ)将不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来；解：如图.(Ⅳ)不等式组的解集为_____________. 7.解不等式组：    2星题 中档练 A  A  D      3星题 提升练  32  一元一次不等式组阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086