第7章 一元一次不等式与不等式组【章末复习】（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880第 7 章 一元一次不等式与不等式组 章末复习知识梳理不等式的基本概念不等式的定义：用不等号（>、 5\)、\(y - 1 ≤ 3\)等。不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。一个不等式的解可以有多个，例如\(x = 2\)是不等式\(x + 1 > 2\)的解。不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合叫作这个不等式的解集。例如：不等式\(2x - 1 < 3\)的解集是\(x < 2\)。解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式。不等式的基本性质性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果\(a > b\)，那么\(a ± c > b ± c\)。性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果\(a > b\)，\(c > 0\)，那么\(ac > bc\)（或\(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)）。性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果\(a > b\)，\(c < 0\)，那么\(ac < bc\)（或\(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)）。与等式性质的区别：主要区别在于乘除同一个负数时，不等式的不等号方向需要改变，而等式仍然成立。一元一次不等式定义：只含有一个未知数，未知数的次数是 1，系数不等于 0 的不等式叫作一元一次不等式。例如：\(5x - 3 ≥ 2\)、\(\frac{x}{2} + 1 < 4\)。解法步骤：去分母：在不等式两边乘各分母的最小公倍数（注意乘负数时不等号方向改变）；去括号：按去括号法则去括号，括号前是负号时括号内各项变号；移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号；合并同类项：化为\(ax > b\)或\(ax < b\)（\(a ≠ 0\)）的形式；系数化为 1：两边除以未知数系数，系数为负数时不等号方向改变。解集表示：可通过文字语言、数学式子或数轴表示，数轴上 “>”“ 3 \\x + 5 ≤ 10\end{cases}\)。解集定义：不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集，没有公共部分则无解。解集确定方法：数轴法：在同一条数轴上表示各不等式解集，找出公共部分；口诀法：设\(a < b\)，则\(\begin{cases}x > a \\x > b\end{cases}\)解集为\(x > b\)（同大取大）；\(\begin{cases}x < a \\x < b\end{cases}\)解集为\(x < a\)（同小取小）；\(\begin{cases}x > a \\x < b\end{cases}\)解集为\(a < x < b\)（大小小大中间找）；\(\begin{cases}x < a \\x > b\end{cases}\)无解（大大小小无解了）。解法步骤：分别求解每个不等式、确定公共部分、写出解集。不等式（组）的应用解题步骤：审清题意（找不等关系）、设未知数、列不等式（组）、解不等式（组）、检验并作答。常见关键词：“不超过”（≤）、“不少于”（≥）、“至少”（≥）、“最多”（≤）、“大于”（>）、“小于”（ 4\)得出\(x > -2\)是错误的，正确结果应为\(x < -2\)。去分母漏乘项：去分母时未将不等式两边所有项都乘最小公倍数，例如解\(\frac{x}{2} + 1 > 3\)时，漏乘常数项 1，导致错误。去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后未将括号内所有项变号，例如\(-(x - 2) > 1\)去括号后错写为\(-x - 2 > 1\)，正确应为\(-x + 2 > 1\)。移项未变号：移项时忘记改变符号，例如由\(3x + 5 > 2x - 1\)移项得\(3x + 2x > -1 + 5\)是错误的，正确应为\(3x - 2x > -1 - 5\)。不等式组解集确定错误：对 “公共部分” 理解不清，尤其含多个不等式时易漏看部分解集，例如解\(\begin{cases}x > 1 \\x < 3 \\x ≥ 2\end{cases}\)时，错误认为解集是\(1 < x < 3\)，正确应为\(2 ≤ x < 3\)。实际应用忽略实际意义：解出解集后未结合实际情况检验，例如人数、件数等应为非负整数，需筛选合理解。综合例题讲解例 1解不等式\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1\)，并在数轴上表示解集。解：去分母（两边乘 6），得\(2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6\)，去括号，得\(4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6\)，合并同类项，得\(-11x - 5 ≤ 6\)，移项，得\(-11x ≤ 6 + 5\)，即\(-11x ≤ 11\)，系数化为 1（两边除以\(-11\)，不等号方向改变），得\(x ≥ -1\)。在数轴上表示：在\(-1\)处画实心圆点，向右画射线。例 2解不等式组\(\begin{cases}3(x - 1) < 5x + 1 \\ \frac{x - 1}{2} ≥ 2x - 4\end{cases}\)，并写出它的整数解。解：解第一个不等式\(3(x - 1) < 5x + 1\)，去括号，得\(3x - 3 < 5x + 1\)，移项，得\(3x - 5x < 1 + 3\)，合并同类项，得\(-2x < 4\)，系数化为 1，得\(x > -2\)。解第二个不等式\(\frac{x - 1}{2} ≥ 2x - 4\)，去分母，得\(x - 1 ≥ 4x - 8\)，移项，得\(x - 4x ≥ -8 + 1\)，合并同类项，得\(-3x ≥ -7\)，系数化为 1（不等号方向改变），得\(x ≤ \frac{7}{3}\)（即\(x ≤ 2\frac{1}{3}\)）。所以不等式组的解集是\(-2 < x ≤ 2\frac{1}{3}\)，它的整数解是\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)。例 3当\(k\)为何值时，关于\(x\)的方程\(2x - k = 5\)的解是正数？解：解方程\(2x - k = 5\)，得\(2x = k + 5\)，即\(x = \frac{k + 5}{2}\)。因为方程的解是正数，所以\(\frac{k + 5}{2} > 0\)，去分母，得\(k + 5 > 0\)，移项，得\(k > -5\)。所以当\(k > -5\)时，方程的解是正数。例 4某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 4 件和 B 商品 3 件，共需 270 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 2 件，共需 230 元。（1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若商店准备用不超过 1560 元购进这两种商品共 40 件，且 A 商品数量不超过 B 商品数量的 3 倍，问最多能购进 A 商品多少件？解：（1）设 A 商品每件进价\(x\)元，B 商品每件进价\(y\)元。根据题意，得\(\begin{cases}4x + 3y = 270 \\5x + 2y = 230\end{cases}\)，由第一个方程得\(y = \frac{270 - 4x}{3} = 90 - \frac{4}{3}x\)，代入第二个方程：\(5x + 2(90 - \frac{4}{3}x) = 230\)，\(5x + 180 - \frac{8}{3}x = 230\)，\(\frac{15}{3}x - \frac{8}{3}x = 50\)，\(\frac{7}{3}x = 50\)，解得\(x = 30\)，则\(y = 90 - \frac{4}{3}×30 = 50\)。所以 A 商品每件进价 30 元，B 商品每件进价 50 元。（2）设购进 A 商品\(a\)件，则购进 B 商品\((40 - a)\)件。根据题意，得\(\begin{cases}30a + 50(40 - a) ≤ 1560 \\a ≤ 3(40 - a)\end{cases}\)，解第一个不等式：\(30a + 2000 - 50a ≤ 1560\)，\(-20a ≤ -440\)，得\(a ≥ 22\)。解第二个不等式：\(a ≤ 120 - 3a\)，\(4a ≤ 120\)，得\(a ≤ 30\)。所以不等式组的解集是\(22 ≤ a ≤ 30\)，则最多能购进 A 商品 30 件。例 5已知关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}x - a ≥ 0 \\3 - 2x > -1\end{cases}\)的整数解共有 5 个，求\(a\)的取值范围。解：解第一个不等式\(x - a ≥ 0\)，得\(x ≥ a\)。解第二个不等式\(3 - 2x > -1\)，得\(-2x > -4\)，即\(x < 2\)。所以不等式组的解集是\(a ≤ x < 2\)。因为不等式组的整数解共有 5 个，即整数解为\(1\)，\(0\)，\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，所以\(a\)的取值范围应满足\(-4 < a ≤ -3\)。巩固练习填空题（1）若\(a > b\)，则\(-2a\)\(-2b\)（填 “>”“ 0 \\x - 3 ≤ 0\end{cases}\)的解集是______。（4）若关于\(x\)的方程\(3x - k = 0\)的解是正数，则\(k\)的取值范围是______。（5）已知不等式组\(\begin{cases}x > 2 \\x ≤ m\end{cases}\)无解，则\(m\)的取值范围是______。选择题（1）下列不等式变形正确的是（ ）A. 由\(a > b\)得\(ac > bc\)B. 由\(a > b\)得\(-2a > -2b\)C. 由\(a > b\)得\(a - 2 > b - 2\)D. 由\(a > b\)得\(a^2 > b^2\)（2）不等式\(\frac{x - 1}{2} > 1\)的解集是（ ）A. \(x > 2\)B. \(x > 3\)C. \(x < 2\)D. \(x < 3\)（3）不等式组\(\begin{cases}2x - 1 > 0 \\4 - x > 0\end{cases}\)的整数解有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个解答题（1）解不等式\(\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 1}{2} ≥ 1\)，并在数轴上表示解集。（2）解不等式组\(\begin{cases}5x - 1 < 3(x + 1) \\ \frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1\end{cases}\)，并写出整数解。（3）某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件，已知生产一件 A 产品需成本 100 元，生产一件 B 产品需成本 150 元，且总生产成本不超过 6500 元，问最多能生产 B 产品多少件？（4）已知关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}5 - 2x ≥ -1 \\x - a > 0\end{cases}\)有 3 个整数解，求\(a\)的取值范围。参考答案填空题（1） 0\)（5）\(m ≤ 2\)选择题（1）C（2）B（3）B解答题（1）去分母得\(2(2x + 1) - 3(x - 1) ≥ 6\)，去括号得\(4x + 2 - 3x + 3 ≥ 6\)，合并同类项得\(x + 5 ≥ 6\)，移项得\(x ≥ 1\)。数轴表示：在 1 处画实心圆点，向右画射线。（2）解第一个不等式得\(x < 2\)，解第二个不等式得\(x ≥ -1\)，解集为\(-1 ≤ x < 2\)，整数解为\(-1\)，\(0\)，\(1\)。（3）设生产 B 产品\(x\)件，则生产 A 产品\((50 - x)\)件，得\(100(50 - x) + 150x ≤ 6500\)，解得\(x ≤ 30\)，最多能生产 B 产品 30 件。（4）解不等式组得\(a < x ≤ 3\)，一、不等式的有关概念二、不等式的基本性质性质1 如果 a＞b，那么 a＋c＞ ，且 a－c＞ .b＋cb－c＞＞＜＜性质4 如果 a＞b，那么 b a.不等号一元一次不等式一元一次不等式组不等式的解集不等式组的解集不等式性质5 如果 a＞b，b＞c，那么 a c.＜＞ 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，有 等步骤.三、解一元一次不等式去分母去括号移项合并同类项系数化为 1四、解一元一次不等式组1. 分别求出不等式组中各个不等式的解集；2. 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.同大取大同小取小大小小大中间找 大大小小无处找x＞bx＜aa＜x＜b无解五、用数轴表示一元一次不等式 (组) 的解集 (a＜b)xxxx六、利用一元一次不等式 (组) 解决实际问题1. 根据题意，适当设出未知数；2. 找出题中数量间的不等关系；3. 用未知数表示不等关系中的数量；4. 列出不等式 (组) 并求出其解集；5. 检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，然后作答.例1 下列命题正确的是 ( )A. 若 a＞b，b＜c，则 a＞c B. 若 a＞b，则 ac＞bcC. 若 a＞b，则 ac2＞bc2 D. 若 ac2＞bc2，则 a＞bD考点一 运用不等式的基本性质求解【解析】选项 A，由 a＞b，b＜c，不能确定 a＞c；选项 B，a＞b，当 c＝0 时，ac＝bc，故不能确定 ac＞bc；选项 C，a＞b，当 c ＝0 时，ac2＝bc2，不能确定 ac2＞bc2；选项 D，ac2＞bc2，隐含 c ≠ 0 ，可以根据不等式的性质2在不等式的两边同时除以正数 c2，从而确定 a＞b.1. 已知 a＜b，则下列各式不成立的是 ( ) A. 3a＜3b B. －3a＜－3b C. a－3＜b－3 D. 3＋a＜3＋bBB解：去分母，得 2(2x－1)－(9x＋2)≤6.去括号，得 4x－2－9x－2≤6.移项，得 4x－9x≤6＋2＋2.合并同类项，得 －5x≤10.系数化 1，得 x≥－2.不等式的解集在数轴上的表示如图.考点二 解一元一次不等式3. 不等式 2x－1 ≤ 6 的正整数解是 . 1，2，34. 已知关于 x 的方程 2x＋4＝m－x 的解为负数，则 m 的取值范围是 .m＜4 先求出不等式的解集，然后根据“大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈”的原则在数轴上表示解集.解：解不等式，得 x≤3，考点三 解一元一次不等式组通过观察数轴可知该解集中的整数解为 2，3.5. 使不等式 x－1≥2 与 3x－7＜8 同时成立的 x 的整数值 是 . 3，4C考点四 不等式、不等式组的实际应用例4 某小区计划购进甲、乙两种树苗，已知甲、乙两种树苗每株分别为 8 元、6 元. 若购买甲、乙两种树苗共 360 株，并且甲树苗的数量不少于乙树苗的一半，请你设计一种费用最少的购买方案.解：设购买甲树苗的数量为 x 株，依题意得解得 x≥120.所以 购买甲树苗 120 株，乙树苗 240 株，总费用最少.因为 甲树苗比乙树苗每株多 2 元，所以 要节省费用，应尽量少买甲树苗.又 x 最小为 120， 解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、解、找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重要的是利用题中的已知条件，列出不等式 (组)，然后通过解出不等式 (组) 确定未知数的范围，利用未知数的特征 (如整数问题)，依据条件，找出对应的未知数的确定数值，以实现确定方案的解答.7. 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3 件，则剩余 4 件；若前面每人分 4 件，则最后一人得到的玩具不足 3 件．求小朋友的人数与玩具数. 大单元整合复习 不等式(组)的相关概念   03.下列是一元一次不等式组的是( )D 4.下列说法中，正确的是( )D  不等式的基本性质 B         一元一次不等式(组)的解法 D  AA. B. C. D.       一元一次不等式(组)的应用 B  DA.六折 B.七折 C.八折 D.九折13.［立德树人·传统文化］ “文房四宝” 是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”.经过调查得知：甲种“文房四宝”每套的价格比乙种每套的价格贵40元，买5套甲种和10套乙种共用1 100元.(1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少；  (2)若学校需购买甲、乙两种类型的“文房四宝”共120套，总费用不超过8 600元，并且根据学生需求，要求购买乙种 “文房四宝”的数量必须低于甲种“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低总费用是多少？    数学思想       易错题    10  聚焦安徽中考 AA. B. C. D.  C 一元一次不等式(组)不等式不等式的解集一元一次不等式一元一次不等式组解集数轴表示不等式的基本性质解集数轴表示解法解法实际应用阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086