7.3.1一元一次不等式组及解简单的一元一次不等式组（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880一元一次不等式组及解简单的一元一次不等式组课程导入知识回顾之前我们学习了一元一次不等式的解法及其应用，知道了如何通过列一元一次不等式解决实际中的不等关系问题。但在实际生活中，有些问题的解决需要同时满足多个不等关系，例如购买商品时既要考虑预算限制，又要满足数量要求。这就需要我们学习一种新的知识 —— 一元一次不等式组。情境引入问题：某学校组织学生参加社会实践活动，现有两种客车可供租用。A 型客车每辆载客 45 人，B 型客车每辆载客 30 人。学校共有 150 名学生，计划租用这两种客车共 4 辆，且要保证所有学生都有座位，同时 A 型客车数量不能超过 B 型客车数量。设租用 A 型客车\(x\)辆，那么\(x\)需要满足哪些不等关系？如何表示这些不等关系呢？要解决这个问题，我们需要同时考虑两个不等关系，这就涉及到一元一次不等式组的知识。知识讲解一元一次不等式组的概念由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式系统，叫作一元一次不等式组。一元一次不等式组的特征：每个不等式都是一元一次不等式；所有不等式含有相同的未知数；不等式组由两个或两个以上不等式组成。例如：\(\begin{cases}x + 3 > 5 \\2x - 1 < 7\end{cases}\)、\(\begin{cases}3x + 2 \geq 4 \\x - 5 < 1 \\2x - 3 > x\end{cases}\)都是一元一次不等式组；而\(\begin{cases}x + y > 3 \\2x - 1 < 5\end{cases}\)（含有两个未知数）、\(\begin{cases}x^2 + 1 > 0 \\3x - 2 < 4\end{cases}\)（第一个不是一元一次不等式）都不是一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。例如：不等式组\(\begin{cases}x > 2 \\x < 5\end{cases}\)的解集是\(2 < x < 5\)，即 2 到 5 之间的所有数是两个不等式解集的公共部分；不等式组\(\begin{cases}x > 3 \\x < 1\end{cases}\)没有公共部分，所以无解。确定一元一次不等式组解集的方法数轴法分别求出不等式组中每个不等式的解集；在同一条数轴上表示出每个不等式的解集；找出数轴上所有解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集；如果没有公共部分，则不等式组无解。例如：解不等式组\(\begin{cases}x + 1 > 3 \\3x - 6 < 0\end{cases}\)，解第一个不等式得\(x > 2\)，解第二个不等式得\(x < 2\)，在数轴上表示后发现没有公共部分，所以不等式组无解。口诀法对于由两个一元一次不等式组成的不等式组，设\(a < b\)，其解集有以下四种情况：不等式组解集口诀\(\begin{cases}x > a \\x > b\end{cases}\)\(x > b\)同大取大\(\begin{cases}x < a \\x < b\end{cases}\)\(x < a\)同小取小\(\begin{cases}x > a \\x < b\end{cases}\)\(a < x < b\)大小小大中间找\(\begin{cases}x < a \\x > b\end{cases}\)无解大大小小无解了解一元一次不等式组的步骤分别求解：求出不等式组中每个一元一次不等式的解集；确定公共部分：利用数轴或口诀找出所有解集的公共部分，即不等式组的解集；写出解集：用数学式子表示出不等式组的解集，如果无解也要明确说明。例题分析例 1解下列一元一次不等式组，并在数轴上表示解集：（1）\(\begin{cases}2x - 1 > x + 1 \\x + 8 < 4x - 1\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}3(x + 2) > x + 8 \\ \frac{x}{4} \geq \frac{x - 1}{3}\end{cases}\)。解：（1）解第一个不等式\(2x - 1 > x + 1\)，移项得\(2x - x > 1 + 1\)，合并同类项得\(x > 2\)。解第二个不等式\(x + 8 < 4x - 1\)，移项得\(x - 4x < -1 - 8\)，合并同类项得\(-3x < -9\)，系数化为 1 得\(x > 3\)。在数轴上表示两个解集：\(x > 2\)和\(x > 3\)的公共部分是\(x > 3\)。所以不等式组的解集是\(x > 3\)。（2）解第一个不等式\(3(x + 2) > x + 8\)，去括号得\(3x + 6 > x + 8\)，移项得\(3x - x > 8 - 6\)，合并同类项得\(2x > 2\)，系数化为 1 得\(x > 1\)。解第二个不等式\(\frac{x}{4} \geq \frac{x - 1}{3}\)，去分母得\(3x \geq 4(x - 1)\)，去括号得\(3x \geq 4x - 4\)，移项得\(3x - 4x \geq -4\)，合并同类项得\(-x \geq -4\)，系数化为 1 得\(x \leq 4\)。在数轴上表示两个解集：\(x > 1\)和\(x \leq 4\)的公共部分是\(1 < x \leq 4\)。所以不等式组的解集是\(1 < x \leq 4\)。例 2解下列一元一次不等式组：（1）\(\begin{cases}5x - 1 > 3(x + 1) \\ \frac{1}{2}x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2}x\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}2x + 3 \leq 5 \\3x - 2 \geq 4\end{cases}\)。解：（1）解第一个不等式\(5x - 1 > 3(x + 1)\)，去括号得\(5x - 1 > 3x + 3\)，移项得\(5x - 3x > 3 + 1\)，合并同类项得\(2x > 4\)，系数化为 1 得\(x > 2\)。解第二个不等式\(\frac{1}{2}x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2}x\)，移项得\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x \leq 7 + 1\)，合并同类项得\(2x \leq 8\)，系数化为 1 得\(x \leq 4\)。所以不等式组的解集是\(2 < x \leq 4\)。（2）解第一个不等式\(2x + 3 \leq 5\)，移项得\(2x \leq 5 - 3\)，合并同类项得\(2x \leq 2\)，系数化为 1 得\(x \leq 1\)。解第二个不等式\(3x - 2 \geq 4\)，移项得\(3x \geq 4 + 2\)，合并同类项得\(3x \geq 6\)，系数化为 1 得\(x \geq 2\)。在数轴上表示两个解集，发现没有公共部分，所以不等式组无解。例 3当\(k\)为何值时，关于\(x\)的一元一次不等式组\(\begin{cases}x - k \geq 0 \\3 - 2x > -1\end{cases}\)的解集为\(k \leq x < 2\)？解：解第一个不等式\(x - k \geq 0\)得\(x \geq k\)。解第二个不等式\(3 - 2x > -1\)，移项得\(-2x > -1 - 3\)，合并同类项得\(-2x > -4\)，系数化为 1 得\(x < 2\)。因为不等式组的解集为\(k \leq x < 2\)，根据 “大小小大中间找” 的口诀，可知\(k < 2\)。又因为解集是\(k \leq x < 2\)，所以\(k\)必须满足\(k \leq 2\)，结合前面的\(k < 2\)，所以\(k < 2\)。当\(k < 2\)时，不等式组的解集为\(k \leq x < 2\)。例 4某工厂要生产一批零件，要求零件的长度在\(50 \pm 0.5\)mm 范围内才算合格。设零件的长度为\(x\)mm，用不等式组表示合格零件的长度范围，并求出解集。解：零件长度合格需满足大于等于\(50 - 0.5 = 49.5\)mm，且小于等于\(50 + 0.5 = 50.5\)mm。所以不等式组为\(\begin{cases}x \geq 49.5 \\x \leq 50.5\end{cases}\)。解这个不等式组，根据 “大小小大中间找”，解集为\(49.5 \leq x \leq 50.5\)。答：合格零件的长度范围是\(49.5 \leq x \leq 50.5\)mm。课堂总结重点回顾一元一次不等式组的概念：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式系统。一元一次不等式组的解集：所有不等式解集的公共部分，没有公共部分则无解。确定解集的方法：数轴法（分别表示解集，找公共部分）和口诀法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了）。解一元一次不等式组的步骤：分别求解每个不等式、确定公共部分、写出解集。知识拓展解不等式组时，每个不等式的解集都要正确求解，这是确定公共部分的基础，尤其要注意系数化为 1 时不等号方向是否改变。利用数轴确定公共部分时，要注意数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），以及空心圆圈和实心圆点的区别。对于含有字母参数的不等式组，要结合解集的情况分析参数的取值范围，可通过数轴或口诀逆向推理。一元一次不等式组在实际问题中应用广泛，例如在方案设计、范围确定等问题中，常需要列出不等式组求解，再结合实际意义筛选合理方案。1. 掌握一元一次不等式组的有关概念及其解集；（重点）2. 会解简单的一元一次不等式组，并会在数轴上表 示出其解集.（重点、难点） 同学们，你能根据上图对话片段估计出这头大象的体重范围吗? 请说说你的理由! 若设大象的体重为 x 吨,请用不等式的知识分别表示上面两位同学所谈话的内容：看，这头大象好大呀，体重肯定不少于 3 吨!嗨，我听说管理员说，这头大象的体重不足 5 吨呢！问题：一个长方形足球场的宽为 70 m，如果它的周长大于 350 m，面积小于 7630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛(注：用于国际比赛的足球场的长在 100 至 110 m 之间，宽在 64 至 75 m之间).一元一次不等式组的概念及解集 如果设足球场的长为 x m，那么它的周长就是 2(x＋70) m，面积为 70x m2. 根据已知条件，我们知道 x 满足：2(x + 70)＞350 和 70x＜7630，这两个不等式同时成立. 为此，我们用大括号把上述两个不等式联立起来，得2( x＋70 )＞350 和 70x＜76301. 判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：××√√；，；，，；，.思考：怎样确定上面的不等式组中未知数的取值范围呢？ 类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组中的未知数的取值范围. 归纳：这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组. 问题1：通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？试一试：用数轴表示出不等式组 的解集.所以这个不等式组的解集为 -3 ＜ x ≤ 3.公共部分一元一次不等式的解法问题2：解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况? 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找x＞bx＜aa＜x＜b无解填表：x＞-3-5＜x≤-3x＜-3无解 例1 解上面问题中的不等式组：解：解不等式 ①，得解不等式 ②，得x＞105.x＜109. 由此可知，这个足球场的长度在 105 至 109 m 之间，从场地的大小方面来说，可以进行国际足球比赛. 解不等式②，得x>2.例2 解不等式组：解： 解不等式①，得在数轴上分别表示这两个不等式的解集.由图可知，这两个不等式解集的公共部分是 x > 2，因此，原不等式组的解集是 x > 2.-1.5 解不等式②，得 x ＞4.例3 解不等式组：解： 解不等式①，得x ＞2.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图：由图可知，不等式 ①、② 的解集的公共部分就是 x ＞ 4，所以这个不等式组的解集是 x＞ 4.例4 解不等式组：解： 解不等式①，得x＜－2. 解不等式②，得 x＞3.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图：由图可以看出这两个不等式的解集没有公共部分.所以这个不等式组无解.1. 说出下列不等式组的解集：解：(1) x > 0. (2) x < -1. (3) 2 < x < 7. (4) x < 1.41.2. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：    在数轴上表示如图：在数轴上表示如图：核心必知由几个含有________未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫作一元一次不等式组.这几个一元一次不等式解集的__________，叫作这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程叫作解不等式组.同一个公共部分1星题 基础练 一元一次不等式组的定义1.下列属于一元一次不等式组的是( )D    一元一次不等式组的解集 AA. B. C. D.      解简单的一元一次不等式组       请结合题意填空，完成本题的解答.(1)解不等式①，得______；(2)解不等式②，得________；  (3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：解：在数轴上表示如图.(4)原不等式组的解集为____________. 10.解不等式组：    2星题 中档练 A        1或2    3星题 提升练16. ［运算能力］阅读材料，解决下列问题.  【问题探究】      一元一次不等式组阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086