第6章 实数【章末复习】（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880第 6 章 实数 章末复习知识梳理平方根概念：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫作\(a\)的平方根，也叫作二次方根。即如果\(x^2 = a\)，那么\(x\)叫作\(a\)的平方根。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。零的平方根是\(0\)。负数没有平方根。表示方法：正数\(a\)的平方根用 “\(\pm\sqrt{a}\)” 表示，其中正平方根记作 “\(\sqrt{a}\)”，读作 “根号\(a\)”；负平方根记作 “\(-\sqrt{a}\)”，读作 “负根号\(a\)”。算术平方根：正数\(a\)的正平方根 “\(\sqrt{a}\)” 叫作\(a\)的算术平方根，\(0\)的算术平方根是\(0\)。算术平方根具有双重非负性，即\(\sqrt{a}\)中，\(a\geq0\)，\(\sqrt{a}\geq0\)。开平方：求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方与开平方互为逆运算。立方根概念：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫作\(a\)的立方根，也叫作三次方根。即如果\(x^3 = a\)，那么\(x\)叫作\(a\)的立方根。性质：正数的立方根是正数。负数的立方根是负数。\(0\)的立方根是\(0\)。每个数都有且只有一个立方根。表示方法：数\(a\)的立方根记作 “\(\sqrt[3]{a}\)”，读作 “三次根号\(a\)”，其中根指数\(3\)不能省略。特殊性质：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)，即负数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数。开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方与开立方互为逆运算。实数无理数：无限不循环小数叫作无理数。常见类型有开方开不尽的数的方根、特定结构的无限不循环小数、圆周率\(\pi\)及含\(\pi\)的数等。实数概念：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点一一对应。实数分类：按定义分：实数分为有理数（整数、分数）和无理数。按性质分：实数分为正实数、\(0\)、负实数，正实数和负实数又分别包括正有理数、正无理数和负有理数、负无理数。实数的大小比较：数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。法则比较法：正数大于\(0\)，负数小于\(0\)，正数大于负数；两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的数反而小；含根号正数可比较平方大小。实数的运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用，运算顺序为先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次进行，有括号先算括号里面的。实数的性质：相反数：实数\(a\)的相反数是\(-a\)，若\(a\)与\(b\)互为相反数，则\(a + b=0\)。绝对值：正实数的绝对值是本身，负实数的绝对值是相反数，\(0\)的绝对值是\(0\)。倒数：乘积为\(1\)的两个实数互为倒数，\(0\)没有倒数。易错点分析平方根与算术平方根混淆：平方根是互为相反数的两个数（\(0\)除外），而算术平方根只是其中的正数，例如\(4\)的平方根是\(\pm2\)，算术平方根是\(2\)，不能说\(4\)的平方根是\(2\)。忽略平方根的双重非负性：在\(\sqrt{a}\)中，\(a\geq0\)且\(\sqrt{a}\geq0\)，解题时容易忽略被开方数的非负性，例如在\(\sqrt{x - 2}\)中，要保证\(x - 2\geq0\)即\(x\geq2\)。立方根符号问题：负数的立方根是负数，容易错误地认为负数没有立方根，实际上任何数都有立方根，例如\(-8\)的立方根是\(-2\)。无理数判断错误：认为带根号的数都是无理数，实际上开方开得尽的数是有理数，例如\(\sqrt{4}=2\)是有理数；也不要认为无限小数都是无理数，无限循环小数是有理数。实数运算顺序错误：在进行实数混合运算时，要遵循运算顺序，先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，避免因顺序错误导致结果出错。综合例题讲解例 1求下列各数的平方根和算术平方根：（1）\(64\)；（2）\(0.25\)；（3）\((-3)^2\)解：（1）因为\((\pm8)^2 = 64\)，所以\(64\)的平方根是\(\pm8\)，算术平方根是\(8\)。（2）因为\((\pm0.5)^2=0.25\)，所以\(0.25\)的平方根是\(\pm0.5\)，算术平方根是\(0.5\)。（3）\((-3)^2 = 9\)，因为\((\pm3)^2 = 9\)，所以\((-3)^2\)的平方根是\(\pm3\)，算术平方根是\(3\)。例 2求下列各数的立方根：（1）\(-125\)；（2）\(0.008\)；（3）\(\frac{27}{64}\)解：（1）因为\((-5)^3=-125\)，所以\(-125\)的立方根是\(-5\)，即\(\sqrt[3]{-125}=-5\)。（2）因为\(0.2^3 = 0.008\)，所以\(0.008\)的立方根是\(0.2\)，即\(\sqrt[3]{0.008}=0.2\)。（3）因为\((\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}\)，所以\(\frac{27}{64}\)的立方根是\(\frac{3}{4}\)，即\(\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{3}{4}\)。例 3把下列各数分别填入相应的集合里：\(3.14\)，\(-\sqrt{5}\)，\(0\)，\(\sqrt[3]{8}\)，\(\pi\)，\(-\frac{22}{7}\)，\(0.1010010001…\)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）有理数集合：\(\{\quad\}\)无理数集合：\(\{\quad\}\)正实数集合：\(\{\quad\}\)负实数集合：\(\{\quad\}\)解：先化简\(\sqrt[3]{8}=2\)。有理数集合：\(\{3.14, 0, \sqrt[3]{8}, -\frac{22}{7}\}\)无理数集合：\(\{-\sqrt{5}, \pi, 0.1010010001…\)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）\(\}\)正实数集合：\(\{3.14, \sqrt[3]{8}, \pi, 0.1010010001…\)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）\(\}\)负实数集合：\(\{-\sqrt{5}, -\frac{22}{7}\}\)例 4比较下列各组数的大小：（1）\(\sqrt{13}\)和\(4\)；（2）\(-\sqrt{7}\)和\(-2.6\)；（3）\(3\sqrt{2}\)和\(2\sqrt{3}\)解：（1）因为\((\sqrt{13})^2 = 13\)，\(4^2 = 16\)，\(132\sqrt{3}\)。例 5计算下列各式：（1）\(\sqrt{25}-\sqrt[3]{27}+\vert-\sqrt{9}\vert\)；（2）\((\sqrt{5}+\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}\)；（3）\((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\)解：（1）\(\sqrt{25}-\sqrt[3]{27}+\vert-\sqrt{9}\vert=5 - 3+\vert-3\vert=5 - 3 + 3=5\)。（2）\((\sqrt{5}+\sqrt{3})-2\sqrt{3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)。（3）\((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2 - 1=1\)。例 6已知\(\vert x - 2\vert+\sqrt{y + 3}=0\)，求\(x + y\)的立方根。解：因为\(\vert x - 2\vert\geq0\)，\(\sqrt{y + 3}\geq0\)，且\(\vert x - 2\vert+\sqrt{y + 3}=0\)，所以\(\vert x - 2\vert=0\)，\(\sqrt{y + 3}=0\)。即\(x - 2=0\)，\(y + 3=0\)，解得\(x = 2\)，\(y=-3\)。则\(x + y=2+(-3)=-1\)，\(-1\)的立方根是\(-1\)，所以\(x + y\)的立方根是\(-1\)。巩固练习填空题（1）\(16\)的平方根是______，算术平方根是______。（2）\(-8\)的立方根是______，\(0\)的立方根是______。（3）在实数\(\sqrt{7}\)，\(0\)，\(-\pi\)，\(3.1415\)，\(-\sqrt{25}\)中，无理数有______。（4）比较大小：\(\sqrt{5}\)\(2.3\)；\(-\sqrt{3}\)\(-1.7\)。（5）若\(a\)的算术平方根是\(3\)，则\(a=\)______。选择题（1）下列说法正确的是（ ）A. 无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数C. 无理数是无限不循环小数D. 实数包括正实数和负实数（2）下列计算正确的是（ ）A. \(\sqrt{4}=\pm2\)B. \(\sqrt[3]{-8}=2\)C. \(\sqrt{(-3)^2}=-3\)D. \(\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1\)（3）若\(x^2=16\)，则\(5 - x\)的平方根是（ ）A. \(\pm1\)B. \(\pm3\)C. \(1\)或\(9\)D. \(\pm1\)或\(\pm3\)解答题（1）求下列各数的平方根和立方根：① \(100\)；② \(-\frac{1}{64}\)（2）计算：\(\sqrt{36}+\sqrt[3]{-64}-\sqrt{(-2)^2}+\vert\sqrt{2}-1\vert\)（3）已知\(2a - 1\)的平方根是\(\pm3\)，\(3a + b - 1\)的算术平方根是\(4\)，求\(a + 2b\)的值。（4）比较\(\sqrt{11}-2\)与\(1\)的大小，并说明理由。参考答案填空题（1）\(\pm4\)，\(4\)（2）\(-2\)，\(0\)（3）\(\sqrt{7}\)，\(-\pi\)（4）\(>\)，\(