6.2.1实数的概念及分类（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548806.2.1 实数的概念及分类课程导入知识回顾在之前的学习中，我们认识了有理数。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。例如：3=3.0，1/2=0.5，1/3=0.\( \dot{3} \) 。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。情境引入我们知道，边长为 1 的正方形的对角线的长是√2 。那么√2 是有理数吗？通过计算可知，√2=1.4142135623730950488016887242097…，它是一个无限不循环小数，不能表示为分数形式，所以√2 不是有理数。知识讲解无理数的概念无限不循环小数叫作无理数。无理数的特征：是无限小数；是不循环小数；不能表示为分数形式（即不能表示为两个整数的比值）。常见的无理数类型：开方开不尽的数的方根，如√2、√3、√5、³√7 等；具有特定结构的无限不循环小数，如 0.101001000100001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）；圆周率 π 及一些含有 π 的数，如 π、2π、π/2 等（π≈3.141592653589793…）。实数的概念有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数是有理数和无理数的集合，一切实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。实数的分类按定义分类实数可以分为有理数和无理数：有理数：整数和分数，即有限小数和无限循环小数。整数：正整数、0、负整数，如 1、0、-3 等；分数：正分数、负分数，如 1/2、-3/4、0.25（可化为 1/4）等。无理数：无限不循环小数，如√2、π、0.1010010001… 等。按性质分类实数可以分为正实数、0、负实数：正实数：大于 0 的实数。正有理数：正整数、正分数，如 2、3/5、0.6 等；正无理数：正的无限不循环小数，如√3、π/2 等。0：既不是正数也不是负数的实数。负实数：小于 0 的实数。负有理数：负整数、负分数，如 - 1、-2/3、-0.4 等；负无理数：负的无限不循环小数，如 -√5、-π 等。例题分析例 1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，-4/3，0.\( \dot{5}\dot{7} \)，√5，-√16，π/2，0.1010010001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）解：有理数是可以表示为有限小数或无限循环小数的数，所以有理数有：3.14，-4/3，0.\( \dot{5}\dot{7} \)，-√16（因为 -√16=-4，是整数）。无理数是无限不循环小数，所以无理数有：√5，π/2，0.1010010001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。例 2将下列实数按要求分类：-5，√6，0，3.1415，-√9，³√8，π，-1/3，0.3\( \dot{2} \)（1）正实数：（2）负实数：（3）有理数：（4）无理数：解：先对部分数进行化简：-√9=-3，³√8=2。（1）正实数是大于 0 的实数，所以正实数有：√6，3.1415，³√8，π，0.3\( \dot{2} \)；（2）负实数是小于 0 的实数，所以负实数有：-5，-√9，-1/3；（3）有理数是有限小数或无限循环小数，所以有理数有：-5，0，3.1415，-√9，³√8，-1/3，0.3\( \dot{2} \)；（4）无理数是无限不循环小数，所以无理数有：√6，π。例 3判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）有理数都是实数，实数不都是有理数。解：（1）不正确。理由：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，如 0.\( \dot{3} \)是无限循环小数，是有理数。（2）正确。理由：无理数的定义就是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数。（3）不正确。理由：带根号的数不一定是无理数，如√4=2，是有理数，只有开方开不尽的数的方根才是无理数。（4）正确。理由：实数包括有理数和无理数，所以有理数都是实数，而实数中除了有理数还有无理数，即实数不都是有理数。课堂总结重点回顾无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。无理数的常见类型：开方开不尽的数的方根、特定结构的无限不循环小数、含 π 的数等。实数的概念：有理数和无理数统称为实数。实数的分类：按定义分：实数分为有理数（整数、分数）和无理数；按性质分：实数分为正实数、0、负实数，其中正实数和负实数又分别包括正有理数、正无理数和负有理数、负无理数。实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应。知识拓展有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用。判断一个数是否为无理数，关键看它是否是无限不循环小数，不能仅看形式是否带根号或是否是无限小数。实数的分类可以根据不同的标准进行，但要注意分类的不重不漏原则。 一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为 6 cm 的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？你见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？42  活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？无理数的认识还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.从“数”的角度：因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4 所以 12 < a2 < 22 ， 所以 1< a < 2，a 不是整数追问2：a 可能是分数吗？①a 是分母为 2 的分数吗？②a 是分母为 3 的分数吗？③a 是分母为 4 的分数吗？④a 是分母为多少的分数？归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.(1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？(2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下页表格：1a2面积为 2问题2：a 究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索：1 < S < 41.96 < S < 2.251.988 1 < S < 2.016 41.999 396 < S < 2.002 2251.999 961 64 < S < 2.000 244 49(1) 边长 a 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 2 呢？为什么？(2) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ a = 1.414 213 56…，它是一个无限不循环小数想一想 做一做 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的 形式，你有什么发现？ 事实上，我们已说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫做无限不循环小数. 我们把无限不循环小数叫做无理数.把下列各数分别填入相应的集合内：0.101， 有理数集合 无理数集合（每两个3之间依次增加一个7）（每两个3之间依次增加一个7）我们常见的无理数有以下三种形式：例1 设 n 为正整数，且 n＜ ＜n＋1，则 n 的值为(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8方法总结：开不尽方的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以确定一个带根号的数的整数部分，从而估计其大致范围．练一练： 写出一个比 －3 大的无理数：_________.D有理数和无理数统称为实数.无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开不尽方的数开方所得结果有规律但不循环的无限小数……化简后含有 π 的数实数的概念及分类 你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？ 正数负数，，，，，，，，，，.正实数负实数数实负有理数正有理数按符号分类： 0负无理数正无理数有理数：负实数：正实数：例2 将下列各数分别填入下列相应的括号内：············1. 把下列各数分类填入图中：实数有理数无理数 0.181 881 888(两个 1 之间依次增加一个8)2.判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”)：(1) 无限小数都是无理数. ( )(2) 无限不循环小数是无理数. ( )(3) 无理数是带根号的数. ( )(4) 分数是无理数. ( ) √××× 1星题 基础练 无理数1.下列是无理数的是( )C 2.[2024·芜湖月考] 下列说法正确的是( )DA.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数是开方开不尽的数D.无限不循环小数是无理数 无理数的估算 CA.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间4.请写出一个大于2且小于3的无理数：________________.  实数及其分类 CA.负数B.无理数C.有理数D.实数       2星题 中档练    9. 请阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：(1)完成材料中解答过程的剩余部分.   实数有理数阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086