6.1.2 立方根（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548806.1.2 立方根课程导入情境引入要制作一个容积为 8m³ 的正方体形状的包装箱。问题：这个正方体包装箱的棱长应该是多少？解答：因为正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，且 2³=8，所以正方体包装箱的棱长为 2m。思考与探索若正方体体积为 1、27、64、125，棱长分别是多少？| 正方体体积 /m³|1|27|64|125||---|---|---|---|---|| 棱长 /m|1|3|4|5|这些问题的共同点是什么？共同点：已知一个数的立方，求这个数。知识讲解立方根的概念一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作 a 的立方根，也叫作三次方根。即：如果 x³=a，那么 x 叫作 a 的立方根。例如：由于 3³=27，所以 27 的立方根是 3；由于 (-3)³=-27，所以 - 27 的立方根是 - 3。立方根的性质正数的立方根是正数。如：8 的立方根是 2；1 的立方根是 1。负数的立方根是负数。如：-8 的立方根是 - 2；-1 的立方根是 - 1。0 的立方根是 0。因为 0³=0，所以 0 的立方根是 0。每个数都有且只有一个立方根。这与平方根不同，平方根只有非负数才有，且正数有两个平方根，而立方根不存在这样的限制。立方根的数学符号表示数 a 的立方根记作 “\(\sqrt[3]{a}\)”，读作 “三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数。例如：27 的立方根是 3，可表示为\(\sqrt[3]{27}=3\)；-8 的立方根是 - 2，可表示为\(\sqrt[3]{-8}=-2\)。注意：根指数 3 不能省略，而平方根的根指数 2 通常省略不写。开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫作开立方。立方与开立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根。例如：已知 4³=64，那么 64 的立方根就是 4，即通过立方运算的结果求其立方根，这就是开立方运算。立方根的特殊性质\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)，即负数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数。例如：\(\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5\)。例题分析例 1求下列各数的立方根：（1）64（2）-125（3）0.008解：（1）由于 4³=64，因此\(\sqrt[3]{64}=4\)；（2）由于 (-5)³=-125，因此\(\sqrt[3]{-125}=-5\)；（3）由于 0.2³=0.008，因此\(\sqrt[3]{0.008}=0.2\)。例 2求下列各式的值：（1）\(\sqrt[3]{216}\)（2）\(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\)（3）\(-\sqrt[3]{-27}\)解：（1）因为 6³=216，所以\(\sqrt[3]{216}=6\)；（2）因为\((-\frac{1}{2})³=-\frac{1}{8}\)，所以\(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}\)；（3）因为 (-3)³=-27，所以\(\sqrt[3]{-27}=-3\)，则\(-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3\)。例 3已知一个数的立方根是 4，求这个数的平方根。解：因为一个数的立方根是 4，所以这个数是 4³=64。64 的平方根是 ±8，即 ±\(\sqrt{64}=±8\)。所以这个数的平方根是 ±8。例 4若\(\sqrt[3]{x-1}=2\)，求 x 的值。解：因为\(\sqrt[3]{x-1}=2\)，两边同时立方可得 x-1=2³=8，则 x=8+1=9。课堂总结重点回顾立方根的概念：如果 x³=a，那么 x 叫作 a 的立方根。立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0；每个数都有且只有一个立方根。立方根的表示：\(\sqrt[3]{a}\)，根指数 3 不能省略。开立方的概念：求一个数的立方根的运算，与立方互为逆运算。立方根的特殊性质：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)。知识拓展被开方数越大，其立方根越大，该结论对所有实数都成立。利用立方根可以解决一些与体积相关的实际问题，如根据物体体积求边长等。平方根与立方根的区别：平方根只有非负数才有，正数有两个平方根且互为相反数；立方根任何数都有，且只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？问题：要做一个体积为 64 cm3 的正方体模型 (如图)，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为 x cm，则 x3 = 64.这就是要求一个数，使它的立方等于 64.因为 x3 = 64， 所以 x = 4. 正方体的棱长为 4 cm.想一想 (1) 什么数的立方等于 -8？ (2) 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？-2立方根的概念及性质立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a 的三次方根．立方根的表示 一个数 a 的立方根记作：根指数被开方数其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.读作：三次根号 a，填一填： 根据立方根的意义填空： 因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；02-20-2立方根的性质 正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；零的立方根是零.立方根是它本身的数有 1，-1，0；平方根是它本身的数只有 0.平方根与立方根的异同 有两个，互为相反数有一个，是正数无平方根零有一个，是负数零正数负数零求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数.注意：这个根指数3 绝对不可省略. 开立方及相关运算求一个数的立方根的运算叫做“开立方”.“开立方”与“立方”互为逆运算逆向思维 与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你体会到了么？例1 求下列各数的立方根:(1) 27； (2)－64； (3) 0.解：(1) 因为 33 = 27，所以 27 的立方根是 3，即 (2) 因为 (－4)3 = －64，所以 －64 的立方根是 －4，即 (3) 因为 03 = 0，所以 0 的立方根是 0，即 求下列各式的值：体会：对于任何数 a,a 240-2-3探究1温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.体会：对于任何数 a,a 8 270-8-27探究2求下列各式的值:体会：(1) 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数.(2) 负号可从“根号内” 直接移到“根号外” . 求下列各式的值: (1) ； (2) .探究3-0.2-0.2求下列各式的值：答案：(1) 0.5； (2)－4； (3) －4； (4) 5； (5) 16.例2 求下列各式的值：例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是 3，求 x2＋y2 的算术平方根．方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解．解：因为 x－2 的平方根是±2，所以 x－2＝4. 所以x＝6.因为 2x＋y＋7 的立方根是 3，所以 2x＋y＋7＝27. 把 x＝6 代入，解得 y＝8.因为 x2＋y2＝36＋64＝100，所以 x2＋y2 的算术平方根为 10. 请同学们自己算出第(3)(4)题的结果.1. 填表：12341252163435127291000    核心必知 正数负数01星题 基础练 立方根 33 C 【变式题】 若一个数的立方根为5，则这个数是( )B 3.下列计算不正确的是( )C 4.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是__________. 【补充设问】 若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数是______.0或15.求下列各数的立方根：(1)0.008；      用计算器求一个数的立方根或它的近似值 BA. B. C. D.      立方根的应用   A  B 2星题 中档练 C   A    A    294立方根立方根的概念及性质开立方及相关运算阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086