6.2.2实数的运算和大小比较（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548806.2.2 实数的运算和大小比较课程导入知识回顾上节课我们学习了实数的概念及分类，知道实数是有理数和无理数的统称，并且实数与数轴上的点一一对应。有理数可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，那么实数是否也能进行这些运算呢？实数之间又该如何比较大小呢？这就是我们本节课要探讨的内容。情境引入如图，数轴上有 A、B 两点，分别表示实数√2 和√3 。问题：你能判断出√2 和√3 的大小关系吗？A、B 两点在数轴上的位置有什么特点？通过观察数轴可知，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因为 B 点在 A 点右边，所以√3 > √2 。知识讲解实数的大小比较数轴比较法在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。这是实数大小比较的基本方法，利用了实数与数轴上的点一一对应的关系。例如：在数轴上表示 - 1.5 和 -√2 ，-√2≈-1.414，因为 - 1.414 在 - 1.5 的右边，所以 -√2 > -1.5 。法则比较法正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。例如：3 > 0，-2 -3 。两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。例如：5 和 3 都是正数，|5|=5，|3|=3，因为 5 > 3，所以 5 > 3 ；-5 和 - 3 都是负数，| -5|=5，| -3|=3，因为 5 > 3，所以 - 5 < -3 。对于含有根号的正数比较大小，可先比较它们的平方的大小，平方大的数大。例如：比较√5 和 2，因为 (√5)²=5，2²=4，5 > 4，所以√5 > 2 ；比较√7 和√10 ，因为 (√7)²=7，(√10)²=10，7 < 10，所以√7 < √10 。实数的运算实数的运算法则有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，包括：加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b) 。乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0；几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b)（b≠0）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。实数的运算律有理数的运算律在实数范围内同样适用，包括：加法交换律：a + b = b + a 。加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 。乘法交换律：a × b = b × a 。乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 。乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 。实数的运算顺序先算乘方和开方；再算乘除；最后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如果有括号，先算括号里面的。实数的相关性质相反数：实数 a 的相反数是 - a，0 的相反数是 0。若 a 与 b 互为相反数，则 a + b = 0 。例如：√2 的相反数是 -√2 ，π 的相反数是 -π 。绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即：当 a > 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0；当 a < 0 时，|a| = -a 。例如：|√3|=√3 ，| -√5|=√5 ，|0|=0 。倒数：如果两个实数的乘积是 1，那么这两个实数互为倒数，0 没有倒数。若 a 与 b 互为倒数，则 a × b = 1 。例如：2 的倒数是 1/2，√2 的倒数是 1/√2=√2/2（分母有理化后） 。例题分析例 1比较下列各组数的大小：（1）√10 和 3 ；（2）-√5 和 - 2.2 ；（3）√3 - 2 和 - 1/2 。解：（1）因为 (√10)²=10，3²=9，10 > 9，所以√10 > 3 ；（2）因为 | -√5|=√5≈2.236，| -2.2|=2.2，2.236 > 2.2，所以 -√5 < -2.2 ；（3）因为√3≈1.732，所以√3 - 2≈1.732 - 2=-0.268 ，又因为 - 1/2=-0.5 ，-0.268 > -0.5 ，所以√3 - 2 > -1/2 。例 2计算下列各式的值：（1）√4 + √25 - √16 ；（2）(√3 + √2) - √2 ；（3）√5 × √20 ÷ √4 ；（4）(2 + √3)(2 - √3) 。解：（1）√4 + √25 - √16=2 + 5 - 4=3 ；（2）(√3 + √2) - √2=√3 + √2 - √2=√3 ；（3）√5 × √20 ÷ √4=√(5×20)÷2=√100÷2=10÷2=5 ；（4）(2 + √3)(2 - √3)=2² - (√3)²=4 - 3=1 。例 3已知实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示（a 在原点左侧，b 在原点右侧，且 a 到原点的距离大于 b 到原点的距离），化简 | a| - |b| + |a - b| 。解：由数轴可知，a 0，且 | a| > |b| ，所以 a - b < 0 。根据绝对值的性质：|a|=-a，|b|=b，|a - b|=-(a - b)=b - a 。则 | a| - |b| + |a - b|=-a - b + b - a=-2a 。例 4计算：√(- 3)² + |1 - √2| - √2 。解：√( - 3)²=√9=3 ，因为 1 - √2 < 0，所以 | 1 - √2|=√2 - 1 。则√( - 3)² + |1 - √2| - √2=3 + √2 - 1 - √2=2 。课堂总结重点回顾实数的大小比较方法：数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大；法则比较法：正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的数反而小；含根号正数可比较平方大小。实数的运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用，运算顺序与有理数相同。实数的性质：相反数：a 的相反数是 - a，a + (-a)=0 ；绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0 的绝对值是 0 ；倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数。知识拓展在进行实数运算时，遇到无理数可根据需要取近似值，转化为有理数进行计算，但结果要注意保留适当的精确度。对于含有根号的运算，可利用平方差公式、完全平方公式等进行简便计算，如 (a + √b)(a - √b)=a² - b 。比较实数大小时，要灵活选择合适的方法，对于复杂的实数比较，可结合多种方法进行判断。下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 是有理数， 是无理数.思考：有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）思考1：如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达 A 点，则数轴上表示点 A 表示的数是多少？因为圆的周长为 π，数轴上此点 A 表示的是无理数 π.A实数与数轴上的点思考2：如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作点A，那么，点 A 表示什么数?A点 A′ 是画弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？推广：由上可知，无理数和有理数一样也可以用数轴上的点来表示.这可以说明：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，还可以说明：数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.上面两个结论结合起来可以简洁地说成：实数和数轴上的点一一对应. 如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分别应该在数轴上的什么位置呢？例1 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，若点 A 是线段 BC 的中点，求点 C 所表示的实数．解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，所以点 B 到点 A 的距离为 1＋ .则点 C 到点 A 的距离为 1＋ .设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，所以－1－x ＝ 1＋ ，所以 x ＝ －2－ 本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 A 是线段 BC 的中点时，点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 ( )A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个解析：因为 ≈ 1.414，所以 和 5.1 之间的整数有 2，3，4，5，所以 A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个.C例3 分别写出：        1. 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 . 2. -π 的绝对值是 ， = ， = .1. 若 a 是一个实数，则实数 a 的相反数为 -a. 2. ① 一个正实数的绝对值是它本身； ② 一个负实数的绝对值是它的相反数； ③ 0 的绝对值是 0.填空：设 a，b，c 是任意实数，则（1）a + b = （加法交换律）；（2）(a + b) + c = （加法结合律）；（3）a + 0 = 0 + a = ；（4）a + (-a) = (-a) + a = ；（5）ab = （乘法交换律）；（6）(ab)c = （乘法结合律）；b + aa + (b + c)a0baa(bc)（7） 1 · a = a · 1 = ；a 实数的运算（8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律）， (b + c)a = （乘法对于加法的分配律）；（9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ；（10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫做 a 的＿＿＿；（11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b = a · ；（12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0.ab + acba + ca(-b)倒数≠ 每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数. 0 的平方根是 0.在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.实数的平方根与立方根的性质： 此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.例4 近似计算：【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如：与 互为相反数；与 互为倒数；实数的性质思考：实数怎么比较大小呢？ 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.