9.2.2.2分式的加减（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：9.2.2.2 分式的加减学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解并掌握分式的加减法法则，能正确进行同分母分式的加减运算。能熟练进行异分母分式的加减运算（先通分，再加减），并将结果化为最简分式。体会类比思想在分式运算中的应用，提高运算能力和解决问题的能力。幻灯片 3：教学重难点重点：同分母分式的加减法法则，异分母分式的加减法法则（通分后转化为同分母分式加减）。难点：异分母分式加减中的通分过程，以及运算结果的化简（化为最简分式或整式）。幻灯片 4：复习回顾分数的加减法法则：同分母分数相加（减）：分母不变，分子相加（减），即\(\frac{a}{c} ± \frac{b}{c} = \frac{a ± b}{c}\)。异分母分数相加（减）：先通分，化为同分母分数，再按同分母分数加减法法则计算，即\(\frac{a}{b} ± \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} ± \frac{bc}{bd} = \frac{ad ± bc}{bd}\)。分式的通分：将异分母分式化为同分母分式的过程，关键是确定最简公分母。小练习：计算\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\)，\(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}\)。（答案：\(1\)，\(\frac{5}{12}\)）思考：分式的加减是否与分数类似？幻灯片 5：情境导入问题 1：甲工程队完成一项工程需要\(x\)天，乙工程队完成同一项工程需要\(y\)天，那么甲、乙两队每天共完成这项工程的几分之几？（需计算\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)）问题 2：一个长方形的长为\(\frac{a}{b}\)，宽为\(\frac{c}{b}\)，它的长比宽多多少？（需计算\(\frac{a}{b} - \frac{c}{b}\)）通过实际问题引出分式加减法的需求，类比分数加减法法则，引出分式加减法法则。幻灯片 6：同分母分式的加减法法则法则内容：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。字母表示：\(\frac{A}{C} ± \frac{B}{C} = \frac{A ± B}{C}\)（其中\(A\)，\(B\)，\(C\)是整式，且\(C≠0\)）。示例：\(\frac{x}{y} + \frac{2x}{y} = \frac{x + 2x}{y} = \frac{3x}{y}\)；\(\frac{a}{a + b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a - b}{a + b}\)。注意事项：分子相加减时，若分子是多项式，需加括号，避免符号错误。运算结果要化为最简分式或整式（约分）。幻灯片 7：例 1 - 同分母分式的加减计算：（1）\(\frac{3a}{x} + \frac{5a}{x}\)解：根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加\(\frac{3a}{x} + \frac{5a}{x} = \frac{3a + 5a}{x} = \frac{8a}{x}\)（2）\(\frac{x^2}{x - y} - \frac{y^2}{x - y}\)解：分子是多项式，相减时加括号\(\frac{x^2}{x - y} - \frac{y^2}{x - y} = \frac{x^2 - y^2}{x - y}\)因式分解分子：\(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\)约分：\(\frac{(x + y)(x - y)}{x - y} = x + y\)（\(x≠y\)）（3）\(\frac{a + 2b}{a - b} + \frac{b}{b - a} - \frac{2a}{a - b}\)解：先统一分母，\(b - a = -(a - b)\)原式 = \(\frac{a + 2b}{a - b} - \frac{b}{a - b} - \frac{2a}{a - b} = \frac{a + 2b - b - 2a}{a - b} = \frac{-a + b}{a - b} = \frac{-(a - b)}{a - b} = -1\)（\(a≠b\)）幻灯片 8：异分母分式的加减法法则法则内容：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则进行计算。字母表示：\(\frac{A}{B} ± \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} ± \frac{BC}{BD} = \frac{AD ± BC}{BD}\)（其中\(B≠0\)，\(D≠0\)，\(BD\)为最简公分母或其倍数）。步骤：确定最简公分母，对异分母分式进行通分，化为同分母分式。按同分母分式加减法法则计算（分母不变，分子相加减）。对分子进行化简（合并同类项、因式分解）。约分，将结果化为最简分式或整式。示例：\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy}\)。幻灯片 9：例 2 - 异分母分式的加减（分母是单项式）计算：（1）\(\frac{1}{2x} + \frac{3}{4x}\)解：最简公分母是\(4x\)通分：\(\frac{1}{2x} = \frac{2}{4x}\)，\(\frac{3}{4x}\)不变相加：\(\frac{2}{4x} + \frac{3}{4x} = \frac{5}{4x}\)（2）\(\frac{5}{6a^2b} - \frac{2}{3ab^2}\)解：最简公分母是\(6a^2b^2\)通分：\(\frac{5}{6a^2b} = \frac{5b}{6a^2b^2}\)，\(\frac{2}{3ab^2} = \frac{4a}{6a^2b^2}\)相减：\(\frac{5b}{6a^2b^2} - \frac{4a}{6a^2b^2} = \frac{5b - 4a}{6a^2b^2}\)幻灯片 10：例 3 - 异分母分式的加减（分母是多项式）计算：（1）\(\frac{1}{x + 2} + \frac{3}{x^2 - 4}\)解：因式分解分母：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)通分：\(\frac{1}{x + 2} = \frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\)，\(\frac{3}{x^2 - 4} = \frac{3}{(x + 2)(x - 2)}\)相加：\(\frac{x - 2 + 3}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)}\)（分子无法再分解，结果为最简分式）（2）\(\frac{a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b}\)解：因式分解分母：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)，最简公分母是\((a + b)(a - b)\)通分：\(\frac{a}{(a + b)(a - b)}\)，\(\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{(a + b)(a - b)}\)相减：\(\frac{a - (a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - a + b}{(a + b)(a - b)} = \frac{b}{(a + b)(a - b)}\)（\(a≠±b\)）幻灯片 11：例 4 - 分式的混合加减（含多项或复杂分母）计算：\(\frac{1}{x - 3} - \frac{6}{x^2 - 9} - \frac{x - 1}{6 + 2x}\)解：因式分解分母：\(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)，\(6 + 2x = 2(x + 3)\)，最简公分母是\(2(x + 3)(x - 3)\)通分：\(\frac{1}{x - 3} = \frac{2(x + 3)}{2(x + 3)(x - 3)}\)\(\frac{6}{x^2 - 9} = \frac{12}{2(x + 3)(x - 3)}\)\(\frac{x - 1}{6 + 2x} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)}\)代入原式：\(\frac{2(x + 3) - 12 - (x - 1)(x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)}\)化简分子：\(2x + 6 - 12 - (x^2 - 4x + 3) = 2x - 6 - x^2 + 4x - 3 = -x^2 + 6x - 9 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2\)约分：\(\frac{-(x - 3)^2}{2(x + 3)(x - 3)} = \frac{-(x - 3)}{2(x + 3)} = \frac{3 - x}{2x + 6}\)（\(x≠±3\)）幻灯片 12：分式加减法的注意事项同分母分式加减时，分子相加减要加括号，避免符号错误，如\(\frac{a}{c} - \frac{b + d}{c} = \frac{a - b - d}{c}\)（而非\(\frac{a - b + d}{c}\)）。异分母分式加减的核心是通分，通分前需对分母因式分解，确定最简公分母。分子是多项式时，加减后要合并同类项，并尝试因式分解，便于约分。运算结果必须化为最简分式或整式，约分过程要彻底。分母互为相反数时，可通过提取负号化为同分母，如\(\frac{1}{x - y} = -\frac{1}{y - x}\)，避免通分错误。幻灯片 13：易错点辨析判断对错并改正：（1）\(\frac{x}{x + y} + \frac{y}{x + y} = \frac{x + y}{x + y} = 1\) (√)。（2）\(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{1 + 1}{x + 2x} = \frac{2}{3x}\) (×)，改正：同分母应为\(\frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x}\)（错误合并分母）。（3）\(\frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a} = \frac{a - b}{a - b} = 1\) (√)，因为\(\frac{b}{b - a} = -\frac{b}{a - b}\)，所以原式 = \(\frac{a + b}{a - b}\)？ （修正：错误，正确计算应为\(\frac{a}{a - b} + \frac{b}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}\)，原判断错误）。（4）\(\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1 + x - 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\) (√)，通分后分子为\(1 + (x - 1) = x\)。幻灯片 14：课堂练习（1）计算\(\frac{2x}{x + y} + \frac{2y}{x + y}\)解：\(\frac{2x + 2y}{x + y} = \frac{2(x + y)}{x + y} = 2\)（2）计算\(\frac{3}{x - 1} - \frac{3x}{x - 1}\)解：\(\frac{3 - 3x}{x - 1} = \frac{-3(x - 1)}{x - 1} = -3\)（3）计算\(\frac{1}{2x} + \frac{3}{x^2}\)解：最简公分母是\(2x^2\)，通分后得\(\frac{x}{2x^2} + \frac{6}{2x^2} = \frac{x + 6}{2x^2}\)（4）计算\(\frac{x}{x^2 - 4} + \frac{2}{4 - x^2}\)解：\(4 - x^2 = -(x^2 - 4)\)，原式 = \(\frac{x - 2}{x^2 - 4} = \frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{1}{x + 2}\)（\(x≠±2\)）幻灯片 15：实际应用问题问题：某工厂第一季度生产零件，一月份生产\(\frac{a}{x}\)个，二月份比一月份多生产\(\frac{b}{y}\)个，三月份比二月份少生产\(\frac{c}{x}\)个，求第一季度共生产多少个零件。解：一月份产量：\(\frac{a}{x}\)个二月份产量：\(\frac{a}{x} + \frac{b}{y}\)个三月份产量：\((\frac{a}{x} + \frac{b}{y}) - \frac{c}{x} = \frac{a - c}{x} + \frac{b}{y}\)个第一季度总产量：\(\frac{a}{x} + (\frac{a}{x} + \frac{b}{y}) + (\frac{a - c}{x} + \frac{b}{y})\)\(= \frac{a}{x} + \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{a - c}{x} + \frac{b}{y}\)\(= \frac{a + a + a - c}{x} + \frac{b + b}{y}\)\(= \frac{3a - c}{x} + \frac{2b}{y}\)答：第一季度共生产\(\left(\frac{3a - c}{x} + \frac{2b}{y}\right)\)个零件。幻灯片 16：课堂小结同分母分式加减：分母不变，分子相加减，即\(\frac{A}{C} ± \frac{B}{C} = \frac{A ± B}{C}\)。异分母分式加减：先通分（找最简公分母），再按同分母分式加减计算，即\(\frac{A}{B} ± \frac{C}{D} = \frac{AD ± BC}{BD}\)。运算步骤：同分母：分子加减→化简（因式分解、约分）。异分母：通分→同分母加减→化简→约分。关键要点：符号处理，分子多项式加括号，结果化为最简分式或整式。幻灯片 17：布置作业教材第 140 页习题 A 组第 1，2，3 题。思考题：计算\(\frac{x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + 2x + 1} - \frac{2}{1 - x^2}\)1. 同分母分数的加减法则是什么？12同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面的式子该怎么计算？想一想：同分母的分式应该如何加减？请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减.同分母分式的加减同分母分式的加减法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.上述法则可用式子表示为一个整体例1 计算：注意：(1 - a) = -(a - 1)解：原式 === 注意：结果要化为最简分式！=1.计算： 解：原式 === 注意：结果要化为最简分式！=把分子看作一个整体，先用括号括起来！去括号合并同类项问题：异分母分数相加减分数的通分依据：分数的基本性质转化同分母分数的加减异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.异分母分式的加减依据:分数基本性质分数的通分同分母分数相加减异分母分数相加减转化异分母分式相加减分式的通分依据:分式基本性质转化同分母分式相加减请思考 类比：异分母的分式应该如何加减?异分母分式的加减法则 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减.上述法则可用式子表示为例1 计算：分式的加减法的思路 通分转化为异分母相加减同分母相加减 分子(整式)相加减分母不变 转化为解：原式 =先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母分式的加减1.计算： 解：原式 ===注：分母是多项式的先分解因式先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.=例3 计算：解:法一：原式 =法二：原式 =把整式看成分母为“1”的式子例4 阅读下面的计算过程： ① =　　　　　　　　　　　　　　　 ② = ③ = ④(1) 上述计算过程，从哪一步开始出错？请写出 该步的代号_____；(2) 错误原因是___________；(3) 本题的正确结果为： . ②漏掉了分母1. 计算.        2.计算.         3.学校有一块面积为 m 的操场，七(2)班的 a 位同学承担了清除操场杂草的任务.若平均每位同学每小时能清除面积为 n 的杂草，则全班清除全部杂草需要多少时间?七(1)班有 b 位同学，若平均每位同学每小时能清除面积为 k 的杂草则两班合作要比七(2)班单独完成提前多少时间? 解：七(2)班单独清除：m÷(an) =两班一起清除：m÷(an + bk) =  核心必知 相加减通分1星题 基础练 同分母分式的加减1.［知识初练］计算： 1   2  m-1 m-1 1   A 【变式题】 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是( )D  C 5. 计算：     异分母分式的加减    7.计算：   8.有如下计算过程：其中开始出现错误的步骤是 ( ) BA.第(1)步 B.第(2)步 C.第(3)步 D.没有错误9.计算：      2星题 中档练   A  C   分式加减运算加减运算法则注意点异分母分式相加减先转化为同分母分式的加减运算(2) 整式和分式之间进行加减运算时，则要把整式看成分母是 1 的式子，以便通分(3) 异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母(1) 若分式作为减式，则运算时要注意适时添加括号阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086