9.2.2.1 分式的通分-课件-2025-2026学年2024沪科版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：9.2.1 分式的乘除学科：数学年级：七年级下册教材版本：沪科版设计元素：搭配分式乘除法则示意图（如\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)、\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}\)）与分数乘除示例（如\(\frac{2}{3}×\frac{4}{5}\)、\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}\)），直观呈现 “分式乘除是分数乘除的拓展” 这一核心关系幻灯片 2：学习目标理解分式乘除法则的推导过程，明确其与分数乘除法则的一致性，能准确表述分式乘法法则（分子乘分子，分母乘分母）与除法法则（除以一个分式等于乘它的倒数）。掌握分式乘除的运算步骤：先将除法转化为乘法（乘倒数），再分解因式、约分，最后计算分子分母的积，能熟练处理含单项式、多项式的分式乘除运算。能运用分式乘除法则解决化简求值问题，体会 “先约分再计算” 的简化思想，培养运算的严谨性与效率。通过分数与分式的类比，深化 “从具体到抽象” 的数学思想，建立分式运算与整式运算的关联，为后续分式加减奠定基础。幻灯片 3：复习导入回顾旧知：分数乘除法则：乘法：\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）；除法：\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d} = \frac{a}{b}×\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\)（除以一个数等于乘它的倒数）；分式的基本性质：分子分母同乘或除以非零整式，分式值不变；约分：约去分子分母的公因式，化为最简分式；计算热身（分数）：\(\frac{2}{3}×\frac{6}{5} = \)；\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5} = \)。思考问题：类比分数乘法，分式\(\frac{x}{y}\)与\(\frac{a}{b}\)（\(y≠0\)，\(b≠0\)）相乘，结果应为多少？依据是什么？如何计算分式\(\frac{x}{x+1}÷\frac{x^2}{x+1}\)？能否转化为已学的分式乘法运算？导入新课：本节课将通过分数乘除法则的拓展，学习分式的乘除法则，结合因式分解与约分知识，掌握分式乘除的完整运算流程，解决分式乘除的综合问题。幻灯片 4：分式乘除法则的推导（核心探究）1. 分式乘法法则的推导（类比分数）：分数乘法：\(\frac{2}{3}×\frac{4}{5} = \frac{2×4}{3×5} = \frac{8}{15}\)（分子积作分子，分母积作分母）；分式乘法：设\(\frac{A}{B}\)、\(\frac{C}{D}\)是分式（\(B≠0\)，\(D≠0\)，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)为整式），类比分数乘法，定义：分式乘法法则：\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D} = \frac{A×C}{B×D}\)（分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母）；合理性验证：根据分式基本性质，分式乘法本质是 “整式乘法与分式基本性质的结合”，如\(\frac{x}{y}×\frac{a}{b} = \frac{x×a}{y×b}\)，符合 “分子分母分别相乘，值不变” 的逻辑。2. 分式除法法则的推导（类比分数）：分数除法：\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5} = \frac{2}{3}×\frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)（除以一个数等于乘它的倒数）；分式除法：设\(\frac{A}{B}\)、\(\frac{C}{D}\)是分式（\(B≠0\)，\(C≠0\)，\(D≠0\)），类比分数除法，定义：分式除法法则：\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D} = \frac{A}{B}×\frac{D}{C} = \frac{A×D}{B×C}\)（除以一个分式，等于乘这个分式的倒数，再按乘法法则计算）；关键条件：倒数的分母\(C\)不能为零（否则原除法无意义），即\(C≠0\)是分式除法的额外条件。3. 分式乘除的核心原则 ——“先约分，再计算”：与分数乘除类似，分式乘除若直接计算分子分母的积，可能导致结果分子分母过大，增加约分难度；优化步骤：先将分子分母分别分解因式，约去分子分母中的公因式（包括跨分式的公因式，如\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D}\)中\(A\)与\(D\)的公因式、\(B\)与\(C\)的公因式），再计算剩余部分的积，简化运算。幻灯片 5：分式乘法的运算步骤（核心流程）分式乘法步骤（“一分二约三乘四验”）：一分：分解因式：将参与乘法的每个分式的分子、分母分别进行因式分解（提公因式法、公式法等），化为整式乘积的形式；二约：交叉约分：约去分子与分母中的所有公因式（包括同一分式内的公因式、不同分式间的交叉公因式，如分子\(A\)与分母\(B\)、\(D\)的公因式，分子\(C\)与分母\(B\)、\(D\)的公因式）；三乘：计算积：将约分后剩余的分子部分相乘，作为结果的分子；剩余的分母部分相乘，作为结果的分母；四验：验证最简：检查结果是否为最简分式（分子分母无公因式），若不是，需进一步约分；同时验证分母不为零（确保运算有意义）。步骤示例（计算\(\frac{2x}{3y^2}×\frac{6y}{x^2}\)）：一分：分子分母均为单项式，无需分解因式（或视为已分解）：\(\frac{2x}{3y^2}×\frac{6y}{x^2}\)；二约：交叉约分：系数：2 与 6 的最大公因数 2（2÷2=1，6÷2=3），3 与 3 的最大公因数 3（3÷3=1）；字母：\(x\)与\(x^2\)的公因式\(x\)（\(x÷x=1\)，\(x^2÷x=x\)），\(y\)与\(y^2\)的公因式\(y\)（\(y÷y=1\)，\(y^2÷y=y\)）；约分后：\(\frac{1×1}{1×y}×\frac{3×1}{x×1} = \frac{1}{y}×\frac{3}{x}\)；三乘：分子积\(1×3=3\)，分母积\(y×x=xy\)，结果为\(\frac{3}{xy}\)；四验：\(\frac{3}{xy}\)是最简分式，分母\(xy≠0\)（\(x≠0\)，\(y≠0\)），运算有效，正确。幻灯片 6：分式除法的运算步骤（核心流程）分式除法步骤（“一转二分解三约四乘五验”）：一转：转化为乘法：将除法转化为乘法，即乘除数的倒数（注意：仅将除数变为倒数，被除数不变）；二分解：分解因式：对转化后乘法算式中所有分式的分子、分母分别分解因式；三约：交叉约分：约去所有公因式（同乘法步骤）；四乘：计算积：分子相乘作分子，分母相乘作分母；五验：验证最简与有意义：检查结果是否为最简分式，确认所有分母不为零（原分母、除数的分子均不为零）。步骤示例（计算\(\frac{x^2 - 4}{x+1}÷\frac{x-2}{x+1}\)）：一转：转化为乘法，乘除数\(\frac{x-2}{x+1}\)的倒数\(\frac{x+1}{x-2}\)，得\(\frac{x^2 - 4}{x+1}×\frac{x+1}{x-2}\)；二分解：分解分子\(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\)（平方差公式），其余部分无需分解：\(\frac{(x+2)(x-2)}{x+1}×\frac{x+1}{x-2}\)；三约：交叉约分：分子\((x-2)\)与分母\((x-2)\)约去（均不为零）；分子\((x+1)\)与分母\((x+1)\)约去（均不为零）；约分后：\(\frac{(x+2)×1}{1}×\frac{1}{1} = x+2\)；四乘：结果为\(x+2\)（整式可视为分母为 1 的分式）；五验：\(x+2\)是最简形式，原分母\(x+1≠0\)，除数分子\(x-2≠0\)（\(x≠-1\)且\(x≠2\)），运算有效，正确。幻灯片 7：典例精析 —— 分式乘法（含多项式与符号）例 1：计算下列分式乘法，结果化为最简分式或整式：\(\frac{3a^2b}{4xy^2}×\frac{8x^2y}{9a^3}\)（单项式型分式）；\(\frac{x^2 - 2x}{x+3}×\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 4}\)（多项式型分式）；\(\frac{-2x}{y}×\frac{3y^2}{-4x^2}\)（含负号的分式）。解答过程：\(\frac{3a^2b}{4xy^2}×\frac{8x^2y}{9a^3}\)：分解：无需额外分解，直接约分；约分：系数 3 与 9 约去 3（3→1，9→3），8 与 4 约去 4（8→2，4→1）；字母\(a^2\)与\(a^3\)约去\(a^2\)（\(a^2→1\)，\(a^3→a\)），\(b\)保留，\(x^2\)与\(x\)约去\(x\)（\(x^2→x\)，\(x→1\)），\(y\)与\(y^2\)约去\(y\)（\(y→1\)，\(y^2→y\)）；计算：\(\frac{1×1×b×2×x×1}{1×1×y×3×a×1} = \frac{2bx}{3ay}\)；结果：\(\frac{2bx}{3ay}\)；\(\frac{x^2 - 2x}{x+3}×\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 4}\)：分解：\(x^2 - 2x = x(x-2)\)，\(x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\)，\(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\)；约分：\(\frac{x(x-2)}{x+3}×\frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{x×1}{1}×\frac{(x-3)}{(x-2)}\)（约去\(x+3\)与\(x-2\)）；计算：\(\frac{x(x-3)}{x-2} = \frac{x^2 - 3x}{x-2}\)；结果：\(\frac{x^2 - 3x}{x-2}\)（最简分式）；\(\frac{-2x}{y}×\frac{3y^2}{-4x^2}\)：符号处理：负号与负号相乘得正，系数 2 与 4 约去 2，3 保留，字母\(x\)与\(x^2\)约去\(x\)，\(y^2\)与\(y\)约去\(y\)；约分后：\(\frac{1×1×3×y}{1×1×2×x} = \frac{3y}{2x}\)；结果：\(\frac{3y}{2x}\)。幻灯片 8：典例精析 —— 分式除法（含多项式与化简求值）例 2：计算下列分式除法，或先化简再求值：\(\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1}÷\frac{a-2}{a+1}\)（多项式型分式除法）；先化简\(\frac{x^2 - xy}{x^2 + 2xy + y^2}÷\frac{x - y}{x + y}\)，再求值（其中\(x = 3\)，\(y = -1\)）。解答过程：\(\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1}÷\frac{a-2}{a+1}\)：转化：\(\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1}×\frac{a+1}{a-2}\)；分解：\(a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2\)，\(a^2 - 1 = (a+1)(a-1)\)；约分：\(\frac{(a-2)^2}{(a+1)(a-1)}×\frac{a+1}{a-2} = \frac{a-2}{a-1}\)（约去\(a+1\)与\(a-2\)）；结果：\(\frac{a-2}{a-1}\)；化简求值：转化：\(\frac{x^2 - xy}{x^2 + 2xy + y^2}×\frac{x + y}{x - y}\)；分解：\(x^2 - xy = x(x-y)\)，\(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\)；约分：\(\frac{x(x-y)}{(x+y)^2}×\frac{x+y}{x-y} = \frac{x}{x+y}\)（约去\(x-y\)与\(x+y\)）；新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个________________，分式的值_______.不变不等于零的整式2. 什么叫约分？ 把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分.最小公倍数：24 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.通分的关键是确定几个分母的最小公倍数解：分式的通分想一想： 联想分数的通分，由上述两个问题你能想出如何将分式进行通分吗？问题2：填空：分式的通分的定义例1 找出下面各组分式的最简公分母：最小公倍数最高次幂单独字母通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.2a2b2c不同的因式 如果最简公分母的系数都是整数，通常取各个分母系数的最小公倍数作为系数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.（x-5)(x+5)例2 找出下面两个分式的最简公分母：x(x－5)(x+5)(x+y)2 (x－y)确定几个分式的最简公分母的方法：（1）因式分解；（2）系数：取各分式分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母的所有字母的最高次幂；（4）多项式：取各分母所有多项式的最高次幂；（5）求积.解：最简公分母是例3 通分：解：最简公分母是【方法总结】① 确定最简公分母是通分的关键. 通分时，如果分母的系数是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；当分母是多项式时，一般应先分解因式；② 在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．例4 通分：解：（1）这三个分式的最简公分母为 12a2b2.通分后分别为:（2）这三个分式的最简公分母为 x (x+y)2(x-y) .通分后分别为：想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中：找分子与分母的最大公约数找分子与分母的公因式找所有分母的最小公倍数找所有分母的最简公分母分数或分式的基本性质1.通分：       解：2. 通分        解： C  C  B    通分 D  A 7. 通分：        2星题 中档练 D      35或1011.通分：      2. 确定最简分式的最简公分母的一般思路： （1）找系数；（2）找字母；（3）找指数；（4）当分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母；（5）若分母的系数是负数，应利用符号法则，把负号提取到分式前面.1. 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！