9.2.2.1 分式的通分（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：9.2.2.1 分式的通分学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解分式通分的概念，明确通分的目的和依据。掌握确定最简公分母的方法，能准确找出多个分式的最简公分母。熟练运用分式的基本性质对分式进行通分，培养类比推理和运算能力。幻灯片 3：教学重难点重点：分式通分的概念，确定最简公分母的方法。难点：当分母是多项式时，确定最简公分母（需先因式分解）及通分过程。幻灯片 4：复习回顾分数的通分：定义：把几个异分母的分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做分数的通分。关键：确定几个分数的最简公分母（各分母的最小公倍数）。示例：通分\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{1}{3}\)，最简公分母是\(6\)，通分后为\(\frac{3}{6}\)和\(\frac{2}{6}\)。分式的基本性质：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)）。因式分解：将多项式化为整式乘积的形式，如\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)。思考：分式是否也需要通分？如何通分？幻灯片 5：情境导入问题 1：计算\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)时，为什么要先通分？（因为分母不同，需化为同分母分数才能相加）问题 2：类比分数加法，如何计算\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)？（需要将\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{y}\)化为同分母的分式）通过分数通分的必要性，引出分式通分的概念：为了进行分式的加减运算，需要将异分母分式化为同分母分式。幻灯片 6：分式通分的概念定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的依据：分式的基本性质（分子和分母同时乘同一个不为零的整式，分式值不变）。通分的目的：将异分母分式化为同分母分式，为分式的加减运算做准备。关键：确定几个分式的最简公分母（各分母的最简公分母）。示例：通分\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{y}\)，最简公分母是\(xy\)，通分后为\(\frac{y}{xy}\)和\(\frac{x}{xy}\)。幻灯片 7：最简公分母的概念定义：几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。特征：最简公分母能被每个分式的分母整除。各分母所有因式的最高次幂都包含在最简公分母中。分母是单项式时，最简公分母是系数的最小公倍数与各字母最高次幂的积。分母是多项式时，先因式分解，再取各因式最高次幂的积。幻灯片 8：确定最简公分母的步骤步骤：系数：取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。字母（或因式）：取各分母中出现的所有字母（或因式）。指数：取每个字母（或因式）在各分母中的最高次幂作为最简公分母中该字母（或因式）的指数。示例：分式\(\frac{1}{2x^2y}\)和\(\frac{1}{3xy^2}\)的分母系数最小公倍数是\(6\)，字母\(x\)最高次幂是\(2\)，\(y\)最高次幂是\(2\)，最简公分母是\(6x^2y^2\)。分式\(\frac{1}{x - 2}\)和\(\frac{1}{x^2 - 4}\)的分母因式分解后为\((x - 2)\)和\((x + 2)(x - 2)\)，最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)。幻灯片 9：例 1 - 分母是单项式的通分通分：（1）\(\frac{1}{2x^2y}\)，\(\frac{1}{3xy^2}\)解：确定最简公分母：系数最小公倍数是\(6\)，\(x\)最高次幂是\(2\)，\(y\)最高次幂是\(2\)，所以最简公分母是\(6x^2y^2\)。\(\frac{1}{2x^2y} = \frac{1×3y}{2x^2y×3y} = \frac{3y}{6x^2y^2}\)\(\frac{1}{3xy^2} = \frac{1×2x}{3xy^2×2x} = \frac{2x}{6x^2y^2}\)（2）\(\frac{5}{6a^2b}\)，\(\frac{3}{4abc}\)，\(\frac{1}{2ac^2}\)解：最简公分母是\(12a^2bc^2\)（系数\(6\)，\(4\)，\(2\)的最小公倍数是\(12\)，\(a^2\)，\(b\)，\(c^2\)）。\(\frac{5}{6a^2b} = \frac{5×2c^2}{6a^2b×2c^2} = \frac{10c^2}{12a^2bc^2}\)\(\frac{3}{4abc} = \frac{3×3ac}{4abc×3ac} = \frac{9ac}{12a^2bc^2}\)\(\frac{1}{2ac^2} = \frac{1×6ab}{2ac^2×6ab} = \frac{6ab}{12a^2bc^2}\)幻灯片 10：例 2 - 分母是多项式的通分（先因式分解）通分：（1）\(\frac{1}{x^2 - 4}\)，\(\frac{1}{x + 2}\)解：先因式分解分母：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，另一个分母是\(x + 2\)。最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)。\(\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x + 2)(x - 2)}\)（已为最简形式）\(\frac{1}{x + 2} = \frac{1×(x - 2)}{(x + 2)×(x - 2)} = \frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\)（2）\(\frac{1}{a^2 - 2a + 1}\)，\(\frac{1}{a^2 - 1}\)解：因式分解：\(a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2\)，\(a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)\)。最简公分母是\((a - 1)^2(a + 1)\)。\(\frac{1}{a^2 - 2a + 1} = \frac{1×(a + 1)}{(a - 1)^2×(a + 1)} = \frac{a + 1}{(a - 1)^2(a + 1)}\)\(\frac{1}{a^2 - 1} = \frac{1×(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)×(a - 1)} = \frac{a - 1}{(a - 1)^2(a + 1)}\)幻灯片 11：例 3 - 分母含系数和多项式的通分通分：\(\frac{x}{2(x + 1)}\)，\(\frac{1}{x^2 - x}\)解：因式分解分母：\(x^2 - x = x(x - 1)\)，另一个分母是\(2(x + 1)\)。最简公分母是\(2x(x + 1)(x - 1)\)（系数最小公倍数\(2\)，因式\(x\)，\((x + 1)\)，\((x - 1)\)的最高次幂）。\(\frac{x}{2(x + 1)} = \frac{x×x(x - 1)}{2(x + 1)×x(x - 1)} = \frac{x^2(x - 1)}{2x(x + 1)(x - 1)}\)\(\frac{1}{x^2 - x} = \frac{1×2(x + 1)}{x(x - 1)×2(x + 1)} = \frac{2(x + 1)}{2x(x + 1)(x - 1)}\)幻灯片 12：通分的注意事项通分前需对各分母进行因式分解（尤其是多项式），才能准确确定最简公分母。最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数，字母（或因式）取最高次幂的积。通分时，分子和分母同时乘的整式是最简公分母除以原分母的商，确保分式值不变。分子是多项式时，通分后分子要加括号，避免符号错误，如\(\frac{1}{x - 2} = \frac{-(x + 2)}{(2 - x)(x + 2)}\)需注意符号处理。通分结果中，分母为最简公分母，分子需展开化简（也可保留因式形式，但需确保与原分式相等）。幻灯片 13：易错点辨析判断对错并改正：（1）分式\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{x + 1}\)的最简公分母是\(x(x + 1)\) (√)。（2）通分\(\frac{1}{x^2}\)和\(\frac{1}{2x}\)时，最简公分母是\(2x\) (×)，改正：最简公分母是\(2x^2\)（未取字母最高次幂）。（3）通分\(\frac{1}{(x - 1)^2}\)和\(\frac{1}{x - 1}\)时，\(\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{(x - 1)^2}\) (×)，改正：\(\frac{1}{x - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)^2}\)（分子未乘相应因式）。（4）分式\(\frac{1}{x - y}\)和\(\frac{1}{y - x}\)的最简公分母是\((x - y)(y - x)\) (×)，改正：因为\(y - x = -(x - y)\)，最简公分母是\(x - y\)（或\(y - x\)），通分后为\(\frac{1}{x - y}\)和\(\frac{-1}{x - y}\)。幻灯片 14：课堂练习（1）通分\(\frac{1}{3a^2b}\)和\(\frac{2}{5ab^2c}\)解：最简公分母是\(15a^2b^2c\)\(\frac{1}{3a^2b} = \frac{5bc}{15a^2b^2c}\)，\(\frac{2}{5ab^2c} = \frac{6a}{15a^2b^2c}\)（2）通分\(\frac{1}{x^2 - 9}\)和\(\frac{1}{x^2 + 6x + 9}\)解：因式分解：\(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)，\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)，最简公分母是\((x + 3)^2(x - 3)\)\(\frac{1}{x^2 - 9} = \frac{x + 3}{(x + 3)^2(x - 3)}\)，\(\frac{1}{x^2 + 6x + 9} = \frac{x - 3}{(x + 3)^2(x - 3)}\)（3）通分\(\frac{2}{x - 1}\)和\(\frac{3}{2x + 2}\)解：因式分解\(2x + 2 = 2(x + 1)\)，最简公分母是\(2(x - 1)(x + 1)\)\(\frac{2}{x - 1} = \frac{4(x + 1)}{2(x - 1)(x + 1)}\)，\(\frac{3}{2x + 2} = \frac{3(x - 1)}{2(x - 1)(x + 1)}\)幻灯片 15：实际应用问题问题：已知两个分式\(\frac{A}{x^2 - 4}\)和\(\frac{B}{x + 2}\)，通分后分别为\(\frac{3}{(x + 2)(x - 2)}\)和\(\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}\)，求\(A\)和\(B\)的值。解：分式\(\frac{A}{x^2 - 4} = \frac{A}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{3}{(x + 2)(x - 2)}\)，所以\(A = 3\)。分式\(\frac{B}{x + 2} = \frac{B(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}\)，所以\(B(x - 2) = 2(x - 2)\)，即\(B = 2\)。答：\(A\)的值为\(3\)，\(B\)的值为\(2\)。幻灯片 16：课堂小结通分的概念：将异分母分式化为同分母分式（与原分式相等）的过程。最简公分母确定：系数取最小公倍数，字母（或因式）取最高次幂的积，多项式需先因式分解。通分步骤：因式分解各分母→确定最简公分母→分子分母同乘相应整式→化为同分母分式。关键要点：依据分式基本性质，确保通分后分式值不变，最简公分母要最简。幻灯片 17：布置作业教材第 136 页习题 A 组第 1，2 题。思考题：通分\(\frac{1}{x^2 - 3x + 2}\)和\(\frac{1}{x^2 - 4x + 3}\)（提示：先因式分解分母为\((x - 1)(x - 2)\)和\((x - 1)(x - 3)\)）。1. 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个________________，分式的值_______.不变不等于零的整式2. 什么叫约分？ 把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分.最小公倍数：24 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.通分的关键是确定几个分母的最小公倍数解：分式的通分想一想： 联想分数的通分，由上述两个问题你能想出如何将分式进行通分吗？问题2：填空：分式的通分的定义例1 找出下面各组分式的最简公分母：最小公倍数最高次幂单独字母通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.2a2b2c不同的因式 如果最简公分母的系数都是整数，通常取各个分母系数的最小公倍数作为系数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.（x-5)(x+5)例2 找出下面两个分式的最简公分母：x(x－5)(x+5)(x+y)2 (x－y)确定几个分式的最简公分母的方法：（1）因式分解；（2）系数：取各分式分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母的所有字母的最高次幂；（4）多项式：取各分母所有多项式的最高次幂；（5）求积.解：最简公分母是例3 通分：解：最简公分母是【方法总结】① 确定最简公分母是通分的关键. 通分时，如果分母的系数是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；当分母是多项式时，一般应先分解因式；② 在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．例4 通分：解：（1）这三个分式的最简公分母为 12a2b2.通分后分别为:（2）这三个分式的最简公分母为 x (x+y)2(x-y) .通分后分别为：想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中：找分子与分母的最大公约数找分子与分母的公因式找所有分母的最小公倍数找所有分母的最简公分母分数或分式的基本性质1.通分：       解：2. 通分        解： C  C  B    通分 D  A 7. 通分：        2星题 中档练 D      35或1011.通分：      2. 确定最简分式的最简公分母的一般思路： （1）找系数；（2）找字母；（3）找指数；（4）当分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母；（5）若分母的系数是负数，应利用符号法则，把负号提取到分式前面.1. 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分.阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086