9.1.2分式的基本性质及约分（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：9.1.2 分式的基本性质及约分学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解并掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的变形。理解约分的概念，掌握约分的方法，能对分式进行约分，化为最简分式。体会类比思想在数学学习中的应用，培养运算能力和逻辑思维能力。幻灯片 3：教学重难点重点：分式的基本性质，运用分式的基本性质进行约分。难点：确定分式的分子和分母的公因式，将分式约分为最简分式。幻灯片 4：复习回顾分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变，即\(\frac{a}{b} = \frac{a×c}{b×c} = \frac{a÷c}{b÷c}\)（\(b≠0\)，\(c≠0\)）。分式的概念：形如\(\frac{A}{B}\)（\(A\)，\(B\)是整式，\(B\)中含有字母且\(B≠0\)）的式子叫做分式。小问题：根据分数的基本性质填空：\(\frac{2}{3} = \frac{()}{6}\)，\(\frac{8}{12} = \frac{2}{()}\)。（答案：\(4\)，\(3\)）思考：分式是否也有类似的性质？幻灯片 5：情境导入问题 1：下列分数是否相等？为什么？\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{9}\)。（相等，因为分子和分母同时乘同一个不为零的数，分数值不变）问题 2：类比分数的基本性质，猜想分式\(\frac{a}{b}\)与\(\frac{ac}{bc}\)（\(c≠0\)）是否相等？\(\frac{a}{b}\)与\(\frac{a÷c}{b÷c}\)（\(c≠0\)）是否相等？通过类比引出分式的基本性质。幻灯片 6：分式的基本性质基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。字母表示：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)，\(\frac{A}{B} = \frac{A÷C}{B÷C}\)（其中\(A\)，\(B\)，\(C\)是整式，且\(B≠0\)，\(C≠0\)）。关键词解析：同时乘（或除以）：分子和分母必须进行相同的运算。同一个：乘（或除以）的整式必须是同一个。不等于零：乘（或除以）的整式\(C\)不能为零，否则分式无意义。示例：\(\frac{x}{y} = \frac{x×2}{y×2} = \frac{2x}{2y}\)（\(y≠0\)）；\(\frac{6a^2b}{3ab} = \frac{6a^2b÷3ab}{3ab÷3ab} = 2a\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）。幻灯片 7：分式基本性质的应用（一）—— 分式变形例 1：填空：（1）\(\frac{a}{b} = \frac{()}{bc}\)（\(c≠0\)）解：分母乘\(c\)，根据分式基本性质，分子也应乘\(c\)，所以括号里填\(ac\)。（2）\(\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{()}\)解：分子\(x^2 + xy = x(x + y)\)，分子除以\(x\)，分母也应除以\(x\)，\(x^2÷x = x\)，所以括号里填\(x\)（\(x≠0\)）。（3）\(\frac{2a}{a + b} = \frac{()}{(a + b)(c + d)}\)（\(c + d≠0\)）解：分母乘\((c + d)\)，分子也应乘\((c + d)\)，所以括号里填\(2a(c + d)\)。幻灯片 8：分式基本性质的应用（二）—— 符号变化分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号表示：\(\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B} = -\frac{A}{-B} = -\frac{-A}{B}\)。示例：\(\frac{-x}{y} = -\frac{x}{y}\)；\(\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}\)；\(\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}\)。例 2：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “\(-\)” 号：（1）\(\frac{-3x}{-2y} = \frac{3x}{2y}\)（2）\(\frac{-a}{3b} = -\frac{a}{3b}\)（3）\(\frac{2m}{-n} = -\frac{2m}{n}\)幻灯片 9：约分的概念定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果一般是最简分式或整式。示例：\(\frac{2a}{4a^2} = \frac{1}{2a}\)（\(\frac{1}{2a}\)是最简分式）；\(\frac{x^2 - 1}{x + 1} = x - 1\)（结果是整式）。幻灯片 10：约分的步骤约分的基本步骤：确定分式的分子和分母的公因式。根据分式的基本性质，将分子和分母同时除以公因式。重复以上步骤，直到分子和分母没有公因式（即化为最简分式或整式）。找公因式的方法：系数：取分子和分母系数的最大公约数。字母：取分子和分母中相同的字母。指数：取相同字母的最低次幂。示例：分式\(\frac{12a^3b^2c}{18a^2b^3d}\)的公因式是\(6a^2b^2\)。幻灯片 11：例 3 - 分式的约分（一）（1）约分\(\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3}\)解：确定公因式为\(6a^2b^2\)\(\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3} = \frac{12a^3b^2÷6a^2b^2}{18a^2b^3÷6a^2b^2} = \frac{2a}{3b}\)（2）约分\(\frac{-5xy}{20x^2y}\)解：公因式为\(5xy\)，注意符号\(\frac{-5xy}{20x^2y} = -\frac{5xy÷5xy}{20x^2y÷5xy} = -\frac{1}{4x}\)幻灯片 12：例 4 - 分式的约分（二）—— 分子分母是多项式（1）约分\(\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4}\)解：先对分子和分母分解因式分子：\(x^2 - 2x = x(x - 2)\)分母：\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)公因式为\((x - 2)\)\(\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4} = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x}{x - 2}\)（\(x≠2\)）（2）约分\(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}\)解：分解因式分子：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)分母：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)公因式为\((a + b)\)\(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a + b)(a - b)}{(a + b)^2} = \frac{a - b}{a + b}\)（\(a≠-b\)）幻灯片 13：约分的注意事项约分前先对分子和分母进行因式分解（尤其是多项式），才能准确找到公因式。约分要彻底，直到分子和分母没有公因式为止。当分子或分母是多项式且首项为负时，可先提出 “\(-\)” 号，再进行约分，如\(\frac{-x^2 + 2x}{x^2 - 4} = \frac{-(x^2 - 2x)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{-x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = -\frac{x}{x + 2}\)（\(x≠2\)）。约分时不要漏项，分子或分母的系数是 1 时不能省略。幻灯片 14：易错点辨析判断对错并改正：（1）\(\frac{x + y}{x} = 1 + y\) (×)，改正：\(\frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}\)（不能直接去掉分母约分）。（2）约分\(\frac{x^2}{x^3} = x\) (×)，改正：\(\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}\)（约分后指数计算错误）。（3）\(\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a - b\) (×)，改正：\(\frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a - b} = a + b\)（分解因式错误）。（4）\(\frac{2x + 4}{x + 2} = 2\) (√)，分子分解为\(2(x + 2)\)，约去公因式\((x + 2)\)得\(2\)。幻灯片 15：课堂练习（1）填空：\(\frac{3x}{x + y} = \frac{()}{(x + y)(x - y)}\)（\(x - y≠0\)）答案：\(3x(x - y)\)（2）约分\(\frac{15a^2b}{25ab^2}\)解：\(\frac{15a^2b}{25ab^2} = \frac{3a}{5b}\)（3）约分\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}\)解：分子\(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)，分母\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)，约分后得\(\frac{x - 3}{x + 3}\)（4）不改变分式的值，使分式\(\frac{-x + 1}{-x - 1}\)的分子和分母都不含 “\(-\)” 号解：\(\frac{-x + 1}{-x - 1} = \frac{-(x - 1)}{-(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}\)幻灯片 16：实际应用问题问题：若分式\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)的值为零，求\(x\)的值，并将该分式约分。解：分式值为零，则分子\(x^2 - 4 = 0\)且分母\(x + 2≠0\)。由\(x^2 - 4 = 0\)，得\(x = ±2\)；分母\(x + 2≠0\)，得\(x≠-2\)，所以\(x = 2\)。约分：\(\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} = x - 2\)（\(x≠-2\)）。答：\(x\)的值为\(2\)，约分后分式为\(x - 2\)。幻灯片 17：课堂小结分式的基本性质：分子和分母同时乘（或除以）同一个不为零的整式，分式值不变，即\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C} = \frac{A÷C}{B÷C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)）。符号法则：改变分子、分母和分式本身符号中的任何两个，分式值不变。约分：约去分子和分母的公因式，步骤为找公因式→约去公因式→化为最简分式或整式。关键要点：约分前先因式分解，确保约分彻底，结果为最简分式或整式。幻灯片 18：布置作业教材第 125 页习题 A 组第 1，2，3 题。思考题：已知\(\frac{x}{y} = 2\)，求分式\(\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}\)的值（提示：将分式的分子和分母同时除以\(y^2\)，再代入\(\frac{x}{y} = 2\)计算）。1.理解并掌握分式的基本性质．（重点）2.会运用分式的基本性质进行分式的约分.（难点）分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘以 (或除以) 一个不等于零的数，分数的值不变. 2. 这些分数相等的依据是什么？ 1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个苹果？6491分式的基本性质思考：下列两式成立吗？为什么？你认为分式“ ”与“ ”，分式“ ”与“ ”相等吗？(a，m，n 均不为 0 )想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？思考：与分数类似，分式有以下基本性质： 分式的分子与分母都乘以 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变. 例1 根据分式的基本性质填空:÷xx×(-1)5b÷(a+b)ab×22a+2b例2 根据分式的基本性质填空：想一想：运用分式的基本性质应注意什么?(1)“都”(2)“同一个”(3)“不为 0 ”a2 - 1x2x - 3解：(1)例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.(1) (2) 不改变值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：(1) (2) (3) 解：（1）原式 =（2）原式 =（3）原式 =下列等式是否成立？为什么？解：成立. 根据分式的基本性质，分别将两个等式左边的分子、分母同时乘以（或除以）“－1”即可得到右边.想一想：联想分数的约分，由上例你能想出如何对分式进行约分吗？与分数约分类似，约分时将分式的分子与分母同时除以分子和分母的“最大公因式”.分式的约分x1　 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分．约分的定义约分通常是把分式化成最简分式或者整式.例4 约分：分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分.分式的约分通常是把分式化成最简分式或整式.约分的基本步骤(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．注意事项：（1）约分前后分式的值要相等；（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；（3）约分是对分子，分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个的因式.当 x = 5， y = 3 时，【方法总结】约分一般是将一个分式化成最简分式，约分可以使求分式的值更简便.  1.填空. a2-aba+35mnx-12.下列等式从左边到右边是怎样得到的?    分子分母同时乘以(x+2)分子分母同时除以(x - y)分子分母同时乘以 c分子分母同时乘以(a+b)核心必知 不变1星题 基础练 分式的基本性质  2.[2024·重庆月考] 下列各式中，变形正确的是( )  C C 4.在括号内填上适当的式子，使下列等式成立：        2星题 中档练 A 6.不改变分式的值，把下列分式的分子和分母的最高次项的系数都化为正数.       分式的基本性质分式的约分求值先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086