第8章 整式乘法与因式分解【章末复习】（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面章节名称：第 8 章 整式乘法与因式分解 章末复习学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：复习目标梳理本章知识脉络，构建整式乘法与因式分解的知识体系。巩固整式乘法的运算法则（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）及乘法公式的应用。熟练掌握因式分解的方法（提公因式法、公式法、分组分解法），能根据多项式特点选择恰当方法。提高综合运用知识解决问题的能力，明确整式乘法与因式分解的互逆关系。幻灯片 3：知识框架图第8章 整式乘法与因式分解├─ 整式乘法│ ├─ 同底数幂乘法：a^m·a^n = a^(m+n)（a≠0，m,n为整数）│ ├─ 幂的乘方：(a^m)^n = a^(mn)（a≠0，m,n为整数）│ ├─ 积的乘方：(ab)^n = a^n b^n（a,b≠0，n为整数）│ ├─ 零次幂：a^0 = 1（a≠0）│ ├─ 负整数次幂：a^(-n) = 1/a^n（a≠0，n为正整数）│ ├─ 单项式×单项式│ ├─ 单项式×多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc│ └─ 多项式×多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn├─ 乘法公式│ ├─ 完全平方公式：(a±b)^2 = a^2±2ab + b^2│ └─ 平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2└─ 因式分解 ├─ 提公因式法：ma+mb+mc = m(a+b+c) ├─ 公式法： │ ├─ 平方差公式逆用：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) │ └─ 完全平方公式逆用：a^2±2ab + b^2 = (a±b)^2 └─ 分组分解法：分组后提公因式或用公式幻灯片 4：整式乘法核心知识点回顾幂的运算性质：同底数幂相乘：底数不变，指数相加，如\(2^3×2^5 = 2^{8}\)。幂的乘方：底数不变，指数相乘，如\((3^2)^4 = 3^8\)。积的乘方：先把积中各因式分别乘方，再把结果相乘，如\((-2xy)^3 = -8x^3y^3\)。零次幂：任何非零数的 0 次幂为 1，如\((-5)^0 = 1\)，\(π^0 = 1\)。负整数次幂：非零数的\(-n\)次幂等于其\(n\)次幂的倒数，如\(3^{-2} = 1/9\)，\((1/2)^{-3} = 8\)。幻灯片 5：整式乘法法则回顾单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式，如\(3x^2y×(-2xy^3) = -6x^3y^4\)。单项式 × 多项式：用单项式乘多项式每一项，再把积相加，如\(2a(3a^2 - b) = 6a^3 - 2ab\)。多项式 × 多项式：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项，如\((x+2)(x-3) = x^2 - x - 6\)。幻灯片 6：乘法公式要点解析完全平方公式：结构特征：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。易错点：避免漏写中间项 “\(2ab\)”，如\((x+3)^2 ≠ x^2 + 9\)，正确结果为\(x^2 + 6x + 9\)。平方差公式：结构特征：\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)（一项相同，一项相反）。灵活应用：如\((2x-3y)(2x+3y) = 4x^2 - 9y^2\)，\((a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2\)。幻灯片 7：因式分解核心知识点回顾因式分解概念：把多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互为逆运算。提公因式法：公因式确定：系数取最大公约数，字母取相同字母，指数取最低次幂，如\(6x^2y - 9xy^2\)的公因式为\(3xy\)。步骤：确定公因式→提公因式→写成积的形式，如\(6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y)\)。公式法：平方差公式逆用：适用于二项平方差形式，如\(4a^2 - 25 = (2a+5)(2a-5)\)。完全平方公式逆用：适用于三项完全平方形式，如\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\)。幻灯片 8：分组分解法要点解析适用范围：四项或四项以上多项式，无法直接提公因式或用公式法。分组原则：分组后每组可分解，各组之间能继续分解，如：\(ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)\)。\(a^2 - b^2 + a + b = (a^2 - b^2) + (a + b) = (a+b)(a-b) + (a+b) = (a+b)(a-b+1)\)。注意事项：分组方式不唯一，需尝试最优分组，确保分解彻底。幻灯片 9：整式乘法典型例题解析例 1：计算\((-2x^2y)^3×(3xy^2)^2\)解：先算乘方：\((-2x^2y)^3 = -8x^6y^3\)，\((3xy^2)^2 = 9x^2y^4\)再算乘法：\(-8x^6y^3×9x^2y^4 = -72x^8y^7\)例 2：计算\((2x - y)(x + 2y) - (x + y)^2\)解：先算多项式乘法和完全平方：\((2x - y)(x + 2y) = 2x^2 + 4xy - xy - 2y^2 = 2x^2 + 3xy - 2y^2\)\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)再相减：\(2x^2 + 3xy - 2y^2 - (x^2 + 2xy + y^2) = x^2 + xy - 3y^2\)幻灯片 10：因式分解典型例题解析例 3：分解因式\(3x^3 - 12x\)解：先提公因式：\(3x(x^2 - 4)\)再用平方差公式：\(3x(x + 2)(x - 2)\)例 4：分解因式\(x^2 - 4xy + 4y^2 - 9z^2\)解：先分组用完全平方公式：\((x^2 - 4xy + 4y^2) - 9z^2 = (x - 2y)^2 - (3z)^2\)再用平方差公式：\((x - 2y + 3z)(x - 2y - 3z)\)例 5：分解因式\(ab - a - b + 1\)解：分组提公因式：\((ab - a) + (-b + 1) = a(b - 1) - (b - 1) = (b - 1)(a - 1)\)幻灯片 11：易错点辨析整式乘法易错点：（1）幂的运算符号错误：\((-a^2)^3 = -a^6\)（而非\(a^6\)），\((-x)^2·(-x)^3 = -x^5\)（而非\(x^5\)）。（2）多项式乘法漏项：\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\)（不可漏项 “\(-6\)”）。（3）乘法公式混淆：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（不可写成\(a^2 - b^2\)）。因式分解易错点：（1）提公因式不彻底：\(4x^2 - 8x = 4x(x - 2)\)（而非\(2x(2x - 4)\)）。（2）分解不彻底：\(x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)（需分解到不能再分解）。（3）分组不当：\(x^2 + xy - x - y = x(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - 1)\)（需确保分组后有公因式）。幻灯片 12：综合应用题解析例 6：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求：（1）\(a^2 + b^2\)；（2）\((a - b)^2\)解：（1）\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19\)（2）\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 19 - 6 = 13\)例 7：若多项式\(x^2 + mx + n\)分解因式的结果为\((x - 2)(x + 3)\)，求\(m\)，\(n\)的值。解：\((x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6\)，所以\(m = 1\)，\(n = -6\)。幻灯片 13：章末检测练习（1）计算\((-3a^2b)^2×(-2ab^2)\)答案：\(-18a^5b^4\)（2）分解因式\(2a^3b - 8ab^3\)答案：\(2ab(a + 2b)(a - 2b)\)（3）计算\((x - 2y)^2 - (x + y)(x - y)\)答案：\(-4xy + 5y^2\)（4）分解因式\(x^2 - 2x - 3y^2 + 6y\)答案：\((x - 3y + 2)(x + y - 2)\)（提示：分组为\((x^2 - 3y^2) + (-2x + 6y)\)）（5）已知\(x^2 + y^2 = 10\)，\(xy = 3\)，求\((x + y)^2\)的值。答案：16幻灯片 14：知识联系与拓展整式乘法与因式分解的关系：互逆变形，整式乘法是 “积化和差”，因式分解是 “和差化积”，如：乘法：\((x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6\)因式分解：\(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\)数学思想方法：转化思想：多项式乘法转化为单项式乘法，因式分解转化为提公因式或用公式。整体思想：把多项式看作整体应用公式，如\((a + b + c)^2\)可看作\([(a + b) + c]^2\)。分类讨论思想：根据多项式项数和特征选择因式分解方法。幻灯片 15：复习总结核心知识：幂的运算性质是整式乘法的基础，乘法公式是多项式乘法的简化形式，因式分解是整式乘法的逆过程。关键方法：整式乘法：明确运算顺序，正确应用法则和公式，注意符号和指数。因式分解：“一提二套三分组”，先提公因式，再看是否符合公式，最后考虑分组，确保分解彻底。学习建议：多练习不同类型题目，总结易错点，通过对比辨析加深对知识的理解。幻灯片 16：作业布置完成教材第 112 页章末复习题 A 组、B 组。选做题：分解因式\((x^2 + 4x)^2 + 8(x^2 + 4x) + 16\)，并求当\(x = -1\)时的值。预习第 9 章内容，回顾本章与前序知识的联系。一、幂的乘法运算1. 同底数幂的乘法：底数______，指数______.am+n不变相加2. 幂的乘方：底数_______，指数______.不变相乘3. 积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得 的幂_____.乘方相乘(1) 将_____________相乘作为积的系数；二、整式的乘法1. 单项式乘单项式：单项式的系数(2) 相同字母的因式，利用_________的乘法，作为 积的一个因式；同底数幂(3) 单独出现的字母，连同它的______，作为积的 一个因式.指数注：单项式乘单项式，积为________.单项式(1) 单项式分别______多项式的每一项；2. 单项式乘多项式：(2) 将所得的积______.注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.乘以相加相同3. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的________，再把所得的积______.每一项相加三、整式的除法同底数幂相除，底数_______，指数_______.1. 同底数幂的除法：am-n不变相减任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于_____.112. 单项式除以单项式：单项式相除，把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的______一起作为商的一个因式. 系数同底数的幂指数3. 多项式除以单项式：多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .单项式每一项相加四、乘法公式1. 平方差公式两数______与这两数______的积，等于这两数的________.和差平方差(a + b)(a - b) =________.2. 完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的 2 倍.平方和积五、因式分解 把一个多项式化为几个______的______的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.1. 因式分解的定义整式乘积2. 因式分解的方法(1) 提公因式法(2) 公式法① 平方差公式：____________________.② 完全平方公式：____________________.a2 - b2 = (a + b)(a - b)a2±2ab + b2 = (a±b)2例1 下列计算正确的是 ( )A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2 C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4 D例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.解：原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2.1、幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法. 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础. 2、其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.1. 下列计算不正确的是（ ）A. 2a3÷a = 2a2 B. (-a3)2 = a6 C. a4·a3 = a7 D. a2·a4 = a82. 计算：0.252023×(-4)2023 - 8100×0.5301.D解：原式 = [0.25×(-4)]2023 - (23)100×0.5300×0.5= -1 - (2×0.5)300×0.5 = -1 - 0.5 = -1.5.3. (1) 已知 3m = 6，9n = 2，求 3m+2n，32m-4n 的值. (2) 比较大小：420 与 1510.(2) 因为 420 = (42)10 = 1610，1610 > 1510，所以 420 > 1510.32m-4n = 32m÷34n = (3m)2÷(32n)2 = (3m)2÷(9n)2 = 62÷22 = 9.解：(1) 因为 3m = 6，9n = 2，所以 3m+2n = 3m·32n = 3m·(32)n = 3m·9n = 6×2 = 12，例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y，其中x=1，y=3.提示：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.解：原式 = (x3y2 - x2y - x2y + x3y2)÷3x2y= (2x3y2 - 2x2y)÷3x2y当 x = 1，y = 3 时， 单项式乘单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握其运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的.4. 一个长方形的面积是 a2 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 .5. 已知多项式 2x3 -4x2 - 1 除以一个多项式 A，所得商为 2x，余式为 x - 1，则这个多项式是 .（a - 2b + 1）6. 计算：(1) (－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)；(2) x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；(3) (－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；(4) (2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)； (5) [x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y.解：（1）原式＝－12x7y9. （2）原式＝－x3＋6x. （3）原式＝2a3b2＋10a3b3. （4）原式＝4x2＋17xy－10y2. （5）原式＝2xy－2. 例4 先化简再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]÷2x，其中 x = 3，y = 1.5.提示：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.原式 = 3－1.5 = 1.5.解：原式 = (x2－2xy + y2 + x2－y2)÷2x= (2x2－2xy)÷2x= x－y.当 x = 3，y = 1.5 时，整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.7．下列计算中，正确的是 ( )A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b28．已知 (x＋m)2＝x2＋nx＋36，则 n 的值为 ( )A．±6 B．±12 C．±18 D．±729．若 a＋b＝5，ab＝3，则 2a2＋2b2＝_____．C B 38 10. 计算：(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：(1) 原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2)(2) 原式＝[a＋(b－3)][(a－(b－3)]＝(x2－4y2)2 = x4－8x2y2＋16y4.＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9. (3) 原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4. 11. 用简便方法计算 (1) 2002－400×199＋1992；(2) 999×1001.解：(1) 原式 ＝ (200－199)2 ＝ 1. (2) 原式 ＝ (1000＋1)(1000－1)＝ 999999. ＝ 10002－1例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B 点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程从左到右要保持恒等变形.C归纳总结 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.12. 分解因式：x2y2－2xy＋1 的结果是________.13. 已知 x－2y＝－5，xy＝－2，则 2x2y－4xy2＝______.14. 已知a－b＝3，则 a(a－2b)＋b2 的值为______.15. 已知 x2－2(m＋3)x＋9 是一个完全平方式，则 m＝________.(xy－1)2 20 9 －6 或 0 16. 如图，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式 .a2-b2=(a+b)(a-b)17．把下列各式因式分解：(1) 2m(a－b)－3n(b－a)；(2) 16x2－64；(3)－4a2＋24a－36.解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n).(2) 原式＝16(x＋2)(x－2). (3) 原式＝－4(a－3)2. 大单元整合复习 幂的运算1.[2024·合肥三模] 下列计算正确的是( )A         科学记数法 A  CA.5 B.6 C.7 D.8 整式乘法6.下列计算正确的是( )C   8.计算：     乘法公式(完全平方公式、平方差公式)9.[2024·淮北期末] 下列各式能用平方差公式计算的是( )D  4911.［立德树人·数学文化］请看杨辉三角(如图①)，并观察等式(如图②).       因式分解14.[2024·阜阳模拟] 下列因式分解正确的是( )C  B 16.把下列各式分解因式：         数学思想 12      25  解：如答图(画法不唯一). 聚焦安徽中考20.[2023·安徽中考] 下列计算正确的是( )C 幂的运算性质整式的乘法整式的除法乘法公式（平方差、完全平方公式）特殊形式相反变形因式分解（提公因式、公式法）相反变形互逆运算阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086