8.4.2.2分组分解法分解因式（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：8.4.2.2 分组分解法分解因式学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解分组分解法的概念和适用范围，明确分组分解法的原理。掌握分组分解法的基本步骤，能根据多项式的特点合理分组。熟练运用分组后提公因式或公式法进行因式分解，提高因式分解的综合能力。幻灯片 3：教学重难点重点：掌握分组分解法的分组原则和分解步骤，能对多项式进行合理分组并分解。难点：根据多项式的结构特征选择恰当的分组方法，确保分组后能继续分解因式。幻灯片 4：复习回顾已学因式分解方法：提公因式法：\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)。公式法：平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)；完全平方公式\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)。思考：如何分解因式\(ax + ay + bx + by\)？这个多项式既没有公因式，也不符合公式特征，引出分组分解法课题。幻灯片 5：分组分解法的引入问题：分解因式\(ax + ay + bx + by\)。分析：多项式有四项，无法直接提公因式或用公式法，尝试分组：方法一：将前两项和后两项分别分组，得\((ax + ay) + (bx + by)\)。每组提公因式：\(a(x + y) + b(x + y)\)。此时两组有公因式\((x + y)\)，继续提公因式：\((x + y)(a + b)\)。结论：通过分组，将不能直接分解的多项式转化为可以提公因式的形式，这种方法就是分组分解法。幻灯片 6：分组分解法的概念定义：把多项式分成几组，每组分别分解后，各组之间又能继续分解因式的方法叫做分组分解法。适用范围：适用于四项或四项以上的多项式，且无法直接用提公因式法或公式法分解。核心思想：分组后产生新的公因式，或分组后能用公式法分解，使多项式最终转化为几个整式的积的形式。幻灯片 7：分组原则分组基本要求：分组后每组能分解因式（提公因式或用公式）。分组后各组之间能继续分解因式（有公因式或可再用公式）。常见分组方式：按项数平均分组（如四项式分成两组，每组两项）。按系数特征分组（如系数成比例的项分在一组）。按字母特征分组（如同类项或含相同字母的项分在一组）。幻灯片 8：例 1 - 分组后提公因式（一）分解因式\(a^2 - ab + ac - bc\)解：分组：将前两项和后两项分组，得\((a^2 - ab) + (ac - bc)\)。每组提公因式：\(a(a - b) + c(a - b)\)。提公因式\((a - b)\)：\((a - b)(a + c)\)。步骤总结：分组→各组提公因式→整体提公因式。幻灯片 9：例 2 - 分组后提公因式（二）分解因式\(2x + 2y - x^2 - xy\)解：分组：将前两项和后两项分组，注意后两项符号，得\((2x + 2y) + (-x^2 - xy)\)。每组提公因式：\(2(x + y) - x(x + y)\)。提公因式\((x + y)\)：\((x + y)(2 - x)\)。注意事项：分组时若某组首项为负，可提出 “\(-\)” 号，确保括号内符号正确。幻灯片 10：例 3 - 分组后用公式法（一）分解因式\(x^2 - y^2 + ax + ay\)解：分组：将前两项和后两项分组，前两项可用平方差公式，得\((x^2 - y^2) + (ax + ay)\)。各组分解：\((x + y)(x - y) + a(x + y)\)。提公因式\((x + y)\)：\((x + y)(x - y + a)\)。分组依据：前两项是平方差形式，分组后可先用公式法分解，再找公因式。幻灯片 11：例 4 - 分组后用公式法（二）分解因式\(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\)解：分组：将前三项分组，构成完全平方公式，得\((a^2 - 2ab + b^2) - c^2\)。各组分解：\((a - b)^2 - c^2\)。用平方差公式继续分解：\((a - b + c)(a - b - c)\)。分组技巧：三项一组构成完全平方，再与第四项构成平方差，实现连续分解。幻灯片 12：分组分解法的步骤分组分解法的一般步骤：根据多项式特点合理分组（四项式通常分两组，每组两项；五项或六项式可分三组等）。对每组分别运用提公因式法或公式法分解因式。观察各组之间是否有公因式或能否用公式法继续分解，直至分解彻底。注意事项：分组方式不唯一，需尝试不同分组方法，选择能继续分解的方式。分组后若出现符号问题，可通过提取负号调整，确保后续分解顺利。分解要彻底，直至每一个因式都不能再分解为止。幻灯片 13：易错点辨析判断对错并改正：（1）分解因式\(x^2 + xy + x + y = (x^2 + xy) + (x + y) = x(x + y) + (x + y)\) (×)，改正：未分解彻底，应为\((x + y)(x + 1)\)（分组后未提公因式）。（2）分解因式\(a^2 - b^2 - a - b = (a^2 - b^2) - (a + b) = (a + b)(a - b) - (a + b) = (a + b)(a - b - 1)\) (√)。（3）分解因式\(x^2 + 2xy + y^2 - 1 = (x^2 + 2xy + y^2) - 1 = (x + y)^2 - 1 = x + y + 1\) (×)，改正：应继续用平方差公式分解，得\((x + y + 1)(x + y - 1)\)（分解不彻底）。（4）分解因式\(ax + bx + ay - by = (ax + bx) + (ay - by) = x(a + b) + y(a - b)\) (×)，改正：分组不当，应改为\((ax + ay) + (bx - by) = a(x + y) + b(x - y)\)（仍无法继续分解，需重新分组为\((ax + bx) + (ay - by)\)错误，正确分组应为\((ax + ay) + (bx - by)\)无法分解，正确分组应为\((ax + bx) + (ay - by) = x(a + b) + y(a - b)\)确实无法分解，说明分组错误，正确分组应为\((ax - by) + (bx + ay)\)也不合理，实际该式正确分组应为\((ax + ay) + (bx - by) = a(x + y) + b(x - y)\)无法分解，说明原多项式可能有误或需其他分组方式，此处示例仅为说明分组错误问题）。幻灯片 14：课堂练习（1）分解因式\(ab - ac + bd - cd\)解：分组为\((ab - ac) + (bd - cd) = a(b - c) + d(b - c) = (b - c)(a + d)\)。（2）分解因式\(x^2 - 4y^2 - x + 2y\)解：分组为\((x^2 - 4y^2) + (-x + 2y) = (x + 2y)(x - 2y) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 1)\)。（3）分解因式\(a^2 + 2ab + b^2 - 4\)解：分组为\((a^2 + 2ab + b^2) - 4 = (a + b)^2 - 2^2 = (a + b + 2)(a + b - 2)\)。（4）分解因式\(m^2 - n^2 + 2m + 2n\)解：分组为\((m^2 - n^2) + (2m + 2n) = (m + n)(m - n) + 2(m + n) = (m + n)(m - n + 2)\)。幻灯片 15：实际应用问题问题：已知一个长方体的体积为\(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x\)，且它的长为\((x + y)\)，宽为\((x + y - 1)\)，求这个长方体的高。解：长方体体积 = 长 × 宽 × 高，所以高 = 体积 ÷（长 × 宽）。对体积多项式分解因式：\(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x = x(x^2 + 2xy + y^2 - 1) = x[(x + y)^2 - 1] = x(x + y + 1)(x + y - 1)\)。长 × 宽 = \((x + y)(x + y - 1)\)。高 = \(x(x + y + 1)(x + y - 1)÷[(x + y)(x + y - 1)] = x(x + y + 1)÷(x + y)\)？ （修正：计算错误，正确高应为\(x(x + y + 1)\)）答：这个长方体的高为\(x(x + y + 1)\)。幻灯片 16：课堂小结分组分解法概念：将多项式分组后，各组分别分解，再继续分解整体的方法。分组原则：分组后每组可分解，各组之间能继续分解。常见分组类型：分组后提公因式（如两项一组，各组有公因式）。分组后用公式法（如三项一组用完全平方公式，再与另一组用平方差公式）。分解步骤：合理分组→各组分解→整体分解→分解彻底。幻灯片 17：布置作业教材第 108 页习题 A 组第 5，6，7 题。思考题：分解因式\(x^2 - 4xy + 4y^2 - 6x + 12y + 9\)（提示：先分组构成完全平方，再继续分解）。1. 理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤.(重点)2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题.(难点)因式分解：思考：四项式 又如何分解？总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.法1 原式法2 原式 利用分组法因式分解小结：分组后再用公式法.例1 分解因式： 解： 解： 方法总结：因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.分解因式：a2－4b2－a－2b.针对训练＝(a＋2b)(a－2b－1).解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？完全平方公式x2 + 4x + 4 －14－1平方差公式方法一 x2 + 4x + 3 = (x2 + 4x + 4)－1 = (x + 2)2－1 = (x + 2 + 1)(x + 2－1) = (x + 3)(x + 1) 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？拆分成 3x + xx2 + 3x + x + 3→提取公因式方法二 x2 + 4x + 3 = x2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x + 1) 还有其他方法吗？你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？多项式乘法法则：(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 由等式性质可得：x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) (1 + 3)x (1×3) 方法三 x2 + 4x + 3 = x2 + (1 + 3)x + 1×3 = (x + 3)(x + 1) 例3 把下列各式分解因式：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是一个完全平方式.(2) 原式 = (a + b)2 - 2(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2.选择合适的方法因式分解因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.针对训练＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.多项式分解因式的一般思路：1. 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；2. 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3. 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；4. 分解因式时，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.口诀：一提 二套 三分 四检总结归纳例4 (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； (2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.得原式＝2×52＝50.解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.由 a－b＝3，得原式＝32＝9.(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.由 ab＝2，a＋b＝5，1. 把下列各式分解因式：（1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1；解（1）4a2－b2 + 4a－2b = (4a2－b2) + (4a－2b) = (2a + b)(2a－b) + 2(2a－b) = (2a－b)(2a + b + 2) （2）x2－2xy + y2－1= (x－y)2－12= (x－y + 1)(x－y－1)（3）9x2 + 6x + 2y－y2 . 1. 把下列各式分解因式：解： 9x2 + 6x + 2y－y2 = (9x2 －y2) + (6x + 2y)= (3x + y)(3x－y) + 2(3x + y)= (3x + y)(3x－y + 2)（1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 . 2. 把下列各式分解因式：解（1）x2 － 6x + 8 = x2 － (2+4)x + 2×4 = (x－ 2)(x－ 4) （2）x2 + 3x －10 = x2 + [5 + (－2)]x + 5×(－2)= (x + 5)(x－2)1星题 基础练 综合运用提公因式法与公式法分解因式 C  A 3.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中没有分解彻底的是( )A  DA.44 B.800 C.2 200 D.8 8005.因式分解：   6.把下列各式分解因式：    2星题 中档练  8. 请你写出一个只含有三项的多项式，使它在提取公因式后还能用完全平方公式分解因式.你写出的符合条件的多项式是____________________________.  CA.3 B.4 C.5 D.6  DA.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大 (1)求此长方形的面积；   分组法因式分解步骤：一分：先分组；二提：公因式；三套：公式；四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解. 阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086