9.1.1分式的概念（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：9.1.1 分式的概念学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解分式的概念，能区分整式与分式。掌握分式有意义、无意义以及分式值为零的条件。体会从分数到分式的类比思想，培养抽象思维和分析问题的能力。幻灯片 3：教学重难点重点：分式的概念，分式有意义、无意义及值为零的条件。难点：理解分式值为零的条件（既要分子为零，又要分母不为零）。幻灯片 4：复习回顾整式的概念：单项式和多项式统称为整式。单项式：由数与字母的积组成的代数式，如\(3x\)，\(-5a^2b\)，\(4\)等。多项式：几个单项式的和，如\(x + 2y\)，\(a^2 - 3b + 1\)等。分数的概念：形如\(\frac{a}{b}\)（\(a\)，\(b\)是整数，且\(b≠0\)）的数叫做分数，其中\(a\)是分子，\(b\)是分母，分母不能为零。小问题：下列各式中，哪些是整式？\(\frac{1}{2}\)，\(3x\)，\(\frac{5}{x}\)，\(x + y\)，\(\frac{3}{a + b}\)。（引导学生发现\(\frac{5}{x}\)，\(\frac{3}{a + b}\)与其他式子的区别）幻灯片 5：情境导入问题 1：某长方形的面积为\(2\)平方米，长为\(3\)米，则它的宽为______米。（答案：\(\frac{2}{3}\)，这是一个分数）问题 2：某长方形的面积为\(S\)平方米，长为\(a\)米，则它的宽为______米。（答案：\(\frac{S}{a}\)）问题 3：一艘轮船在静水中的速度为\(b\)千米 / 时，水流速度为\(2\)千米 / 时，那么轮船顺流航行的速度为______千米 / 时，逆流航行的速度为______千米 / 时；若轮船顺流航行\(100\)千米，所需时间为______小时。（答案：\(b + 2\)，\(b - 2\)，\(\frac{100}{b + 2}\)）观察上述问题中的式子\(\frac{S}{a}\)，\(\frac{100}{b + 2}\)，它们与分数有什么相似之处？又有什么不同之处？引出分式的概念。幻灯片 6：分式的概念定义：一般地，如果\(A\)，\(B\)表示两个整式，并且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。其中，\(A\)叫做分式的分子，\(B\)叫做分式的分母。关键词解析：\(A\)和\(B\)都是整式。分母\(B\)中必须含有字母（这是分式与分数的主要区别）。分式\(\frac{A}{B}\)中，分母\(B\)不能为零（与分数分母不能为零一致）。示例：\(\frac{1}{x}\)，\(\frac{a + b}{a - b}\)，\(\frac{x^2 + 1}{x}\)都是分式；而\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{x}{5}\)不是分式（因为分母不含字母，属于整式）。幻灯片 7：整式与分式的区别整式：分母中不含字母的代数式，如\(3x\)，\(x^2 - 2y\)，\(\frac{5}{2}\)等。分式：分母中含有字母的代数式，如\(\frac{1}{x}\)，\(\frac{y}{x + 1}\)，\(\frac{a^2 + b^2}{a}\)等。判断方法：看分母是否含有字母，含有字母的是分式，不含字母的是整式（注意：\(π\)是常数，不是字母，如\(\frac{x}{π}\)是整式）。小练习：判断下列各式哪些是整式，哪些是分式：（1）\(\frac{2}{x}\)（分式）（2）\(\frac{x + 1}{2}\)（整式）（3）\(\frac{3}{a + b}\)（分式）（4）\(x^2y\)（整式）（5）\(\frac{1}{π}\)（整式，因为\(π\)是常数）幻灯片 8：分式有意义的条件思考：分数中分母不能为零，分式中分母可以为零吗？分式有意义的条件：分式的分母不等于零，即当\(B≠0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。分式无意义的条件：分式的分母等于零，即当\(B = 0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)无意义。例 1：当\(x\)取什么值时，分式\(\frac{x + 1}{x - 2}\)有意义？当\(x\)取什么值时，该分式无意义？解：要使分式有意义，则分母\(x - 2≠0\)，即\(x≠2\)。所以，当\(x≠2\)时，分式\(\frac{x + 1}{x - 2}\)有意义；当\(x = 2\)时，该分式无意义。幻灯片 9：分式值为零的条件思考：分数值为零的条件是分子为零且分母不为零，分式值为零的条件是什么？分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即当\(A = 0\)且\(B≠0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)的值为零。注意：分式值为零必须同时满足两个条件，缺一不可，不能只考虑分子为零而忽略分母不为零。例 2：当\(x\)取什么值时，分式\(\frac{x - 3}{x + 2}\)的值为零？解：要使分式的值为零，则分子\(x - 3 = 0\)且分母\(x + 2≠0\)。由\(x - 3 = 0\)，得\(x = 3\)。当\(x = 3\)时，分母\(x + 2 = 3 + 2 = 5≠0\)，满足条件。所以，当\(x = 3\)时，分式\(\frac{x - 3}{x + 2}\)的值为零。幻灯片 10：分式值为正或负的条件（拓展）分式值为正的条件：分子和分母同号（即分子为正，分母为正；或分子为负，分母为负）。分式值为负的条件：分子和分母异号（即分子为正，分母为负；或分子为负，分母为正）。例 3：当\(x\)取什么值时，分式\(\frac{2x - 1}{x + 3}\)的值为正？解：分式值为正，则分子和分母同号，有两种情况：情况 1：\(\begin{cases}2x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x > \frac{1}{2} \\ x > -3\end{cases}\)，即\(x > \frac{1}{2}\)。情况 2：\(\begin{cases}2x - 1 < 0 \\ x + 3 < 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x < \frac{1}{2} \\ x < -3\end{cases}\)，即\(x < -3\)。所以，当\(x > \frac{1}{2}\)或\(x < -3\)时，分式\(\frac{2x - 1}{x + 3}\)的值为正。幻灯片 11：易错点辨析判断对错并改正：（1）分式\(\frac{x + 2}{x^2 - 4}\)有意义的条件是\(x≠2\) (×)，改正：分母\(x^2 - 4≠0\)，即\(x≠±2\)，所以有意义的条件是\(x≠2\)且\(x≠-2\)（忽略分母为零的其他情况）。（2）当\(x = 1\)时，分式\(\frac{x - 1}{x + 1}\)的值为零 (√)，分子\(1 - 1 = 0\)，分母\(1 + 1 = 2≠0\)。（3）分式\(\frac{|x| - 2}{x - 2}\)的值为零时，\(x = ±2\) (×)，改正：当\(x = 2\)时，分母\(x - 2 = 0\)，分式无意义，所以\(x = -2\)（未考虑分母不为零）。（4）\(\frac{x^2}{x}\)是整式 (×)，改正：\(\frac{x^2}{x}\)的分母含有字母\(x\)，是分式（注意：化简后为\(x\)，但原式是分式）。幻灯片 12：课堂练习（1）当\(x\)取什么值时，分式\(\frac{3}{2x - 5}\)有意义？解：分母\(2x - 5≠0\)，即\(x≠\frac{5}{2}\)，所以当\(x≠\frac{5}{2}\)时，分式有意义。（2）当\(x\)取什么值时，分式\(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)的值为零？解：分子\(x^2 - 1 = 0\)，得\(x = ±1\)；分母\(x + 1≠0\)，得\(x≠-1\)。所以\(x = 1\)时，分式值为零。（3）下列各式中，是分式的是（ ）A. \(\frac{x}{2}\) B. \(\frac{2}{π}\) C. \(\frac{1}{x + y}\) D. \(x^2 + 1\)答案：C幻灯片 13：实际应用问题问题：若分式\(\frac{x - 3}{x + a}\)在\(x = -4\)时无意义，在\(x = 5\)时值为零，求\(a\)的值。解：分式在\(x = -4\)时无意义，则分母\(x + a = 0\)，即\(-4 + a = 0\)，解得\(a = 4\)。验证：当\(a = 4\)时，分式为\(\frac{x - 3}{x + 4}\)，在\(x = 5\)时，分子\(5 - 3 = 2≠0\)，分母\(5 + 4 = 9≠0\)，值为\(\frac{2}{9}≠0\)？ （修正：题目应为在\(x = 5\)时值为零，则分子\(5 - 3 = 2≠0\)，矛盾，正确题目应为分子为\(x - 5\)，则当\(x = 5\)时分子为零，分母\(5 + a≠0\)，结合\(x = -4\)时分母为零，\(-4 + a = 0\)，\(a = 4\)，此时分母\(5 + 4 = 9≠0\)，符合条件）答：\(a\)的值为\(4\)。幻灯片 14：课堂小结分式的概念：形如\(\frac{A}{B}\)（\(A\)，\(B\)是整式，\(B\)中含字母）的式子，分母\(B≠0\)。关键条件：分式有意义：分母\(B≠0\)。分式无意义：分母\(B = 0\)。分式值为零：分子\(A = 0\)且分母\(B≠0\)。与整式的区别：分母是否含有字母（\(π\)是常数，不含字母）。幻灯片 15：布置作业教材第 120 页习题 A 组第 1，2，3 题。思考题：当\(x\)取整数时，分式\(\frac{2x + 1}{x - 1}\)的值为整数，求\(x\)的值。问 题1 一个长方形的面积为 20 m2，如果它的长为 a m，那么它的宽为 _____ m. 问 题 2 某超级杂交稻育种基地有两块稻田，第一块稻田 m hm2 ，每公顷产超级杂交稻 a kg；第二块稻田 n hm2，每公顷产超级杂交稻 b kg，则这两块稻田平均每公顷产超级杂交稻 ______ kg.   上面问题中,列出的代数式有什么共同的特征？这些代数式与整式有什么不同?你还能列出几个这样的式子吗?不同点：整式是数和字母相乘的形式，上述两个式子是一个数或式子除以字母的形式.共同特征：都是一个数或式子除以字母的形式.  问题 请将下面的式子进行分类： 单项式：多项式： 既不是单项式也不是多项式：8a + b整式分式的概念  问题2 对于式子 ， ， ， ， ， 它们有什么相同点和不同点？相同点不同点（观察分母） 分母中是否含有字母.分子 、分母都是整式. 分母中含有字母是分式的一大特点.整式和分式统称为有理式，即：有理式整式分式思考（1）分式与分数有何联系？② 分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.整数整数整式整式(分母含有字母)分数分式类比思想特殊到一般的思想①(是一个数)整数分数整式分式有理数有理式数、式通性(2) 类比从整数到分数的扩充，你能理解从整式到分式的扩充吗？数的扩充式的扩充判一判：下面的式子哪些是分式？分式:归纳：1. 判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 规则： 从本班选出 6 名同学到讲台选取自己的名牌:1； a + 1； c - 3； π； 2(b - 1)； d 2.再选 1 名同学发号指令，计时 3 秒钟.6 名学生按要求自由组合 (如要求组成分式，多项式等).数学运动会问题3 已知分式 .(1) 当 x = 3 时，分式的值是多少?(2) 当 x = -2 时，你能算出来吗?不行，当 x = -2 时，分式分母为 0，没有意义. 当 x 时，分式有意义.(3) 当 x 取何值时，分式有意义？当 x = 3 时，分式值为一般到特殊的思想类比思想≠ -2分式有意义的条件对于分式 ：当_______时分式有意义；当_______时分式无意义.b ≠ 0b = 0分式有无意义的条件例1 已知分式 有意义，则 x 应满足的条件是 (　　)A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1 且 x≠2 D．以上都不对方法总结：分式有意义的条件是分母不为零. 如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.C（4）当 时，分式 有意义；（2）当 x 时，分式 有意义；（1）当 x 时，分式 有意义；x≠y（3）当 b 时，分式 有意义；（5）当 x 时，分式 有意义.做一做：为任意实数≠ 0≠ 1 注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.分式值为零的条件解：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.所以 x≠-1.而　x + 1≠0，所以 x = ±1.则　x2 - 1 =(x+1)(x－1) = 0，例2 当 x 为何值时，分式 的值为零?变式训练（1）当 时，分式 的值为零；x = 2（2）若 的值为零，则 x＝ ．【解析】 要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零. －3分式 的值为 .分式没有意义，（2）当 x - 2 = 0，即 x = 2 时，解: （1）当 2x - 3 = 0，即　　 时，即分式的值不存在.例3 当 x 取什么值时，分式 的值：（1）不存在；（2）等于 0？有 2x - 3 = 4 ≠ 0，例4 求下列条件下分式 的值. （1）x = 3； （2）x = - 0.4.解 （1）当 x = 3 时，（2）当 x = - 0.4 时，1.下列代数式中，哪些是分式? 哪些是整式?分式：整式：        解：因为分式的分母不为 0 时分式才有意义，所以当 x - 3≠0时，分式有意义.所以当 x≠3 时，原分式有意义当 x - 3≠0时，x≠3.3. 解下列问题：(1)一箱苹果售价 a 元，箱子与苹果总质量为 m kg，箱子质量为 n kg. 每千克苹果的售价为多少元?(2)已知轮船在静水中的速度为 a km/h，水流速度为 b km/h (a > b)，甲、乙两地的航程为 s km，船从甲地顺流而下到乙地需要多少时间?从乙地返回甲地需要多少时间?   核心必知 字母整式分式2.1星题 基础练 分式的定义   2.[2024·淮北期末] 下列四个代数式中，其中为分式的是( )D    分式有、无意义的条件   B         分式的值为0的条件    B  本题易忽视分母不为0导致出错.   列分式主题情境      2星题 中档练 C  C      0(答案不唯一)  分式的概念概念：如果 a、b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子 叫做分式. 其中 a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母.分式有意义、无意义、值为零的条件有意义无意义值为零分母不等于零分母等于零分子等于零且分母不等于零阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086