9.2.1 分式的乘除（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：9.2.1 分式的乘除学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解并掌握分式的乘除法则，能运用法则进行分式的乘除运算。学会在分式乘除运算中进行约分，将结果化为最简分式或整式。体会类比思想在分式运算中的应用，培养运算能力和严谨的思维习惯。幻灯片 3：教学重难点重点：分式的乘除法则及运算方法。难点：分式乘除运算中的约分过程，尤其是分子、分母为多项式时的因式分解与约分。幻灯片 4：复习回顾分数的乘除法则：乘法：\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d} = \frac{a×c}{b×d}\)（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）。除法：\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d} = \frac{a}{b}×\frac{d}{c} = \frac{a×d}{b×c}\)（除以一个数等于乘这个数的倒数）。分式的基本性质：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C} = \frac{A÷C}{B÷C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)）。约分：约去分子和分母的公因式，化为最简分式或整式。小练习：计算\(\frac{2}{3}×\frac{9}{4}\)，\(\frac{5}{6}÷\frac{10}{3}\)。（答案：\(\frac{3}{2}\)，\(\frac{1}{4}\)）思考：分式的乘除是否与分数类似？幻灯片 5：情境导入问题 1：一个长方形的长为\(\frac{a}{b}\)，宽为\(\frac{c}{d}\)，它的面积是多少？（类比分数乘法，面积应为\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}\)）问题 2：一个数的\(\frac{m}{n}\)是\(\frac{p}{q}\)，这个数是多少？（类比分数除法，这个数应为\(\frac{p}{q}÷\frac{m}{n}\)）通过分数乘除的实际应用，类比引出分式乘除的法则。幻灯片 6：分式的乘法法则法则内容：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。字母表示：\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D} = \frac{A×C}{B×D}\)（其中\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)是整式，且\(B≠0\)，\(D≠0\)）。示例：\(\frac{x}{y}×\frac{a}{b} = \frac{x×a}{y×b} = \frac{ax}{by}\)；\(\frac{2a}{3b}×\frac{9b^2}{4a^2} = \frac{2a×9b^2}{3b×4a^2} = \frac{18ab^2}{12a^2b} = \frac{3b}{2a}\)（约分后结果）。幻灯片 7：分式的除法法则法则内容：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。字母表示：\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D} = \frac{A}{B}×\frac{D}{C} = \frac{A×D}{B×C}\)（其中\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)是整式，且\(B≠0\)，\(C≠0\)，\(D≠0\)）。示例：\(\frac{x}{y}÷\frac{a}{b} = \frac{x}{y}×\frac{b}{a} = \frac{xb}{ya}\)；\(\frac{3x}{4y}÷\frac{9x^2}{8y^2} = \frac{3x}{4y}×\frac{8y^2}{9x^2} = \frac{24xy^2}{36x^2y} = \frac{2y}{3x}\)（约分后结果）。幻灯片 8：例 1 - 分式的乘法（分子分母是单项式）计算：（1）\(\frac{2x}{3y}×\frac{6y^2}{x^3}\)解：根据乘法法则，分子相乘，分母相乘\(\frac{2x×6y^2}{3y×x^3} = \frac{12xy^2}{3x^3y}\)约分：约去公因式\(3xy\)，得\(\frac{4y}{x^2}\)（2）\(\frac{-5a}{12b}×\frac{3b^2}{10a^2}\)解：\(\frac{-5a×3b^2}{12b×10a^2} = \frac{-15ab^2}{120a^2b}\)约分：约去公因式\(15ab\)，得\(-\frac{b}{8a}\)幻灯片 9：例 2 - 分式的除法（分子分母是单项式）计算：（1）\(\frac{3a^2}{4b}÷\frac{9a}{8b^2}\)解：转化为乘法，除式分子分母颠倒\(\frac{3a^2}{4b}×\frac{8b^2}{9a} = \frac{3a^2×8b^2}{4b×9a}\)约分：约去公因式\(12ab\)，得\(\frac{2ab}{3}\)（2）\(\frac{-2x}{5y}÷(-\frac{4x^2}{15y^2})\)解：\(\frac{-2x}{5y}×(-\frac{15y^2}{4x^2}) = \frac{30xy^2}{20x^2y}\)约分：约去公因式\(10xy\)，得\(\frac{3y}{2x}\)幻灯片 10：例 3 - 分式的乘法（分子分母是多项式）计算：（1）\(\frac{x^2 - 4}{x + 3}×\frac{x + 3}{x - 2}\)解：先对分子分母分解因式分子\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)原式 = \(\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 3}×\frac{x + 3}{x - 2}\)约去公因式\((x + 3)\)和\((x - 2)\)，得\(x + 2\)（\(x≠-3\)，\(x≠2\)）（2）\(\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 4}×\frac{a + 2}{3 - a}\)解：分解因式：\(a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2\)，\(a^2 - 4 = (a + 2)(a - 2)\)原式 = \(\frac{(a - 3)^2}{(a + 2)(a - 2)}×\frac{a + 2}{-(a - 3)} = \frac{(a - 3)^2(a + 2)}{-(a + 2)(a - 2)(a - 3)}\)约去公因式\((a + 2)\)和\((a - 3)\)，得\(\frac{-(a - 3)}{a - 2} = \frac{3 - a}{a - 2}\)（\(a≠-2\)，\(a≠2\)，\(a≠3\)）幻灯片 11：例 4 - 分式的除法（分子分母是多项式）计算：（1）\(\frac{x^2 - xy}{x^2 + xy}÷(x - y)\)解：先分解因式，将整式\((x - y)\)看作\(\frac{x - y}{1}\)分子\(x^2 - xy = x(x - y)\)，分母\(x^2 + xy = x(x + y)\)原式 = \(\frac{x(x - y)}{x(x + y)}÷\frac{x - y}{1} = \frac{x(x - y)}{x(x + y)}×\frac{1}{x - y}\)约去公因式\(x\)和\((x - y)\)，得\(\frac{1}{x + y}\)（\(x≠0\)，\(x≠y\)，\(x≠-y\)）（2）\(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}÷\frac{2a - 2b}{a + b}\)解：分解因式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)，\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)，\(2a - 2b = 2(a - b)\)原式 = \(\frac{(a + b)(a - b)}{(a + b)^2}×\frac{a + b}{2(a - b)}\)约去公因式\((a + b)(a - b)\)，得\(\frac{1}{2}\)（\(a≠-b\)，\(a≠b\)）幻灯片 12：分式乘除的运算步骤分式乘法运算步骤：分子、分母分别相乘，得到一个新的分式：\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D} = \frac{A×C}{B×D}\)。对分子和分母进行因式分解（尤其是多项式）。约去分子和分母的公因式，化为最简分式或整式。（注：也可先约分再相乘，简化运算过程）分式除法运算步骤：将除法转化为乘法：\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D} = \frac{A}{B}×\frac{D}{C}\)。后续步骤同乘法运算：分子分母相乘→因式分解→约分。幻灯片 13：分式乘除的注意事项运算结果必须化为最简分式或整式。分子或分母是多项式时，先分解因式再约分，避免漏约公因式。运算过程中要注意符号：多个负号相乘时，“负负得正”，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。遇到整式（如单项式或多项式）时，可将其看作分母为 1 的分式参与运算，如\(x = \frac{x}{1}\)，\(x + y = \frac{x + y}{1}\)。约分时要确保公因式不为零，即分母不为零，避免出现无意义的情况。幻灯片 14：易错点辨析判断对错并改正：（1）\(\frac{x}{y}×\frac{y}{x} = \frac{xy}{yx} = 0\) (×)，改正：\(\frac{x}{y}×\frac{y}{x} = \frac{xy}{yx} = 1\)（约分后结果应为 1）。（2）\(\frac{x + 1}{x - 1}÷(x + 1) = \frac{x + 1}{x - 1}×\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}\) (√)。（3）\(\frac{a^2}{b^3}÷\frac{a}{b^2} = \frac{a^2}{b^3}×\frac{b^2}{a} = \frac{a^2b^2}{ab^3} = ab\) (×)，改正：约分后应为\(\frac{a}{b}\)（指数计算错误）。（4）\(\frac{x^2 - 1}{x}×\frac{x}{x + 1} = x - 1\) (√)，分子分解为\((x + 1)(x - 1)\)，约去公因式\((x + 1)x\)得\(x - 1\)。幻灯片 15：课堂练习（1）计算\(\frac{3a}{4b}×\frac{16b^2}{9a^2}\)解：\(\frac{3a×16b^2}{4b×9a^2} = \frac{48ab^2}{36a^2b} = \frac{4b}{3a}\)（2）计算\(\frac{x^2 - 9}{x^2}÷\frac{x - 3}{x}\)解：\(\frac{(x + 3)(x - 3)}{x^2}×\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 3}{x}\)（3）计算\(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}×\frac{a + b}{a - b}\)解：\(\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}×\frac{a + b}{a - b} = 1\)（4）计算\(\frac{2x + 4}{x - 2}÷(x + 2)\)解：\(\frac{2(x + 2)}{x - 2}×\frac{1}{x + 2} = \frac{2}{x - 2}\)幻灯片 16：实际应用问题问题：已知一个长方体的体积为\(\frac{x^2 - 4}{x}\)，底面积为\(\frac{x + 2}{x - 2}\)，求这个长方体的高。解：长方体的高 = 体积 ÷ 底面积体积 = \(\frac{x^2 - 4}{x} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x}\)高 = \(\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}÷\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x}×\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{(x - 2)^2}{x}\)答：这个长方体的高为\(\frac{(x - 2)^2}{x}\)（\(x≠0\)，\(x≠-2\)，\(x≠2\)）。幻灯片 17：课堂小结分式乘法法则：\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D} = \frac{A×C}{B×D}\)（分子乘分子，分母乘分母）。分式除法法则：\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D} = \frac{A}{B}×\frac{D}{C} = \frac{A×D}{B×C}\)（除以分式等于乘其倒数）。运算步骤：乘法直接相乘，除法转化为乘法；因式分解→约分→化为最简结果。注意事项：符号处理，因式分解彻底，结果最简，分母不为零。幻灯片 18：布置作业教材第 132 页习题 A 组第 1，2，3 题。思考题：计算\(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2}÷\frac{x - y}{x + y}×\frac{x + y}{x - y}\)，并求当\(x = 3\)，\(y = 1\)时的值。1. 掌握分式的乘除运算法则.（重点）2. 能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．（难点）问题2 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?大拖拉机的工作效率是 公顷/天，小拖拉机的工作效率是 公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的( )倍.想一想：类比分数的乘除法则，你能说出分式的乘除法则吗？填空：分式的乘除乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的 分子，用分母的积作积的分母.　　除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.上述法则用式子表示为：例1 计算：注意：按照法则进行分式乘除运算，如果结果不是最简分式，一定要进行约分，将运算结果化成最简分式.解：（1）原式（2）原式（1）（2）变式训练： 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算过程分为： (1) 符号运算； (2) 按分式的乘法法则运算．例2 计算：解：原式 = 分子、分母是多项式时，先分解因式，便于约分约分解：原式 =约分 注意：按照法则进行分式乘除运算时，若分式的分子、分母可以因式分解，则先因式分解再进行运算.例3 计算：解：原式 =解：原式计算：(1)解：原式(2)1. 分式的分子、分母都是几个因式的积的形式时，可先约去分子、分母的公因式，再按照乘除法则进行运算.分式乘除的解题步骤：2. 分子或分母是多项式时按以下方法进行：① 将原分式中含同一字母的各多项式按降幂 (或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其分母为 1、分子为这个整式；② 把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；③ 应用分式乘除法则进行运算 (注意：运算包含约分，结果要化为最简分式或整式)．根据乘方的意义计算下列各式：分式的乘方类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？想一想：一般地，当 n 是正整数时，这就是说，分式的乘方要把分子，分母分别乘方.分式的乘方法则：理解要点：（2）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.×√根据负整数次幂的意义，可知：这就是说，分式的乘方 可以转化为积的乘方 .例5 计算：解：(1) 原式 =(2) 原式 =例6 计算：解：(1) 原式 =(2) 原式 =混合运算顺序：先算乘方，再算乘除. 进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后结果应化成最简分式或整式，通常情况下，计算得到的最后结果要使分子和分母第一项的符号为正号．分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．1. 计算.        2.计算.解：(1)原式= (2)原式=  解：(3)原式=  (4)原式=  3.体育课上，李明和王亮进行单人定点投篮练习，李明投 a 次中 b 次，王亮投 m 次中 n 次，问李明投篮的命中率是王亮的几倍?解：李明命中率:王亮命中率:    1星题 基础练 分式的乘除1.［知识初练］计算：            B  D    5.计算：       分式的乘方6.［知识初练］计算：        C 8.下列计算中，正确的是( )A 2星题 中档练9.下列各式计算正确的是( )C  A.④①②B.③①②C.③②①D.④②①C  12. 如图是三名同学在一起讨论一个分式乘法题目的部分对话，请你写出一个符合下列条件的题目：_ ________________________.     3星题 提升练15. ［运算能力］涪陵是“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收.为了选育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田.如图，王大伯家试 (1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？  分式的乘方乘除混合运算的顺序：先乘方，再乘除分式的乘方就是把分子、分母分别乘方分式的乘除分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086