8.4 .3 因式分解-十字相乘法、拆添项法2024-2025学年七年级数学下册教学同步课件【2024沪科版】

理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.知识与技能目标​学生理解并掌握同底数幂的除法运算法则，能准确阐述其内容。​能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的同底数幂除法运算，包括底数为数字、字母的情况。​过程与方法目标​通过对同底数幂除法运算法则的探究过程，培养学生观察、归纳、猜想、推理的能力。​体会从特殊到一般，十字相乘法：对于二次三项式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．2112+ = 51x+22x+1(x+2)(2x+1)1×12×2二次项系数为1型x2＋（p＋q）x＋pq分解常数pq分解二次项系数111×q＋1×p＝p＋q二次项系数不为1型ax2＋bx＋c分解常数c1c2分解二次项系数a1a2a1c2＋a2c1＝b＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝(x＋p)(x＋q)1两个字母型ax2＋bxy＋cy2分解常数c1yc2y分解二次项系数a1a2a1c2y＋a2c1y＝by＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中把x2＋7x＋10分解因式．例解析二次三项式：x2＋7x＋10常数项：10＝2×5一次项系数：7＝2＋5所以原式＝(x＋2)(x＋5)x2＋7x＋10二次项系数为1常数项分解10＝1×1010＝(－1)×(－10)10＝2×510＝(－2)×(－5)一次项系数77＝2＋5x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）把x2－11x－12分解因式．例解析二次三项式：x2－11x－12常数项：－12＝1×(－12)一次项系数：－11＝1＋(－12)原式＝(x－12)(x＋1)x2－11x－12二次项系数为1常数项分解－12＝（－1）×12－12＝1×（－12）－12＝（－2）×6－12＝2×（－6）一次项系数－11－11＝1＋（－12）x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）－12＝3×（－4）－12＝（－3）×4二次项系数为1的二次三项式，用十字相乘法因式分解要运用公式x2＋（p＋q）x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，必须要具备的三个条件：（1）二次项系数是1的二次三项式；（2）常数项能分拆成两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．分解常数项的一般规律：（1）常数项是正数时，它分解成两个同号因数相乘，它们与一次项系数符号相同．（2）常数项是负数时，它分解成两个异号因数相乘，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同．因式分解：3x2－11x＋10．例3x2－11x＋10二次项系数为3常数项分解10＝1×1010＝（－1）×（－10）10＝2×510＝（－2）×（－5）一次项系数－11分解3＝1×3因式分解：3x2－11x＋10．例解析二次三项式：3x2－11x＋10二次项系数：3＝1×3，常数项：10＝（－2）×（－5）原式＝(x－2)(3x－5)一次项系数：1×（－5）＋3×（－2）＝－11因式分解：15x2＋7xy－4y2．例15x2＋7xy－4y2二次项系数为15常数项－4y2分解(－y)×4y（－4y）×y一次项系数7y分解15＝1×1515＝3×5－2y×2y因式分解：15x2＋7xy－4y2．例解析二次三项式：15x2＋7xy－4y2二次项系数：15＝3×5，常数项：－4y2＝（－y）×4y原式＝(3x－y)(5x＋4y)一次项系数：3×4y－5×y＝7y拆项、添项法拆（添）项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.注意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换.x4+4x2+4－4x2(x2+2) 2－(2x)2(x2+2x+2) (x2－2x+2) x4+0x2+4分解因式：x3－3x2＋4．例解析添项法：x3－3x2＋4＝x3－3x2－4x＋4x＋4＝(x3－3x2－4x)＋(4x＋4)＝x(x2－3x－4)＋4(x＋1)＝x(x－4)(x＋1)＋4(x＋1)＝(x＋1)(x2－4x＋4)＝(x＋1)(x－2)2x3－3x2－4x＋4x ＋ 4添两项－4x和+4x分组x3－3x2－4x4x＋4x3－3x2+2x－2x ＋ 4添两项+2x和﹣2x分组x3－3x2+2x－2x ＋ 4x3－3x2＋4拆二次项－2x2和－x2分组x3和－2x2－x2和＋4分解因式：x3－3x2＋4．例解析拆项法：x3－3x2＋4＝x3－2x2－x2＋4＝x2(x－2)＋(2－x)(2＋x)＝x2(x－2)－(x＋2)(x－2)＝(x－2)(x2－x－2)＝(x－2)(x＋1)(x－2)＝(x＋1)(x－2)2x3－3x2＋4拆常数项1和3分组x3和1－3x2和＋3用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．换元法nn+1mm换元法：对于一些结构较为复杂的多项式进行因式分解时，如果式子中存在重复出现的式子，把多项式中重复的部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元．换元法优点：简单化，明朗化，减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度换元替换字母、未知数题目特点：结构复杂，存在重复出现的式子复杂简单分解因式：(a2－5a＋5)(a2－5a－3)－9．例将a2－5a看作一个整体用字母y表示分析再进行因式分解后再转换回来解析令y＝a2－5a，则原式＝(y＋5)(y－3)－9＝y2＋2y－15 －9＝y2＋2y－24＝(y＋6)(y－4)原式＝[(a2－5a)＋6][(a2－5a)－4]＝(a－2)(a－3)(a2－5a－4)＝(a2－5a＋6)(a2－5a－4)十字相乘法将y＝a2－5a代入上式分解因式：(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24．例适当分组分析再换元(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－241.分组的目的是什么？构造重复结构2.怎样分组才能出现重复结构？(x＋a)(x＋b)=[(x＋1)(x＋4)][(x＋2)(x＋3)]－24(x²+5x+4)(x²+5x+6)－24分解因式：(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24．例解析(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)－24令y＝x2＋5x，＝y2＋10y则有 (x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)－24＝(y＋4)(y＋6)－24原式=y(y＋10)＝ (x2＋5x )( x2＋5x ＋10)＝y(y＋10)=x(x+5)(x2＋5x＋10)将y＝x2＋5x代入上式＝[(x＋1)(x＋4)][(x＋2)(x＋3)]－24待定系数法待定系数法：就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。设 x3－1 =x3－1 = x3+(b－1)x2 +(1－b)x －1解得：b=1所以x3－1 = (x－1)(x2+x+1)建立待定系数的方程组并解方程组恒等原理(x+a)当x=1时， x3－1=0(x－1)(x2+bx+c)(x2+bx+1)假设成若干个因式的连乘积待定系数法因式分解的一般步骤是：（1）把系数用字母代替，表示出分解的最终形式（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。分解因式2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15．例2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15十字相乘＝(x－y＋m)(2x＋3y＋n)求m，n的值解析因为2x2＋xy－3y2＝(x－y)(2x＋3y)，设2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15＝(x－y＋m)(2x＋3y＋n)＝2x2＋xy－3y2＋(2m＋n)x＋(3m－n)y＋mn．由①、②解得m＝3，n＝－5．∴2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15＝(x－y＋3)(2x＋3y－5)．把m＝3，n＝－5代入③式也成立．分解因式2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15．例知识点1 提公因式法与完全平方公式因式分解的综合运用     返回 A  返回4.因式分解：     返回知识点2 提公因式法与平方差公式因式分解的综合运用 B  返回   D 返回 CA. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确C. 甲、乙的结果都正确D. 甲、乙的结果都不正确 返回8.因式分解：     返回 BA. 我爱祖国 B. 强国有我C. 我爱国 D. 我有祖国 返回 ①②③④ 题目特点：结构复杂，存在重复出现的式子思想方法：构造思想