9.3.1分式方程及其解法（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：分式方程及其解法学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解分式方程的概念，能区分整式方程与分式方程。掌握分式方程的解法，学会通过去分母将分式方程转化为整式方程求解。理解验根的必要性，能正确检验分式方程的解。培养转化思想和严谨的解题习惯，提高方程求解能力。幻灯片 3：教学重难点重点：分式方程的解法（去分母转化为整式方程），验根的方法。难点：理解去分母时最简公分母的选择，以及验根的必要性（避免增根）。幻灯片 4：复习回顾整式方程：分母中不含未知数的方程，如\(2x + 3 = 5\)，\(x^2 - 2x - 3 = 0\)等。分式的基本性质：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)）。最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母。小问题：下列方程中，哪些是整式方程？\(3x + 1 = 0\)，\(\frac{1}{x} = 2\)，\(x^2 + 2x = 5\)。（答案：\(3x + 1 = 0\)，\(x^2 + 2x = 5\)是整式方程）思考：\(\frac{1}{x} = 2\)与整式方程有何不同？幻灯片 5：情境导入问题 1：一艘轮船在静水中的速度为\(20\)千米 / 时，水流速度为\(x\)千米 / 时，轮船顺流航行\(100\)千米所用时间与逆流航行\(60\)千米所用时间相等，求水流速度\(x\)。顺流速度 = \(20 + x\)千米 / 时，顺流时间 = \(\frac{100}{20 + x}\)小时。逆流速度 = \(20 - x\)千米 / 时，逆流时间 = \(\frac{60}{20 - x}\)小时。等量关系：\(\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}\)。问题 2：某校学生到距离学校\(15\)千米的郊外春游，一部分学生骑自行车先走，\(40\)分钟后，其余学生乘汽车出发，结果同时到达。已知汽车速度是自行车速度的\(3\)倍，求自行车的速度。设自行车速度为\(x\)千米 / 时，汽车速度为\(3x\)千米 / 时。自行车时间 = \(\frac{15}{x}\)小时，汽车时间 = \(\frac{15}{3x}\)小时。等量关系：\(\frac{15}{x} - \frac{40}{60} = \frac{15}{3x}\)。观察上述问题中的方程\(\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}\)和\(\frac{15}{x} - \frac{2}{3} = \frac{5}{x}\)，它们有什么共同特点？引出分式方程的概念。幻灯片 6：分式方程的概念定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。关键词解析：方程的分母中必须含有未知数（区别于整式方程）。分式方程是方程的一种特殊形式，包含分式和等号。示例：分式方程：\(\frac{1}{x} = 3\)，\(\frac{x}{x - 2} = \frac{3}{2}\)，\(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x} = 1\)。非分式方程（整式方程）：\(2x + 1 = 5\)，\(\frac{x}{2} = 3\)（分母不含未知数）。小练习：判断下列方程是否为分式方程：（1）\(\frac{x + 1}{2} = 3\)（否，分母不含未知数）（2）\(\frac{2}{x - 1} = 5\)（是）（3）\(x + \frac{1}{x} = 2\)（是）（4）\(\frac{x^2 - 1}{3} = x\)（否）幻灯片 7：分式方程的解法思路核心思想：转化思想，将分式方程转化为整式方程求解。转化方法：去分母，即在方程两边同时乘各分式的最简公分母，消除分母，化为整式方程。步骤框架：确定最简公分母。方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。解整式方程。验根（关键步骤，避免增根）。写出原方程的解。幻灯片 8：例 1 - 简单分式方程的解法解方程：\(\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 3}\)解：步骤 1：确定最简公分母分母为\(x\)和\(x + 3\)，最简公分母是\(x(x + 3)\)。步骤 2：去分母，化为整式方程方程两边同乘\(x(x + 3)\)，得\(x + 3 = 2x\)（注意：每一项都要乘公分母）。步骤 3：解整式方程移项得\(2x - x = 3\)，解得\(x = 3\)。步骤 4：验根将\(x = 3\)代入最简公分母\(x(x + 3) = 3×6 = 18≠0\)，分母不为零。代入原方程左边：\(\frac{1}{3}\)，右边：\(\frac{2}{3 + 3} = \frac{1}{3}\)，左边 = 右边，所以\(x = 3\)是原方程的解。步骤 5：结论：原方程的解为\(x = 3\)。幻灯片 9：例 2 - 含多项的分式方程解法解方程：\(\frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} = 1\)解：步骤 1：确定最简公分母分母为\(x - 2\)和\(x + 2\)，最简公分母是\((x - 2)(x + 2)\)。步骤 2：去分母方程两边同乘\((x - 2)(x + 2)\)，得\(x(x + 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 2)\)。步骤 3：解整式方程展开：\(x^2 + 2x + 3x - 6 = x^2 - 4\)合并同类项：\(x^2 + 5x - 6 = x^2 - 4\)移项化简：\(5x = 2\)，解得\(x = \frac{2}{5}\)。步骤 4：验根代入公分母：\((\frac{2}{5} - 2)(\frac{2}{5} + 2) = (-\frac{8}{5})(\frac{12}{5})≠0\)。代入原方程左边：\(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} - 2} + \frac{3}{\frac{2}{5} + 2} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{8}{5}} + \frac{3}{\frac{12}{5}} = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} = 1\)，等于右边，所以\(x = \frac{2}{5}\)是原方程的解。结论：原方程的解为\(x = \frac{2}{5}\)。幻灯片 10：增根的概念及验根的必要性增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程中，可能产生的不适合原分式方程的根，叫做分式方程的增根。增根产生的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母为零，导致整式方程的解使原分式方程的分母为零，分式无意义。验根的方法：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为零，则是原方程的解；若公分母为零，则是增根，原方程无解。（可选）代入原方程检验左右两边是否相等。示例：解方程\(\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x^2 - 4}\)最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)，去分母得\(x + 2 = 3\)，解得\(x = 1\)。验根：代入公分母得\((1 + 2)(1 - 2) = -3≠0\)，所以\(x = 1\)是原方程的解。若解得\(x = 2\)，代入公分母得\(0\)，则\(x = 2\)是增根，原方程无解。幻灯片 11：例 3 - 含增根的分式方程解法解方程：\(\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}\)解：步骤 1：最简公分母是\((x - 1)(x + 2)\)。步骤 2：去分母，得\(x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3\)。步骤 3：展开化简：\(x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3\)\(x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3\)\(x + 2 = 3\)，解得\(x = 1\)。步骤 4：验根：代入公分母\((1 - 1)(1 + 2) = 0\)，所以\(x = 1\)是增根。结论：原方程无解。幻灯片 12：分式方程解法的注意事项去分母时，方程两边的每一项都要乘最简公分母，包括常数项，避免漏乘，如方程\(\frac{1}{x} = 2 + \frac{3}{x}\)去分母时，常数项\(2\)需乘\(x\)，得\(1 = 2x + 3\)。分子是多项式时，去分母后要加括号，防止符号错误，如\(\frac{x - 1}{x} = 2\)去分母得\(x - 1 = 2x\)（而非\(x - 1 = 2x\)漏括号，但此例正确，再如\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)去分母得\(x + 1 = 3(x - 2)\)）。验根是必不可少的步骤，无论解是否看起来正确，都必须检验是否为增根。求出整式方程的解后，若为增根，需明确说明原方程无解，不能将增根作为原方程的解。幻灯片 13：易错点辨析判断对错并改正：（1）解方程\(\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x}\)时，去分母得\(x = 2(x - 1)\)，解得\(x = 2\)，验根后\(x = 2\)是原方程的解 (√)。（2）解方程\(\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{3}{x - 3}\)时，去分母得\(x = 2 + 3\)，解得\(x = 5\) (×)，改正：去分母得\(x = 2(x - 3) + 3\)，解得\(x = 3\)，验根后\(x = 3\)是增根，原方程无解（漏乘常数项\(2\)）。（3）分式方程\(\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 1}\)的解是\(x = 2\)，无需验根 (×)，改正：必须验根，验根后确认\(x = 2\)是原方程的解（忽略验根必要性）。（4）解方程\(\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\)时，化简得\(x + 1 = 2\)，解得\(x = 1\)，所以原方程的解是\(x = 1\) (×)，改正：\(x = 1\)使原方程分母为零，是增根，原方程无解（化简后未验根）。幻灯片 14：课堂练习（1）解方程\(\frac{3}{x} = \frac{1}{x - 2}\)解：最简公分母\(x(x - 2)\)，去分母得\(3(x - 2) = x\)，解得\(x = 3\)，验根后\(x = 3\)是原方程的解。（2）解方程\(\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 1}\)解：最简公分母\((x + 1)(x - 1)\)，去分母得\(2(x - 1) + 3(x + 1) = 6\)，解得\(x = 1\)，验根后\(x = 1\)是增根，原方程无解。（3）解方程\(\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}\)解：化为\(\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = -\frac{3}{x - 2}\)，去分母得\(x - 3 + x - 2 = -3\)，解得\(x = 1\)，验根后\(x = 1\)是原方程的解。幻灯片 15：实际应用问题解答示例问题：某车间加工\(1200\)个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的\(1.5\)倍，这样加工同样多的零件就少用了\(10\)小时。求该车间原来每小时加工多少个零件？解：设原来每小时加工\(x\)个零件，新工艺每小时加工\(1.5x\)个零件。原来加工时间 = \(\frac{1200}{x}\)小时，新工艺加工时间 = \(\frac{1200}{1.5x}\)小时。等量关系：原来时间 - 新工艺时间 = \(10\)，即\(\frac{1200}{x} - \frac{1200}{1.5x} = 10\)。解方程：最简公分母\(1.5x\)，去分母得\(1200×1.5 - 1200 = 10×1.5x\)\(1800 - 1200 = 15x\)\(600 = 15x\)，解得\(x = 40\)。验根：\(x = 40\)时，\(1.5x = 60≠0\)，分母不为零。答：该车间原来每小时加工\(40\)个零件。幻灯片 16：课堂小结分式方程的概念：分母中含有未知数的方程。解法步骤：确定最简公分母。去分母化为整式方程。解整式方程。验根（代入最简公分母，不为零则为解，否则为增根）。关键要点：去分母时每一项都要乘公分母，分子多项式加括号，验根必不可少，增根需舍去并说明方程无解。幻灯片 17：布置作业教材第 152 页习题 A 组第 1，2，3 题。思考题：当\(k\)为何值时，方程\(\frac{x}{x - 1} + \frac{k}{x - 1} = 2\)会产生增根？ 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ .定义： 像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.分式方程的概念判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数，不是未知数).（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母 都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？如何去分母分式方程的解法去分母在方程两边同时乘以一个合适的式子最简公分母分式的基本性质方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x)解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得 检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解.90(30 - x) = 60(30 + x)，解得 x = 6.x = 6 是原分式方程的解吗？下面我们再解一个分式方程：解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得x + 5 = 10，解得 x = 5.x = 5 是原分式方程的解吗？真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程：真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；2. 解这个整式方程；3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的根.简记为：“一化二解三检验”“去分母法”解分式方程的步骤例1 解方程：解：方程两边同乘以最简公分母 x(x - 2)，得解这个一元一次方程，得 x = -3.检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0.因此 x = -3 是原方程的解.解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3)(x - 3)，得展开，得解方程，得所以，原方程的根是 x = 21.(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)= -x(x + 3).x2 - 4x + 3 - 2x2 + 18 = -x2 - 3x.x = 21.检验：当 x = 21 时，(x + 3)(x - 3)≠0.解：两边都乘以最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得 x + 2 = 4.解得 x = 2.检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0.因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解.提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.用框图的方式总结为：否是例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________．解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.因为关于 x 的方程 的解是正数，所以 x＞0 且 x≠1.所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1，解得 a＜-1 且 a≠-2.a＜-1 且 a≠-2分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根． 方法总结：先求出方程的解 (用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为 0.解：方程两边都乘以 (x＋2)(x－2) 得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；② 方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得 (m－1)×2＝－10，m＝－4；当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. 所以 m 的值是 1或－4 或 6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．1.解方程.  解：(1)去分母，得5(x－2) = 3x解得x = 5经检验，x = 5 是原方程的根.(2) 去分母，得x－4－1 = 3－x解得x = 4经检验，x = 4 是原方程的增根，因而原方程无解.2. 防汛期间，县指挥部组织人力到 30 km 远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15 min 后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达. 已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度. 解：设摩托车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 1.5x km/h. 解得 x = 40汽车速度：1.5×40 = 60 km/h.答：摩托车速度为 40 km/h，汽车速度为 60 km/h.核心必知1.分母中含有________的方程叫作分式方程.2.解分式方程时，由于去分母时将方程两边同时乘以最简公分母，该最简公分母的值可能为____，因此解分式方程一定要______.验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.未知数零验根1星题 基础练 分式方程的定义 未知数是   解分式方程 C  B  A   6.解方程：     分式方程的增根   DA.1 B.2 C.3 D.42星题 中档练 B  B  12       分式方程误区(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘；步骤(去分母法)一化 (分式方程转化为整式方程)；二解 (整式方程)；三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；(3)忘记检验.定义分母中含未知数的方程叫做分式方程阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086