9.3.2分式方程的实际应用-课件-2025-2026学年2024沪科版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：9.3.2 分式方程的实际应用版本：沪科版数学七年级下册副标题：用分式方程解决实际问题，提升数学应用能力幻灯片 2：学习目标能从实际问题中抽象出分式方程模型，明确列方程的关键等量关系。掌握列分式方程解决实际问题的完整步骤，包括设元、列方程、求解、检验（含实际意义检验）、作答。能解决工程问题、行程问题、销售问题等常见类型的分式方程实际应用问题。体会数学与生活的联系，培养分析问题、解决问题的逻辑思维能力。幻灯片 3：情境导入 —— 回顾与衔接回顾旧知：上节课我们学习了分式方程的解法，解分式方程的核心步骤是什么？（找最简公分母→去分母→解整式方程→验根→写结论）生活问题：小明从家到学校，步行速度为 5km/h，用时 0.6 小时；若骑自行车，速度为 15km/h，可提前多久到达？某工厂加工一批零件，原计划每天加工 20 个，15 天完成；实际每天多加工 5 个，实际几天完成？引导思考：以上问题可用整式方程解决，但生活中还存在更复杂的数量关系（如速度变化后时间差、工作效率变化后工作量关系），需要用分式方程来解决，今天我们就来探索分式方程的实际应用。幻灯片 4：列分式方程解决实际问题的核心步骤完整流程：审题分析：通读题目，明确问题中的已知量、未知量，找出关键的等量关系（这是列方程的核心）；设未知数：根据未知量设出合适的未知数（通常设直接未知数，若直接设元困难可设间接未知数），并标注未知数的取值范围（需符合实际意义，如时间、人数、速度不为负数）；列分式方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程；解分式方程：按照分式方程的解法，求出未知数的值（注意去分母、验根）；双重检验：数学检验：检验所求值是否为分式方程的解（排除增根）；实际意义检验：检验所求值是否符合实际问题的背景（如时间不能为负、人数为正整数等）；规范作答：根据检验结果，用完整的语言回答实际问题。口诀辅助记忆：“审题找等量，设元列方程，求解要检验，作答要完整”。幻灯片 5：类型一 —— 工程问题核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间；工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间；工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率（通常设工作总量为 1，简化计算）。例 1：一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成。若甲队先做 3 天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，还需要多少天？步骤解析：审题与等量关系：甲队 3 天工作量 + 甲、乙合作工作量 = 总工作量（设总工作量为 1）；设未知数：设还需要\(x\)天完成；表示相关量：甲队效率为\(\frac{1}{10}\)，乙队效率为\(\frac{1}{15}\)，甲队 3 天工作量为\(3\times\frac{1}{10}\)，合作\(x\)天工作量为\(x\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)\)；列方程：\(3\times\frac{1}{10}+x\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)=1\)；解方程：\( \begin{align*} \frac{3}{10}+x\left(\frac{3 + 2}{30}\right)&=1\\ \frac{3}{10}+\frac{x}{6}&=1\\ 9 + 5x&=30\quad(\text{两边同乘30})\\ 5x&=21\\ x&=4.2 \end{align*} \)检验：\(x = 4.2\)是方程的解，且时间为正数，符合实际意义；作答：还需要 4.2 天完成（或写成分数形式\(\frac{21}{5}\)天）。例 2：某车间加工一批零件，原计划每天加工 40 个，15 天完成。实际加工时，每天的工作效率提高了 25%，实际比原计划提前多少天完成？解答：等量关系：实际每天加工数量 × 实际天数 = 总零件数（总零件数 = 原计划每天加工数 × 原计划天数）；设未知数：设实际需要\(x\)天完成，求 “提前天数” 需计算\(15 - x\)；实际效率：\(40\times(1 + 25\%) = 50\)（个 / 天），总零件数 = \(40\times15 = 600\)（个）；列方程：\(50x = 600\)（此为整式方程，若效率用分式表示可列为分式方程，如\(\frac{600}{x}=40\times1.25\)）；解方程：\(x = 12\)；检验与作答：\(x = 12\)符合实际，提前天数为\(15 - 12 = 3\)（天），答：实际比原计划提前 3 天完成。幻灯片 6：类型二 —— 行程问题核心公式：路程 = 速度 × 时间；速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度（当路程未知时，可设路程为具体数值或单位 “1”）。例 3：从 A 地到 B 地的路程为 120km，甲车从 A 地出发，以 60km/h 的速度驶向 B 地；1 小时后，乙车从 B 地出发，以 80km/h 的速度驶向 A 地，两车相遇时，乙车行驶了多少小时？步骤解析：审题与等量关系：甲车先行驶 1 小时的路程 + 甲、乙两车相遇时共同行驶的路程 = 总路程（120km）；设未知数：设乙车行驶了\(x\)小时，则甲车行驶的总时间为\((x + 1)\)小时；列方程：\(60(x + 1)+80x = 120\)（整式方程，若从时间角度列分式方程：如 “甲车从 A 到相遇点时间 - 1 = 乙车从 B 到相遇点时间”，设相遇点距 A 地\(y\)km，则\(\frac{y}{60}-1=\frac{120 - y}{80}\)）；解方程：\( \begin{align*} 60x + 60 + 80x&=120\\ 140x&=60\\ x&=\frac{3}{7}\approx0.43 \end{align*} \)检验与作答：\(x = \frac{3}{7}\)是方程的解，且时间为正数，符合实际，答：乙车行驶了\(\frac{3}{7}\)小时。例 4：小明骑自行车从家到学校，若速度为 15km/h，则比上课时间早到 10 分钟；若速度为 12km/h，则比上课时间迟到 5 分钟。求小明家到学校的路程。解答：单位统一：10 分钟 = \(\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\)小时，5 分钟 = \(\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\)小时；等量关系：速度 15km/h 时的时间 + \(\frac{1}{6}\)小时 = 速度 12km/h 时的时间 - \(\frac{1}{12}\)小时（均等于 “上课前剩余时间”）；设未知数：设小明家到学校的路程为\(s\)km；列分式方程：\(\frac{s}{15}+\frac{1}{6}=\frac{s}{12}-\frac{1}{12}\)；解方程：\( \begin{align*} \frac{s}{15}-\frac{s}{12}&=-\frac{1}{12}-\frac{1}{6}\\ \frac{4s - 5s}{60}&=-\frac{1 + 2}{12}\\ -\frac{s}{60}&=-\frac{3}{12}\\ s&=15 \end{align*} \)检验与作答：\(s = 15\)是方程的解，路程为正数，符合实际，答：小明家到学校的路程为 15km。幻灯片 7：类型三 —— 销售与利润问题核心公式：总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 成本；利润率 = \(\frac{利润}{成本}\times100\%\)；折扣价 = 原价 × 折扣率。例 5：某商店销售一批进价为每件 40 元的服装，若按每件 50 元销售，一个月可售出 500 件；若每件售价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件。商店计划每月盈利 8000 元，每件服装的售价应定为多少元？（利润 = 每件利润 × 销售量）步骤解析：设未知数：设每件服装售价上涨\(x\)元，则每件售价为\((50 + x)\)元，每件利润为\((50 + x - 40)=(10 + x)\)元，月销售量为\((500 - 10x)\)件；等量关系：每件利润 × 月销售量 = 总盈利（8000 元）；列方程：\((10 + x)(500 - 10x)=8000\)（整式方程，若设售价为\(y\)元，可列为分式方程，如 “销售量 = 500 - 10 (y - 50)”，利润方程为\((y - 40)[500 - 10(y - 50)]=8000\)）；解方程：\( \begin{align*} 5000 - 100x + 500x - 10x^{2}&=8000\\ -10x^{2}+400x - 3000&=0\\ x^{2}-40x + 300&=0\\ (x - 10)(x - 30)&=0 \end{align*} \)解得\(x = 10\)或\(x = 30\)；计算售价：当\(x = 10\)时，售价为\(50 + 10 = 60\)元；当\(x = 30\)时，售价为\(50 + 30 = 80\)元；检验与作答：两种售价均使销售量为正数（\(500 - 10\times10 = 400\)件，\(500 - 10\times30 = 200\)件），符合实际，答：每件服装的售价应定为 60 元或 80 元。例 6：某超市用 5000 元购进一批苹果，按进价提高 20% 的价格销售，很快售完。超市又用 9000 元购进第二批苹果，所购数量是第一批的 1.5 倍，但每件进价贵了 5 元。第一批苹果每件进价是多少元？解答：等量关系：第二批苹果数量 = 1.5× 第一批苹果数量；数量 = 总价 ÷ 单价；设未知数：设第一批苹果每件进价为\(x\)元，则第二批每件进价为\((x + 5)\)元；列分式方程：\(\frac{9000}{x + 5}=1.5\times\frac{5000}{x}\)；解方程：\( \begin{align*} \frac{9000}{x + 5}&=\frac{7500}{x}\\ 9000x&=7500(x + 5)\quad(\text{两边同乘}x(x + 5))\\ 9000x&=7500x + 37500\\ 1500x&=37500\\ x&=25 \end{align*} \)检验与作答：\(x = 25\)是方程的解，进价为正数，且第二批进价\(25 + 5 = 30\)元，数量\(\frac{9000}{30}=300\)件，第一批数量\(\frac{5000}{25}=200\)件，\(300 = 1.5\times200\)，符合实际，答：第一批苹果每件进价是 25 元。幻灯片 8：易错点分析与规避常见易错点：单位不统一：如行程问题中时间单位 “分钟” 与 “小时” 混淆，未统一单位直接列方程（如例 4 中未将 10 分钟化为\(\frac{1}{6}\)小时，导致结果错误）；等量关系找错：如工程问题中误将 “甲工作效率 + 乙工作效率 = 总效率” 当作等量关系，忽略工作时间的差异；未知数设错或漏设：如销售问题中设 “售价” 为未知数，却未表示出 “销售量” 与 “利润” 的关系，导致方程无法列出；检验不完整：只进行数学检验（排除增根），忽略实际意义检验（如时间为负、人数为小数等不符合实际的情况）；作答不规范：未根据题目问题回答，如例 1 中求 “还需要多少天”，却只求出\(x = 4.2\)，未用完整语言作答。规避方法：审题时圈出单位，若单位不统一，先根据公式统一单位（如速度用 “km/h”，时间用 “小时”）；列方程前，用文字清晰写出等量关系（如 “甲总工作量 + 乙总工作量 = 1”），再对照等量关系列方程；设未知数后，用含未知数的代数式逐一表示出题目中的所有关键量（如效率、时间、利润、销售量），确保逻辑连贯；检验时遵循 “先数学检验，再实际检验” 的顺序，对不符合实际的解直接舍去；作答前回看题目问题，确保回答与问题一致，语言简洁、完整。幻灯片 9：课堂小结核心知识：三大常见题型：工程问题（总量 = 效率 × 时间）、行程问题（路程 = 速度 × 时间）、销售问题（利润 = 单件利润 × 数量）；解题关键：准确找到等量关系，根据等量关系列出分式方程，且必须进行 “数学检验” 和 “实际意义检验”；注意事项：单位统一、设元合理、检验完整、作答规范。能力提升：通过解决实际问题，将分式方程与生活场景结合，不仅巩固了分式方程的解法，更培养了 “从实际问题中抽象数学模型” 的能力，为后续学习更复杂的应用问题奠定基础。新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 解分式方程的基本思路是什么？2. 解分式方程有哪几个步骤？3. 验根有哪几种方法？分式方程整式方程转化(去分母)一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？基本上有 4 种：(1) 行程问题：路程 = 速度×时间；(2) 数字问题：在数字问题中十进制数的表示法；(3) 工程问题：工作总量 = 工作时间×工作效率；(4) 销售问题：批发成本 = 批发数量×批发价； 打折售价 = 定价×(折数÷10)； 销售利润 = 销售收入-成本； 利润率 = 利润÷进价(或成本).例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析 如下：等量关系：甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1”设乙单独完成这项工程需要 x 月.列分式方程解决工程问题解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x ≠ 0，故 x = 1 是原方程的根. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？设乙单独完成这项工程需要 x 月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的工作效率之和是 此时方程是：1表格为“3 行 4 列”工程问题1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2. 通常间接设元，如××单独完成需 x (单位时间)，则可表示出其工作效率；3. 弄清基本的数量关系，如本题中的“甲、乙合作的工作效率 = 甲、乙两队工作效率的和”.4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中数量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量； 2 指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”； 1 指该问题中的一个等量关系，如工程问题中的等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量. 1. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时.解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 (x＋3) 小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效 ×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．答：甲单独完成全部工程需 6 小时， 乙单独完成全部工程需 9 小时．解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3)小时.例2 朋友们约着一起开 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？ 0180200列分式方程解决行程问题200180x + 10x分析：设小轿车的速度为 x km/h. 面包车的时间 = 小轿车的时间 等量关系： 列表格如下：解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为 (x + 10) km/h，依题意得 解得 x＝90.经检验，x＝90 是原方程的根，且符合题意.此时，x + 10＝100.答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h.注意两个检验：(1) 是否是所列方程的解；(2) 是否满足实际意义. 1. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 km 的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少 km/h？ 0180200300解：设小轿车提速为 x km/h，依题意得 解得 x＝30.经检验，x＝30 是原方程的根，且满足题意.答：小轿车提速了 30 km/h.行程问题1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别；2. 明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.列分式方程解应用题的一般步骤：1. 审清题意，并设出未知数； 2. 找相等关系；3. 列出方程；4. 解这个分式方程；5. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；6. 作答.其他问题例3 有一并联电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：若已知 R1，R2，求 R.解：方程两边同乘以 RR1R2，得R1R2 = RR2+RR1，因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0 .所以两边同除以(R1+R2) ，得 例4 七（1）、（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知七（1）班每天比七（2）班多种10 棵树.如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是 150 棵和 120 棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？解：设七（2）班每天植树x 棵，则七（1）班 每天植树(x+10)棵.解方程，得x = 40 .经检验，x = 40 是原方程的根.此时 x + 10 = 50 .因而，当七（2）班每天植树 40 棵，七（1）班每天植树 50 棵时，两个班能同时完成任务. 解：由题意，去分母，得 p1V1 = p2V22.小华和姐姐都用计算机输入 1500 个汉字，姐姐的输入速度是小华的 3 倍，结果姐姐比小华少用 20 min 完成，求他们各自打字的速度. 解：设小华打字速度为每分钟 x 个，则姐姐的速度为每分钟 3x 个. 解得 x = 50.姐姐的速度为：50×3 = 150（个/分）.答：小华每分钟可以打字 50 个，姐姐每分钟可以打字 150 个.3.甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产 8 个，甲生产 168 个零件与乙生产 144 个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每小时各生产多少个零件?解：设乙每小时生产 x 个零件，则甲为每小时 x+8 个. 解得：x = 48.甲1小时生产的零件：48 + 8 = 56 (个).答：甲每小时生产 56 个，乙每小时生产 48 个. 解含有参数的分式方程       分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题  高标准高质量推进标志性工程     点亮世界经济6.自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用1 600元采购A型商品的件数是用1 000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元,则一件A型商品的进价为____元.807.“一带一路”科技创新行动计划，促进全球人工智能健康有序安全发展，某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量.  促进文化交流8.明代的《丝路山水地图》在春晚特别节目《国宝回家》中宣布回归祖国.如图,小莉对卷首嘉峪关部分进   9.博物馆已成为“一带一路”倡议下重要的文化使者，为“一带一路”沿线各国构建了文旅合作平台.一学习小组计划到某博物馆参观学习.    分式方程的应用类型行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、销售问题等方法步骤一审二设三找四列五解六验七答321 法必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！