9.3.2分式方程的实际应用（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：9.3.2 分式方程的实际应用学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标能从实际问题中抽象出分式方程，明确列分式方程解应用题的步骤。学会分析实际问题中的等量关系，正确列出分式方程并求解。体会分式方程在解决实际问题中的作用，培养数学建模能力和应用意识。幻灯片 3：教学重难点重点：列分式方程解实际问题的步骤，寻找实际问题中的等量关系。难点：分析复杂问题中的数量关系，建立分式方程模型，验根时需兼顾实际意义。幻灯片 4：复习回顾分式方程的解法步骤：设未知数→列方程→去分母→解整式方程→验根→作答。列方程解应用题的基本步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答。小问题：路程、速度、时间的关系是______；工作总量、工作效率、工作时间的关系是______。（答案：路程 = 速度 × 时间；工作总量 = 工作效率 × 工作时间）幻灯片 5：情境导入问题：为改善生态环境，某村计划在荒坡上种植\(960\)棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种\(20\)棵树，结果提前\(4\)天完成任务。原计划每天种植多少棵树？思考：这个问题涉及哪些量？（工作总量、工作效率、工作时间）哪些量是已知的？哪些量是未知的？（已知：总量\(960\)棵，实际每天比计划多\(20\)棵，提前\(4\)天完成；未知：原计划每天种植棵数）如何表示计划时间和实际时间？（计划时间 = \(\frac{960}{x}\)，实际时间 = \(\frac{960}{x + 20}\)）等量关系是什么？（计划时间 - 实际时间 = \(4\)）通过问题引出分式方程在实际应用中的必要性。幻灯片 6：列分式方程解应用题的步骤步骤详解：审题：仔细阅读题目，明确已知条件和所求问题，分析问题中的数量关系。设元：设未知数（一般设直接未知数，即求什么设什么），用含未知数的代数式表示相关量。列方程：根据题目中的等量关系，列出分式方程。解方程：按照分式方程的解法求解整式方程。检验：验根：将解代入最简公分母，确保分母不为零。验实际意义：检查解是否符合实际问题的背景（如速度不为负，人数为正整数等）。作答：根据检验结果，写出答案。幻灯片 7：例 1 - 行程问题（顺逆流航行）问题：一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流返回甲地，共用\(6\)小时。已知水流速度为\(2\)千米 / 时，轮船在静水中的速度为\(10\)千米 / 时，求甲、乙两地的距离。解：步骤 1：审题，确定已知量和未知量水流速度 = \(2\)千米 / 时，静水速度 = \(10\)千米 / 时，总时间 = \(6\)小时，求距离\(s\)。步骤 2：设元，设甲、乙两地的距离为\(s\)千米。步骤 3：表示相关量顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 = \(10 + 2 = 12\)千米 / 时，顺流时间 = \(\frac{s}{12}\)小时。逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 = \(10 - 2 = 8\)千米 / 时，逆流时间 = \(\frac{s}{8}\)小时。步骤 4：列方程（等量关系：顺流时间 + 逆流时间 = 总时间）\(\frac{s}{12} + \frac{s}{8} = 6\)步骤 5：解方程最简公分母是\(24\)，去分母得\(2s + 3s = 144\)，\(5s = 144\)，解得\(s = 28.8\)。步骤 6：检验验根：\(s = 28.8\)代入公分母不为零。验实际意义：距离为正数，符合实际。步骤 7：作答：甲、乙两地的距离为\(28.8\)千米。幻灯片 8：例 2 - 工程问题（工作效率）问题：一项工程，甲单独做需\(x\)天完成，乙单独做需\(y\)天完成。甲、乙合作\(3\)天后，剩下的工程由乙单独做还需\(5\)天完成，且甲每天比乙多完成这项工程的\(\frac{1}{20}\)。求甲、乙单独完成这项工程各需多少天？解：步骤 1：审题，明确工作总量为单位 “\(1\)”。步骤 2：设元，设甲单独完成需\(x\)天，乙单独完成需\(y\)天，则甲效率为\(\frac{1}{x}\)，乙效率为\(\frac{1}{y}\)。步骤 3：列等量关系等量关系 1：甲效率 - 乙效率 = \(\frac{1}{20}\)，即\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\)。等量关系 2：合作\(3\)天工作量 + 乙单独\(5\)天工作量 = \(1\)，即\(3(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + 5×\frac{1}{y} = 1\)。步骤 4：解方程组化简方程 2：\(3\frac{1}{x} + 8\frac{1}{y} = 1\)。设\(a = \frac{1}{x}\)，\(b = \frac{1}{y}\)，得\(\begin{cases}a - b = \frac{1}{20} \\ 3a + 8b = 1\end{cases}\)，解得\(a = \frac{1}{10}\)，\(b = \frac{1}{20}\)，即\(x = 10\)，\(y = 20\)。步骤 5：检验：\(x = 10\)，\(y = 20\)均为正数，符合实际意义。步骤 6：作答：甲单独完成需\(10\)天，乙单独完成需\(20\)天。幻灯片 9：例 3 - 利润问题（销售单价）问题：某商店销售一种衬衫，四月份的营业额为\(5000\)元。为扩大销售，五月份将每件衬衫按原价的\(8\)折销售，销售量比四月份增加了\(40\)件，营业额比四月份增加了\(600\)元。求四月份每件衬衫的售价。解：步骤 1：审题，已知四月份营业额\(5000\)元，五月份营业额\(5000 + 600 = 5600\)元，五月单价为四月的\(8\)折，销量比四月多\(40\)件。步骤 2：设元，设四月份每件衬衫的售价为\(x\)元，则五月份售价为\(0.8x\)元。步骤 3：表示销量四月份销量 = \(\frac{5000}{x}\)件，五月份销量 = \(\frac{5600}{0.8x}\)件。步骤 4：列方程（等量关系：五月销量 - 四月销量 = \(40\)）\(\frac{5600}{0.8x} - \frac{5000}{x} = 40\)步骤 5：解方程化简得\(\frac{7000}{x} - \frac{5000}{x} = 40\)，\(\frac{2000}{x} = 40\)，解得\(x = 50\)。步骤 6：检验：\(x = 50\)代入公分母不为零，售价为正数，符合实际。步骤 7：作答：四月份每件衬衫的售价为\(50\)元。幻灯片 10：例 4 - 行程问题（追及与相遇）问题：甲、乙两人分别从相距\(36\)千米的\(A\)、\(B\)两地同时出发，相向而行。甲从\(A\)地出发至\(1\)千米时，发现有物品遗忘在\(A\)地，便立即返回，取了物品后又立即从\(A\)地向\(B\)地行进，这样甲、乙两人恰好在\(A\)、\(B\)两地的中点处相遇。已知甲比乙每小时多走\(0.5\)千米，求甲、乙两人的速度。解：步骤 1：审题，中点距离为\(18\)千米，甲多走了\(2\)千米（往返\(1\)千米），总路程甲走了\(18 + 2 = 20\)千米，乙走了\(18\)千米。步骤 2：设元，设乙的速度为\(x\)千米 / 时，则甲的速度为\((x + 0.5)\)千米 / 时。步骤 3：等量关系：甲的时间 = 乙的时间。步骤 4：列方程：\(\frac{20}{x + 0.5} = \frac{18}{x}\)步骤 5：解方程：去分母得\(20x = 18(x + 0.5)\)，\(20x = 18x + 9\)，\(x = 4.5\)，则甲速度为\(5\)千米 / 时。步骤 6：检验：速度为正数，符合实际。步骤 7：作答：甲的速度为\(5\)千米 / 时，乙的速度为\(4.5\)千米 / 时。幻灯片 11：实际应用中的等量关系类型行程问题：相遇问题：路程和 = 总路程，时间相等。追及问题：路程差 = 初始距离，时间相等。顺逆流：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度。工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间，总工作量为单位 “\(1\)”。合作效率 = 各单独效率之和。利润问题：营业额 = 单价 × 销售量，利润 = 售价 - 成本。折扣问题：折后价 = 原价 × 折扣率。浓度问题：浓度 = \(\frac{溶质质量}{溶液质量}×100\%\)，溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。幻灯片 12：列分式方程解应用题的注意事项设未知数时要明确单位，如 “设甲的速度为\(x\)千米 / 时” 而非 “设甲的速度为\(x\)”。寻找等量关系是关键，可通过列表、画线段图等方法分析数量关系。列方程时要确保两边单位统一，代数式意义准确。检验不仅要验根（分母不为零），还要验解是否符合实际意义（如速度、时间、人数等不能为负数或零）。作答时要完整回答问题，包含单位。幻灯片 13：易错点辨析问题 1：某厂计划生产\(180\)台机床，生产\(x\)天后还剩\(60\)台未生产，平均每天生产多少台？错误：设平均每天生产\(y\)台，列方程\(xy = 180\)（未考虑剩余量）。正确：\(xy + 60 = 180\)，即\(xy = 120\)。问题 2：甲比乙多走\(10\)千米，甲速度为\(a\)千米 / 时，乙速度为\(b\)千米 / 时，两人时间相同，列方程\(\frac{s}{a} = \frac{s - 10}{b}\)（\(s\)为甲的路程）。正确：等量关系正确，时间 = 路程 ÷ 速度。问题 3：解应用题后未检验解的实际意义，如求得人数为负数或小数。纠正：必须确保解符合实际背景，如人数为正整数，速度为正数等。幻灯片 14：课堂练习练习 1：某农场原计划在若干天内收割小麦\(960\)公顷，实际每天比原计划多收割\(40\)公顷，结果提前\(4\)天完成任务。原计划每天收割多少公顷？解：设原计划每天收割\(x\)公顷，列方程\(\frac{960}{x} - \frac{960}{x + 40} = 4\)，解得\(x = 80\)（验根后符合题意）。练习 2：甲、乙两地相距\(19\)千米，某人从甲地去乙地，先步行\(7\)千米，然后改骑自行车，共用了\(2\)小时到达乙地。已知骑自行车的速度是步行速度的\(4\)倍，求步行的速度。解：设步行速度为\(x\)千米 / 时，列方程\(\frac{7}{x} + \frac{12}{4x} = 2\)，解得\(x = 5\)（验根后符合题意）。幻灯片 15：拓展问题（含多个未知量）问题：某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以\(60\)千米 / 时的速度走平路，后又以\(30\)千米 / 时的速度爬坡，共用了\(6.5\)小时；返回时，汽车以\(40\)千米 / 时的速度下坡，又以\(50\)千米 / 时的速度走平路，共用了\(6\)小时。求平路和坡路的长度。解：设平路长\(x\)千米，坡路长\(y\)千米。列方程组：\(\begin{cases}\frac{x}{60} + \frac{y}{30} = 6.5 \\ \frac{x}{50} + \frac{y}{40} = 6\end{cases}\)解得\(x = 150\)，\(y = 120\)，验根后符合实际。答：平路长\(150\)千米，坡路长\(120\)千米。幻灯片 16：课堂小结列分式方程解应用题步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验（验根 + 实际意义）→作答。常见等量关系：行程问题：时间 = 路程 ÷ 速度。工程问题：时间 = 工作量 ÷ 工作效率。利润问题：销售量 = 营业额 ÷ 单价。关键技巧：用表格或线段图梳理数量关系，准确找出等量关系，重视检验环节。幻灯片 17：布置作业教材第 160 页习题 A 组第 1，2，3，4 题。思考题：某商店用\(1000\)元购进一批商品，按期望获得相当于进价\(25\%\)的利润来定价，结果只销售了商品总量的\(30\%\)。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本\(100\)元。问商店是按定价打几折销售的？1. 解分式方程的基本思路是什么？2. 解分式方程有哪几个步骤？3. 验根有哪几种方法？分式方程整式方程转化(去分母)一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？基本上有 4 种：(1) 行程问题：路程 = 速度×时间；(2) 数字问题：在数字问题中十进制数的表示法；(3) 工程问题：工作总量 = 工作时间×工作效率；(4) 销售问题：批发成本 = 批发数量×批发价； 打折售价 = 定价×(折数÷10)； 销售利润 = 销售收入-成本； 利润率 = 利润÷进价(或成本).例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析 如下：等量关系：甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1”设乙单独完成这项工程需要 x 月.列分式方程解决工程问题解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x ≠ 0，故 x = 1 是原方程的根. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？设乙单独完成这项工程需要 x 月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的工作效率之和是 此时方程是：1表格为“3 行 4 列”工程问题1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2. 通常间接设元，如××单独完成需 x (单位时间)，则可表示出其工作效率；3. 弄清基本的数量关系，如本题中的“甲、乙合作的工作效率 = 甲、乙两队工作效率的和”.4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中数量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量； 2 指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”； 1 指该问题中的一个等量关系，如工程问题中的等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量. 1. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时.解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 (x＋3) 小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效 ×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．答：甲单独完成全部工程需 6 小时， 乙单独完成全部工程需 9 小时．解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3)小时.例2 朋友们约着一起开 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？ 0180200列分式方程解决行程问题200180x + 10x分析：设小轿车的速度为 x km/h. 面包车的时间 = 小轿车的时间 等量关系： 列表格如下：解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为 (x + 10) km/h，依题意得 解得 x＝90.经检验，x＝90 是原方程的根，且符合题意.此时，x + 10＝100.答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h.注意两个检验：(1) 是否是所列方程的解；(2) 是否满足实际意义. 1. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 km 的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少 km/h？ 0180200300解：设小轿车提速为 x km/h，依题意得 解得 x＝30.经检验，x＝30 是原方程的根，且满足题意.答：小轿车提速了 30 km/h.行程问题1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别；2. 明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.列分式方程解应用题的一般步骤：1. 审清题意，并设出未知数； 2. 找相等关系；3. 列出方程；4. 解这个分式方程；5. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；6. 作答.其他问题例3 有一并联电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：若已知 R1，R2，求 R.解：方程两边同乘以 RR1R2，得R1R2 = RR2+RR1，因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0 .所以两边同除以(R1+R2) ，得 例4 七（1）、（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知七（1）班每天比七（2）班多种10 棵树.如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是 150 棵和 120 棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？解：设七（2）班每天植树x 棵，则七（1）班 每天植树(x+10)棵.解方程，得x = 40 .经检验，x = 40 是原方程的根.此时 x + 10 = 50 .因而，当七（2）班每天植树 40 棵，七（1）班每天植树 50 棵时，两个班能同时完成任务. 解：由题意，去分母，得 p1V1 = p2V22.小华和姐姐都用计算机输入 1500 个汉字，姐姐的输入速度是小华的 3 倍，结果姐姐比小华少用 20 min 完成，求他们各自打字的速度. 解：设小华打字速度为每分钟 x 个，则姐姐的速度为每分钟 3x 个. 解得 x = 50.姐姐的速度为：50×3 = 150（个/分）.答：小华每分钟可以打字 50 个，姐姐每分钟可以打字 150 个.3.甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产 8 个，甲生产 168 个零件与乙生产 144 个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每小时各生产多少个零件?解：设乙每小时生产 x 个零件，则甲为每小时 x+8 个. 解得：x = 48.甲1小时生产的零件：48 + 8 = 56 (个).答：甲每小时生产 56 个，乙每小时生产 48 个. 解含有参数的分式方程       分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题  高标准高质量推进标志性工程     点亮世界经济6.自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用1 600元采购A型商品的件数是用1 000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元,则一件A型商品的进价为____元.807.“一带一路”科技创新行动计划，促进全球人工智能健康有序安全发展，某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量.  促进文化交流8.明代的《丝路山水地图》在春晚特别节目《国宝回家》中宣布回归祖国.如图,小莉对卷首嘉峪关部分进   9.博物馆已成为“一带一路”倡议下重要的文化使者，为“一带一路”沿线各国构建了文旅合作平台.一学习小组计划到某博物馆参观学习.    分式方程的应用类型行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、销售问题等方法步骤一审二设三找四列五解六验七答321 法阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086