6.3.2 角的比较与运算（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

6.3.2 角的比较与运算角的比较与运算是角的概念的延伸，是几何计算和推理的重要基础。如同线段的比较与运算帮助我们理解线段的长短关系一样，角的比较与运算能让我们准确把握角的大小关系，解决与角相关的实际问题和几何问题。一、角的比较方法角的比较方法与线段的比较方法类似，主要有度量法和叠合法两种，通过这些方法可以判断两个角的大小关系（相等、一个角大于另一个角或一个角小于另一个角）。（一）度量法度量法是通过测量角的度数，再比较度数大小的方法，是最直接的角的比较方法。操作步骤：准备一个量角器，确保量角器的中心与角的顶点对齐，量角器的零刻度线与角的一条边（始边）重合。观察角的另一条边（终边）所对应的量角器刻度，这个刻度值就是该角的度数。注意区分量角器的内圈刻度和外圈刻度，确保读数准确（与零刻度线同方向的刻度为正确刻度）。用同样的方法测量另一个角的度数。比较两个角的度数大小：度数大的角大，度数小的角小，度数相等则两个角相等。实例说明：测量\(\angle A\)的度数为\(50^\circ\)，\(\angle B\)的度数为\(70^\circ\)，因为\(50 < 70\)，所以\(\angle A < \angle B\)；若\(\angle C\)的度数也为\(50^\circ\)，则\(\angle A = \angle C\)。注意事项：测量时量角器的中心必须与角的顶点完全重合，零刻度线必须与角的一边完全重合，否则会导致测量误差。读数时视线要与量角器刻度线垂直，避免因视角偏差导致读数错误。（二）叠合法叠合法是通过将两个角的顶点和一条边重合，观察另一条边的位置关系来比较角的大小的方法，是几何中常用的直观比较方法。操作步骤：确定两个要比较的角，设为\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)。将两个角的顶点重合，即让点\(O\)与点\(O'\)重合（假设\(\angle COD\)的顶点为\(O'\)）。将两个角的一条边重合，例如让\(OA\)与\(O'C\)重合，并且使两个角的另一条边（\(OB\)和\(O'D\)）落在重合边的同侧。观察另一条边的位置：若\(OB\)与\(O'D\)重合，则\(\angle AOB = \angle COD\)。若\(OB\)落在\(\angle COD\)的内部，则\(\angle AOB < \angle COD\)。若\(OB\)落在\(\angle COD\)的外部，则\(\angle AOB > \angle COD\)。实例说明：用叠合法比较\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)，将顶点\(O\)与\(O'\)重合，\(OA\)与\(O'C\)重合，且\(OB\)和\(O'D\)在同侧。若\(OB\)在\(\angle COD\)内部，则\(\angle AOB < \angle COD\)；若\(OB\)与\(O'D\)重合，则两角相等；若\(OB\)在外部，则\(\angle AOB > \angle COD\)。注意事项：叠合时必须保证两个角的顶点重合、一条边重合，且另一条边在重合边的同侧，否则无法正确判断大小关系。对于抽象的角或无法实际叠合的角，可通过画图进行虚拟叠合，在脑海中构建叠合后的图形进行判断。二、角的运算角的运算主要包括和运算、差运算、倍运算和分运算，与线段的运算类似，但角的运算单位是度、分、秒（\(1^\circ = 60'\)，\(1' = 60''\)），运算时需注意单位的换算。（一）角的和运算定义：两个或多个角的度数之和，称为这些角的和。若\(\angle AOB = \alpha\)，\(\angle BOC = \beta\)，且\(OB\)是\(\angle AOC\)的公共边，则\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \beta\)。作图方法：作一个角等于两个角的和。已知\(\angle 1\)和\(\angle 2\)，求作\(\angle AOB = \angle 1 + \angle 2\)。步骤：① 作射线\(OA\)；② 以\(OA\)为一边，作\(\angle AOC = \angle 1\)；③ 以\(OC\)为一边，在\(\angle AOC\)的外部作\(\angle COB = \angle 2\)；④ 则\(\angle AOB\)即为所求，\(\angle AOB = \angle 1 + \angle 2\)。实例说明：已知\(\angle AOB = 30^\circ\)，\(\angle BOC = 40^\circ\)，且\(A\)、\(O\)、\(C\)三点在\(OB\)的两侧（形成一个大角），则\(\angle AOC = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ\)。（二）角的差运算定义：两个角的度数之差，称为这两个角的差（假设被减角大于减角）。若\(\angle AOC = \gamma\)，\(\angle AOB = \alpha\)，且\(OB\)在\(\angle AOC\)内部，则\(\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = \gamma - \alpha\)。作图方法：作一个角等于两个角的差（假设\(\angle 1 > \angle 2\)）。已知\(\angle 1\)和\(\angle 2\)（\(\angle 1 > \angle 2\)），求作\(\angle AOB = \angle 1 - \angle 2\)。步骤：① 作射线\(OA\)；② 以\(OA\)为一边，作\(\angle AOC = \angle 1\)；③ 以\(OC\)为一边，在\(\angle AOC\)的内部作\(\angle COB = \angle 2\)；④ 则\(\angle AOB\)即为所求，\(\angle AOB = \angle 1 - \angle 2\)。实例说明：已知\(\angle AOC = 90^\circ\)，\(\angle AOB = 30^\circ\)，且\(OB\)在\(\angle AOC\)内部，则\(\angle BOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)。（三）角的倍分运算倍运算：一个角的度数扩大若干倍后得到的新角的度数，称为该角的倍。若\(\angle AOB = \alpha\)，则\(n\)倍的\(\angle AOB\)度数为\(n×\alpha\)（\(n\)为正整数）。例如，\(\angle AOB = 25^\circ\)，则\(3\)倍的\(\angle AOB\)为\(3×25^\circ = 75^\circ\)。分运算：将一个角按照一定比例分成若干部分，最常见的是将角二等分（即分成相等的两部分），对应的射线称为角的平分线。角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，则\(\angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2}\angle AOB\)，或\(\angle AOB = 2\angle AOC = 2\angle COB\)。作图方法：用尺规作角的平分线。步骤：① 以角的顶点\(O\)为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边\(OA\)、\(OB\)于点\(M\)、\(N\)；② 分别以点\(M\)、\(N\)为圆心，大于\(\frac{1}{2}MN\)的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点\(C\)；③ 画射线\(OC\)，则\(OC\)就是\(\angle AOB\)的平分线。三、角的运算实例（一）利用角平分线进行计算角平分线将角分成相等的两部分，是角的分运算的重要应用，许多角的计算问题都可以通过角平分线简化。例 1：已知\(\angle AOB = 100^\circ\)，\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，求\(\angle BOD\)的度数。解：因为\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，所以\(\angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}×100^\circ = 50^\circ\)。因为\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，所以\(\angle AOD = \angle DOC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2}×50^\circ = 25^\circ\)。因此，\(\angle BOD = \angle COB + \angle DOC = 50^\circ + 25^\circ = 75^\circ\)。答：\(\angle BOD\)的度数为\(75^\circ\)。（二）角的和差倍分综合运算例 2：一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角的度数（注：若两个角的和为\(180^\circ\)，则这两个角互为补角；若两个角的和为\(90^\circ\)，则这两个角互为余角）。解：设这个角的度数为\(x\)，则它的补角为\((180^\circ - x)\)，余角为\((90^\circ - x)\)。根据题意列方程：\(180^\circ - x = 4×(90^\circ - x)\)，去括号得：\(180^\circ - x = 360^\circ - 4x\)，移项得：\(-x + 4x = 360^\circ - 180^\circ\)，合并同类项得：\(3x = 180^\circ\)，解得：\(x = 60^\circ\)。答：这个角的度数为\(60^\circ\)。（三）含单位换算的角的运算角的单位有度（\(^\circ\)）、分（\('\)）、秒（\(''\)），它们之间的换算关系为\(1^\circ = 60'\)，\(1' = 60''\)，运算时需注意单位统一。例 3：计算\(35^\circ 24' + 64^\circ 45'\)和\(90^\circ - 23^\circ 32'\)。解：\(35^\circ 24' + 64^\circ 45' = (35^\circ + 64^\circ) + (24' + 45') = 99^\circ 69'\)，因为\(69' = 1^\circ 9'\)，所以\(99^\circ 69' = 100^\circ 9'\)。\(90^\circ - 23^\circ 32' = 89^\circ 60' - 23^\circ 32' = (89^\circ - 23^\circ) + (60' - 32') = 66^\circ 28'\)。答：\(35^\circ 24' + 64^\circ 45' = 100^\circ 9'\)，\(90^\circ - 23^\circ 32' = 66^\circ 28'\)。四、角的比较与运算的实际应用角的比较与运算在生活和生产中有着广泛的应用：工程测量：在建筑、桥梁等工程测量中，需要精确测量和计算角的度数，确保结构的稳定性和准确性。例如，测量两个墙体之间的夹角，判断是否符合设计的直角要求。钟表问题：钟表上的时针和分针的夹角计算是角的运算的典型应用。例如，计算 4 点 15 分时，时针和分针的夹角（分针每分钟转\(6^\circ\)，时针每小时转\(30^\circ\)，每分钟转\(0.5^\circ\)）。机械制造：机械零件的角度加工需要严格的角的运算，例如齿轮的齿形角度、零件的倾斜角度等，都需要通过角的测量和计算来保证精度。地图绘制：在地图绘制中，需要根据经纬度计算两地之间的角度关系，确定方向和距离。五、常见错误与注意事项度量时量角器使用不当：量角器中心未与顶点重合或零刻度线未与角的一边重合，导致测量度数错误，进而影响角的比较和运算结果。角的单位换算错误：忽略度、分、秒之间的六十进制关系，误按十进制换算（如认为\(1^\circ = 100'\)），导致运算错误。例如，将\(30^\circ 40'\)误算为\(30.4^\circ\)（正确应为\(30 + 40÷60 ≈ 30.67^\circ\)）。角平分线概念理解偏差：错误地认为角平分线是线段或直线，实际上角平分线是从角的顶点出发的射线。忽略角的位置关系：在进行角的和差运算时，未明确角的边的位置关系，导致运算错误。例如，计算\(\angle AOC\)时，未考虑\(OB\)是否在\(\angle AOC\)内部，直接相加或相减。补角和余角概念混淆：混淆补角（和为\(180^\circ\)）和余角（和为\(90^\circ\)）的定义，导致列方程错误。角的比较与运算是几何学习的重要内容，通过掌握度量法和叠合法进行角的比较，以及角的和、差、倍、分运算，特别是角平分线的应用，我们能够解决各类与角相关的问题。在学习过程中，要注重理论与实践相结合，通过多练习、多思考，熟练掌握角的运算技巧，培养几何直观和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的几何知识奠定基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的加与减、角平分线，体会类比等思维方式.2.理解角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述.3.利用已有知识解决新问题，培养数感.角的表示方法：①大写英文字母②小写希腊字母③数字∠AOB或∠BOA∠α∠1回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？方法一：目测法方法二：度量法方法三：叠合法想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？方法一：目测法∠AOB＞∠A'O'B'如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？推进新课方法二：度量法∠AOB＞∠A'O'B'70°40°如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？方法三：叠合法将两个角的顶点重合，把它们一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？∠AOB＞∠A'O'B'∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'①OʹBʹ在∠AOB内部②OʹBʹ在∠AOB外部③OʹBʹ与OB重合两个角的三种大小关系：∠AOB＞∠A'O'B'∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'大于小于等于思考：类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；∠BOC是∠AOC与∠AOB的差，记作∠BOC=∠AOC－∠AOB.探究：借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出那些度数的角？90°90°60°30°45°45°画75°的角75°画15°的角75°= 45°+30°15°= 60°-45°15°= 45°-30°15°15°120°105°135°150°用类似的方法，小明同学画出了其它度数的角， 你知道他画出来的是多少度数的角吗？加法：①度与度、分与分、秒与秒分别相加；②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.减法：①度与度、分与分、秒与秒分别相减；②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60.例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.分析：AB是直线∠AOB=180°∠AOB=∠AOC（已知）+∠BOC即可得∠BOC的度数例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以∠BOC =∠AOB-∠AOC =180°-53°17′ =126°43′.先将180°化为179°60′再进行减法运算乘法：①度、分、秒分别与倍数相乘；②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.除法：①度、分、秒分别与除数相除；②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化.例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 360°÷7= 51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′解：答：每份是约51°26′的角.线段中点的定义：点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点.思考：类比线段的中点，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间有怎样的关系？角平分线的定义： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.几何语言：所以OB平分∠AOC.（角的平分线的定义）角平分线的性质：因为OB平分∠AOC，∠AOC＝2∠1＝2∠2.注意：角平分线满足的三个条件①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分.类似地，还有角的三等分线、四等分线等.因为射线OB，OC是∠AOD的三等分线，三等分线：因为射线OB，OC，OD是∠AOE的四等分线，四等分线：探究：如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？4.按图填空.（1）∠AOB+∠BOC= _______；（2）∠AOC+∠COD= _______；（3）∠BOD-∠COD= _______；（4）∠AOD-_______=∠AOB.【选自教材P174 练习 第2题】3.填空题.（1）如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3；（2）如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_____∠3.【选自教材P174 练习 第1题】=＞∠AOC∠AOD∠BOC∠BOD5.计算：（1）48°39′+67°31′ （2）41°12′-11°27′（3）21°17′×5 （4）180°÷11（精确到分）解： 48°39′+67°31′ =115°70′ =116°10′解： 41°12′-11°27′ =40°72′-11°27′ =29°45′解： 21°17′×5 =21°×5+17′×5 =105°+85′ =106°25′解： 180°÷11 ≈16°22′【选自教材P174 练习 第3题】【选自教材P176 练习 第3题】6. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？解：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是 45°；要使每份中的角是 15°，这个蛋糕应等分成 24 份.【选自教材P175 练习 第1题】7. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数.【选自教材P176 练习 第2题】（第1题） C  返回 A   返回（第3题） B  返回4. 用一副三角尺可以画一些指定度数的角.下面的角中，不能用一副三角尺直接画出的是( )C  返回  （第5题）   返回角的比较与运算两个角的三种大小关系角度的四则运算角的和、差角的平分线大于、小于、相等加、减、乘、除角平分线的定义与性质角的三等分线、角的四等分线必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！