6.3.3 余角和补角（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

6.3.3 余角和补角余角和补角是角的关系中两种重要的特殊情况，它们揭示了角与角之间的数量关系，在几何计算、推理以及实际生活中都有着广泛的应用。理解余角和补角的定义、性质，并能灵活运用它们解决问题，是几何学习的重要内容。一、余角和补角的定义（一）余角如果两个角的和等于\(90^\circ\)（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。数学表达：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ\)，则\(\angle \alpha\)与\(\angle \beta\)互为余角，即\(\angle \alpha\)是\(\angle \beta\)的余角，\(\angle \beta\)也是\(\angle \alpha\)的余角。实例说明：\(\angle 1 = 30^\circ\)，\(\angle 2 = 60^\circ\)，因为\(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\)，所以\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为余角；\(\angle A = 45^\circ\)，则它的余角为\(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)，即\(\angle A\)与自身的余角相等（此时\(\angle A\)为\(45^\circ\)）。（二）补角如果两个角的和等于\(180^\circ\)（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。数学表达：若\(\angle \gamma + \angle \delta = 180^\circ\)，则\(\angle \gamma\)与\(\angle \delta\)互为补角，即\(\angle \gamma\)是\(\angle \delta\)的补角，\(\angle \delta\)也是\(\angle \gamma\)的补角。实例说明：\(\angle 3 = 120^\circ\)，\(\angle 4 = 60^\circ\)，因为\(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\)，所以\(\angle 3\)与\(\angle 4\)互为补角；\(\angle B = 100^\circ\)，则它的补角为\(180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)。（三）定义要点余角和补角是两个角之间的关系，不能单独说某个角是余角或补角，必须强调 “互为”。互为余角的两个角的和是\(90^\circ\)，互为补角的两个角的和是\(180^\circ\)，这是判断两个角是否互余或互补的唯一标准。角的度数范围：互为余角的两个角都是锐角（度数大于\(0^\circ\)且小于\(90^\circ\)）；互为补角的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角（\(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)）。二、余角和补角的性质余角和补角具有以下重要性质，这些性质是解决角的计算和推理问题的关键依据。（一）余角的性质同角或等角的余角相等。同角的余角相等：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ\)，\(\angle \alpha + \angle \gamma = 90^\circ\)，则\(\angle \beta = \angle \gamma\)。例如，\(\angle \alpha = 30^\circ\)，则它的余角\(\angle \beta = 60^\circ\)，\(\angle \gamma = 60^\circ\)，所以\(\angle \beta = \angle \gamma\)。等角的余角相等：若\(\angle \alpha = \angle \beta\)，且\(\angle \alpha + \angle \gamma = 90^\circ\)，\(\angle \beta + \angle \delta = 90^\circ\)，则\(\angle \gamma = \angle \delta\)。例如，\(\angle \alpha = \angle \beta = 40^\circ\)，则\(\angle \gamma = 50^\circ\)，\(\angle \delta = 50^\circ\)，所以\(\angle \gamma = \angle \delta\)。（二）补角的性质同角或等角的补角相等。同角的补角相等：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ\)，\(\angle \alpha + \angle \gamma = 180^\circ\)，则\(\angle \beta = \angle \gamma\)。例如，\(\angle \alpha = 110^\circ\)，则它的补角\(\angle \beta = 70^\circ\)，\(\angle \gamma = 70^\circ\)，所以\(\angle \beta = \angle \gamma\)。等角的补角相等：若\(\angle \alpha = \angle \beta\)，且\(\angle \alpha + \angle \gamma = 180^\circ\)，\(\angle \beta + \angle \delta = 180^\circ\)，则\(\angle \gamma = \angle \delta\)。例如，\(\angle \alpha = \angle \beta = 80^\circ\)，则\(\angle \gamma = 100^\circ\)，\(\angle \delta = 100^\circ\)，所以\(\angle \gamma = \angle \delta\)。（三）性质应用余角和补角的性质可以简化角的计算和推理过程。例如，在几何图形中，若两个角都是同一个角的余角（或补角），则可以直接得出这两个角相等，无需重新计算度数。三、余角和补角的计算（一）基本计算已知一个角的度数，求它的余角或补角，只需用\(90^\circ\)或\(180^\circ\)减去这个角的度数。若已知\(\angle \alpha = x\)，则它的余角为\(90^\circ - x\)，补角为\(180^\circ - x\)。例 1：已知\(\angle A = 55^\circ\)，求它的余角和补角的度数。解：\(\angle A\)的余角 = \(90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\)；\(\angle A\)的补角 = \(180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)。答：\(\angle A\)的余角是\(35^\circ\)，补角是\(125^\circ\)。（二）含未知数的计算当已知角的余角或补角的关系时，可以通过设未知数建立方程求解。例 2：一个角的补角比它的余角的 3 倍大\(10^\circ\)，求这个角的度数。解：设这个角的度数为\(x\)，则它的余角为\((90^\circ - x)\)，补角为\((180^\circ - x)\)。根据题意列方程：\(180^\circ - x = 3×(90^\circ - x) + 10^\circ\)，去括号得：\(180^\circ - x = 270^\circ - 3x + 10^\circ\)，移项得：\(-x + 3x = 270^\circ + 10^\circ - 180^\circ\)，合并同类项得：\(2x = 100^\circ\)，解得：\(x = 50^\circ\)。答：这个角的度数为\(50^\circ\)。（三）余角与补角的关系同一个角的补角比它的余角大\(90^\circ\)。推导：设一个角为\(x\)，则它的补角为\(180^\circ - x\)，余角为\(90^\circ - x\)，补角与余角的差为\((180^\circ - x) - (90^\circ - x) = 90^\circ\)。例 3：已知一个角的余角是\(35^\circ\)，求这个角的补角的度数。解：方法 1：这个角的度数为\(90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)，则它的补角为\(180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)。方法 2：根据补角比余角大\(90^\circ\)，则补角 = 余角 + \(90^\circ = 35^\circ + 90^\circ = 125^\circ\)。答：这个角的补角是\(125^\circ\)。四、余角和补角的实际应用余角和补角的概念在生活和生产中有着广泛的应用，以下是几个典型实例：（一）工程测量在建筑施工中，经常需要测量直角（\(90^\circ\)）或平角（\(180^\circ\)），利用余角和补角的关系可以验证测量的准确性。例如，若测得一个角为\(30^\circ\)，则它的余角应为\(60^\circ\)，通过测量另一个角是否为\(60^\circ\)，可以判断两个角是否构成直角。（二）钟表问题钟表上的时针和分针在特定时刻形成的角，其补角或余角可以帮助我们计算其他时刻的角度。例如，3 点整时，时针和分针的夹角是\(90^\circ\)（直角），此时它们互为余角；6 点整时，时针和分针的夹角是\(180^\circ\)（平角），此时它们互为补角。（三）方向角问题在航海、航空等领域，方向角的描述常涉及余角和补角。例如，北偏东\(30^\circ\)与北偏西\(60^\circ\)的两个方向所成的角互为余角，因为\(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\)；南偏东\(40^\circ\)与北偏西\(140^\circ\)（实际为反向延长线）的两个方向所成的角互为补角。五、常见错误与注意事项概念混淆：混淆余角和补角的定义，误将余角的和当作\(180^\circ\)，补角的和当作\(90^\circ\)，导致计算错误。例如，求\(60^\circ\)角的余角时，错误地计算为\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)（正确应为\(30^\circ\)）。忽略 “互为” 关系：单独说 “\(30^\circ\)的角是余角”，这种表述是错误的，余角和补角必须是两个角之间的相互关系。角度范围错误：认为钝角（大于\(90^\circ\)小于\(180^\circ\)）有余角，实际上钝角的度数大于\(90^\circ\)，无法与其他角的和为\(90^\circ\)，因此钝角没有余角；同样，锐角（小于\(90^\circ\)）的补角一定是钝角。性质应用错误：在应用 “同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等” 时，未明确 “同角” 或 “等角” 的条件，错误地得出角相等的结论。单位换算错误：在涉及度、分、秒的余角或补角计算时，未正确进行单位换算。例如，计算\(35^\circ 20'\)的余角时，错误地计算为\(90^\circ - 35^\circ 20' = 55^\circ 20'\)（正确应为\(54^\circ 40'\)，因为\(90^\circ = 89^\circ 60'\)）。六、知识总结与拓展余角和补角是基于角的和为特殊度数（\(90^\circ\)和\(180^\circ\)）定义的角的关系，其核心要点如下：定义：互余（和为\(90^\circ\)），互补（和为\(180^\circ\)），强调 “互为” 关系。性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，这是角的推理的重要依据。计算：已知角求余角或补角用减法；已知余角或补角的关系，通过设未知数建立方程求解。在学习过程中，要通过实例理解余角和补角的概念，通过练习掌握性质的应用，特别注意区分余角和补角的定义，避免概念混淆。余角和补角的知识不仅是几何计算的基础，也是培养逻辑推理能力的重要载体，为后续学习三角形、四边形等图形的性质奠定基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质.你能说说图中角的和差关系吗？∠AOC=∠AOB+_______∠AOB=∠AOC-_______∠BOC=∠AOC-_______∠BOC∠BOC∠AOB推进新课探究1：图中∠A与∠B有怎样的数量关系？∠A+∠B=90°探究2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.1.∠1与∠2有什么数量关系？∠1+∠2=90°2.∠3与∠4有什么数量关系？∠3+∠4=180°余角的概念如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.∠1和∠2互为余角∠1+∠2=90°（∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1 ）补角的概念如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.∠3和∠4互为补角∠3+∠4=180°（∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ）注意：(1)余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关,且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角.(2)若两个角互余,则这两个角一定都是锐角;若两个角互补，则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角.思考1：如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？解：因为∠1与∠2互为余角，所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠1与∠3互为余角， 所以∠3＝ 90°-∠1，根据等式的性质，∠2=∠3.同角的余角相等思考2：已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：因为∠1与∠2互为余角，所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠3与∠4互为余角， 所以∠4＝ 90°-∠3，因为∠1=∠3根据等式的性质，∠2=∠4.等角的余角相等思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？解：因为∠1与∠2互为补角，所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠1与∠3互为补角， 所以∠3＝ 180°-∠1，根据等式的性质，∠2=∠3.同角的补角相等解：因为∠1与∠2互为补角，所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠3与∠4互为补角， 所以∠4＝ 180°-∠3，因为∠1=∠3根据等式的性质，∠2=∠4.思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等角的补角相等归纳：同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2＝∠3；②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2＝∠3；②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？分析：找90°点A，O，B在同一直线上平角180°角平分线两个角互为余角解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OC分别平分∠AOC和∠BOC，所以所以，∠COD和∠COE互为余角.同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.3.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？【选自教材P177 练习 第1题】解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°.【选自教材P177 练习 第2题】4. 一个角是70°39'，求它的余角和补角.解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′.5. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.所以∠α是 45°【选自教材P177 练习 第3题】6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，而∠AOB与∠BOC互为补角，故∠AOB=180°-∠BOC【选自教材P177 练习 第4题】习题6.31.图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来.解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC.2.判断题.（1）两条射线组成的图形叫作角；（2）平角是一条直线；（3）互补且相等的两个角都是直角；（4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°；（5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°.×××√√3.填空题.（1）0.4°=_______′；（2）12″=______′；（3）57°31′+17°39′=______°______′；（4）25°36′×4=______°______′；（5）46.8°÷6=_____°=______°______′240.27510102247.87484.一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？解:这个角的余角是 60°.5.按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：（1）北偏西30°；（2）南偏东75°；（3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）.解：如图所示（1）射线 OA；（2）射线 OB；（3）射线 OC；（4）射线 OD.6.（1）时钟的时针1h旋转多少度？（2）时钟的分针1min旋转多少度？（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？解：（1）30°；（2）6°；（3）47.5°.7.如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由.解：∠AOB=∠COD.理由如下:因为∠AOC=∠BOD，所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，即∠AOB=∠COD.8.如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC.求∠AOB 的度数.解：因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70°因为 OC平分∠AOB，所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°.综合运用9.已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数.解：当 OC 在∠AOB 内部时，如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-32°=38°；当OC在∠AOB 外部时，如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102°综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°.10.如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，根据图形填空：（1）∠AOB= ∠AOC+_______；（2）∠COD=_______= _______；（3）∠DOE=_______+______= ______；（4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°；若∠AOB=n°，则∠DOE =______°.∠BOC∠AOD∠COE∠COD∠AOC∠AOB12011.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？解：在第（1）种摆放方式中∠α与∠β互余，在第（4）种摆放方式中∠α与∠β 互补，在第（2）（3）种摆放方式中∠α与∠β相等.12.如图，一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？解：因为有 24 个齿，所以这个夹角是 360°÷24=15°；如果是 22 个齿，那么这个夹角是 360°÷22≈16°22′.13.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向上有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上.试在图中确定这艘船的位置.解：如图，点P位置即为这艘船的位置.拓广探索14.画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？解：画图略.这些四边形中另一角的度数均为135°，可以的规律：四边形的内角和为360°.15.（1）如图（1），射线 AD，BE，CF 构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3的度数，并计算∠1十∠2+∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？解：（1）图（1）中，∠1+∠2+∠3= 360°，画图略，可以发现类似的这样三个角的和均为360°；（2）类似地，量出图（2）中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，计算∠1+∠2+∠3+∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？解：（2）图（2）中，∠1+∠2+∠3+∠4= 360° ，画图略，可以发现类似的这样四个角的和也均为360°.（3）猜想：多边形的外角和都是360°.同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等∠1+∠2=90°∠3+∠4=180°必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！