2026年春北师大八年级数学下册 第四章 因式分解 学情评估卷（含答案）

这是一份2026年春北师大八年级数学下册 第四章 因式分解 学情评估卷（含答案），共10页。
第四章　学情评估卷 限时: 90分钟 满分: 120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是(　　) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－1＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x))) 2．下列各式因式分解正确的是(　　) A．2n2－nm－n＝2n(n－m－1) B．－ab2＋2ab－3b＝－b(ab－2a－3) C．x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2 D．a2－a－2＝a(a－1)－2 3．多项式3a2b3c2＋4a5b2＋6a3bc2的各项公因式是(　　) A．a2bc B．12a5b3c2 C．12a2bc D．a2b 4．在式子①－x2－y2；②－eq \f(1,4)a2b2＋1；③a2＋ab＋b2；④－x2＋2x－y2；⑤eq \f(1,4)－mn＋m2n2中，能用公式法分解因式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，将长方形ABCD分成四个面积分别为ac，cd，ab，bd的小长方形，则AB的长为(　　) A．a＋b B．b＋c C．c＋d D．a＋d 6．已知a－b＝2，则a2－b2－4b的值为(　　) A．5 B．4 C．2 D．1 7．一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－1，3，x2＋1，a，x＋1，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　) A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国 8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形　 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”。下列数中为“幸福数”的是(　　) A．285 B．330 C．512 D．582 10．对于任意整数a(a>0)，多项式(3a＋5)2－4都能(　　) A．被9整除 B．被a整除 C．被a＋1整除 D．被a－1整除 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．因式分解：2x2－8x＋8＝________。 12．请写出一个能进行因式分解的多项式及其因式分解的结果：______________ (要求第一步先提公因式，第二步能运用公式法因式分解)。 13．如图，长、宽分别为a、b的长方形周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为________。 14．若m，n为常数，多项式x2＋mx＋n可因式分解为(x－1)(x＋2)，则(m＋n)2 026的值为________。 15．若多项式x2－(m－1)x＋16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为________。 16．已知a2＋b2－4a－2b＋5＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的底边长为________。 三、解答题(本大题共6小题，共66分。解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)把下列各式因式分解： (1)4x2－64; (2)a3＋2a2b＋ab2； (3)(a－b)2－2(b－a)＋1; (4)x2－2xy＋y2－16z2。 18．(6分)已知n是整数，则奇数可以用代数式2n＋1来表示。 (1)因式分解：(2n＋1)2－1； (2)我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，试说明所有“白银数”都能被4整除。 19．(12分)用简便方法计算： (1)9992＋999; (2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.271 8； (3)999.92－0.12; (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,36)))eq \s\up12(2)。 20．(12分)因式分解：(x＋3y)2－2(x2－9y2)。 小刚的解题过程如下： 　(x＋3y)2－2(x2－9y2) ＝(x＋3y)2－2(x＋3y)(x－3y)……第一步 ＝(x＋3y)(x＋3y－2x－6y)……第二步 ＝(x＋3y)(－x－3y)……第三步 (1)请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是________________(写出用字母a，b表示的乘法公式)； (2)小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第________步开始出现错误，原因是_________________________________________________________________； (3)请用小刚的思路给出这道题的正确解法。 21．(12分)(1)如图①，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形(如图②)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是______________________。 (2)52－32＝(5＋3)×(5－3)＝8×2； 112－52＝(11＋5)×(11－5)＝16×6＝8×12； 152－32＝(15＋3)×(15－3)＝18×12＝8×27； 192－72＝(19＋7)×(19－7)＝26×12＝8×39。 根据上面四个算式，请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式。 (3)用文字描述(2)中算式的规律，并证明这个规律的正确性。 22．(12分)阅读下列材料：我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，即将多项式x2＋bx＋c(b，c为常数)写成(x＋h)2＋k(h，k为常数)的形式。配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值等问题。 例1：因式分解：x2＋2x－3。 解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)。 例2：求代数式x2－2x－5的最小值。 解：原式＝(x2－2x＋1)－1－5＝(x－1)2－6， ∵(x－1)2≥0，∴当x＝1时，代数式x2－2x－5有最小值，最小值是－6。 请根据上述材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：x2－6x－16； (2)求多项式y2＋8y－2 024的最小值； (3)已知m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m，n的值。 答案 一、1．C　2．C　3．D　4．A　5．D 6．B　7．D　8．C　9．C　10．C　 二、11．2(x－2)2 12．2x2－8＝2(x＋2)(x－2)(答案不唯一) 13．30　14．1　15．9或－7　16．1 三、17．解：(1)原式＝4(x2－16)＝4(x＋4)(x－4)。 (2)原式＝a(a2＋2ab＋b2)＝a(a＋b)2。 (3)原式＝(a－b)2＋2(a－b)＋1＝(a－b＋1)2。 (4)原式＝(x－y)2－(4z)2＝(x－y＋4z)(x－y－4z)。 18．解：(1)原式＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)。 (2)∵(2n＋1)2－1＝4n(n＋1)，n是整数， ∴所有“白银数”都能被4整除。 19．解：(1)9992＋999＝999×(999＋1)＝999 000。 (2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.271 8＝23×2.718＋2.718×59＋18×2.718＝2.718×(23＋59＋18)＝2.718×100＝271.8。 (3)999.92－0.12＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1)＝999.8×1 000＝999 800。 (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,36)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)－\f(31,36)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)＋\f(31,36)))＝－eq \f(13,18)×1＝－eq \f(13,18)。 20．解：(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (2)二；6y前面的符号在去括号时没有改变 (3)(x＋3y)2－2(x2－9y2) ＝(x＋3y)2－2(x＋3y)(x－3y) ＝(x＋3y)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((x＋3y)－2(x－3y))) ＝(x＋3y)(x＋3y－2x＋6y) ＝(x＋3y)(－x＋9y)。 21．解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b) (2)32－12＝(3＋1)×(3－1)＝4×2＝8×1， 172－52＝(17＋5)×(17－5)＝22×12＝8×33。(答案不唯一) (3)两个正奇数的平方差一定能被8整除。 证明：设较大的奇数为(2n＋1)，较小的奇数为(2m－1)，其中n，m是正整数，n≥m， 则(2n＋1)2－(2m－1)2＝[(2n＋1)＋(2m－1)][(2n＋1)－(2m－1)]＝4(m＋n)(n－m＋1)， 易得(m＋n)(n－m＋1)是2的倍数， ∴4(m＋n)(n－m＋1)是8的倍数。 ∴(2n＋1)2－(2m－1)2是8的倍数， 即两个正奇数的平方差一定能被8整除。 22．解：(1)原式＝(x2－6x＋9)－9－16＝(x－3)2－25＝(x－3＋5)(x－3－5)＝(x＋2)(x－8)。 (2)原式＝(y2＋8y＋16)－16－2 024＝(y＋4)2－2 040， ∵(y＋4)2≥0，∴多项式 y2＋8y－2 024的最小值是－2 040。 (3)∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)＝0， 即(m＋n)2＋(n－3)2＝0， ∴m＋n＝0，n－3＝0， 解得n＝3，m＝－3， ∴m的值为－3，n的值为3。