冀教版（2024）八年级上册（2024）13.3 全等三角形的判定课时练习

这是一份冀教版（2024）八年级上册（2024）13.3 全等三角形的判定课时练习，文件包含专题01等腰三角形的判定与性质14大题型专项训练原卷版docx、专题01等腰三角形的判定与性质14大题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共133页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc200457827" 题型一、等腰三角形的定义 PAGEREF _Tc200457827 \h 1
\l "_Tc200457828" 题型二、等腰三角形的判定 PAGEREF _Tc200457828 \h 2
\l "_Tc200457828" 题型三、等腰三角形的性质 PAGEREF _Tc200457828 \h 2
\l "_Tc200457829" 题型四、等边对等角 PAGEREF _Tc200457829 \h 3
\l "_Tc200457830" 题型五、等角对等边 PAGEREF _Tc200457830 \h 5
\l "_Tc200457831" 题型六、格点图中画等腰三角形 PAGEREF _Tc200457831 \h 6
\l "_Tc200457832" 题型七、等腰三角形的存在性问题 PAGEREF _Tc200457832 \h 8
\l "_Tc200457832" 题型八、尺规作等腰三角形 PAGEREF _Tc200457832 \h 8
\l "_Tc200457832" 题型九、等边三角形的判定 PAGEREF _Tc200457832 \h 8
\l "_Tc200457833" 题型十、等边三角形的性质 PAGEREF _Tc200457833 \h 9
\l "_Tc200457828" 题型十一、等边三角形的存在性问题 PAGEREF _Tc200457828 \h 2
\l "_Tc200457828" 题型十二、等腰三角形中的最值训练 PAGEREF _Tc200457828 \h 2
\l "_Tc200457828" 题型十三、等腰三角形中的旋转问题 PAGEREF _Tc200457828 \h 2
\l "_Tc200457834" 题型十四、等腰三角形中的新定义问题 PAGEREF _Tc200457834 \h 11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、等腰三角形的定义
1．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A．19B．20C．19或20D．21
2．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（ ）
A．4B．6C．4或12D．6或12
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
4．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是 ．
5．数学活动实践课上，老师发给每人一根的木条，要求学生把这根木条截成三段后再围成三角形．
(1)嘉嘉没有经过思考就把木条截成了三段，其中一段是．嘉嘉截成的三段木条能否围成三角形？说明理由；
(2)琪琪想围成一个等腰三角形，且使一边长为．请帮琪琪求出其他两边的长度．
题型二、等腰三角形的判定
6．在中，P、F分别是边、边上的点，作于点D，于点E，连接，若，．
(1)求证：；
(2)若，求证F为边上中点．
7．如图，是的外角，点是的中点，过点作线段，使其交的平分线于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的周长．
8．如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点E是的中点，求的度数．
9．如图所示，在中，平分，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
10．如图，在中，，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：；
(2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形．
题型三、等腰三角形的性质
11．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
12．如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上．
(1)求证：；
(2)若，， 求和的面积之比．
13．如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的周长．
14．如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．如图，在中，平分，平分，经过点与分别相交于点，且．

(1)若，求的度数；
(2)已知，，求的周长．
题型四、等边对等角
16．如图，在中，，，平分交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在中，，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，若，那么等于 （ ）
A．B．C．D．
18．如图，中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，若，则的度数是 ．
19．如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 ．
20．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为13，求的长．
题型五、等角对等边
21．如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
22．如图，，，和相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点．
(1)如图1，当经过点时，求证：；
(2)如图2，当，交于点，交于点，求证：．
24．如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．
(1)求度数；
(2)求的周长．
25．如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若是的中线，求证：是的中点．
题型六、格点图中画等腰三角形
26．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．
27．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接．
(1)画出线段关于直线l的轴对称线段；
(2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由；
(3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个．
28．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题（仅用无刻度直尺）．
(1)格点（顶点均在格点上）的面积为 ；
(2)画出格点关于直线对称的轴对称的图形；
(3)画出的角平分线．
29．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积；
(2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分；
(3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分．
30．图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图．
(1)在图①中画一个，使它与全等；
(2)在图②中画一个，使它与全等；
(3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形．
题型七、等腰三角形的存在性问题
31．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
32．如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）处．

A．6B．7C．8D．3
33．如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
34．在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有 个．
35．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．

（1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值．
（2）当为何值时，？
（3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案）
题型八、尺规作等腰三角形
36．如图，已知，请按要求完成尺规作图：
(1)在图1中，画出的角平分线；
(2)在图2中，画出等腰三角形，使点E在边上．
37．如图，在中，，．
(1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法）
(2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：．
38．如图，在钝角中，，请用尺规作图法，求作一个等边，使得顶点D，E均在的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法）
39．如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长；
(2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．
40．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）．
(1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形；
(2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形；
(3)在图③中以为边画一个面积为4的．
题型九、等边三角形的判定
41．如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证：
(1)；
(2)；
(3)是等边三角形．
42．如图，在中，点D，E在边上，连接，，且，线段,分别是和的高，且，．请判断是等边三角形吗？并加以证明．
43．如图，在中，，于，平分，交于，交于
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求证：是等边三角形．
44．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
(1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
(2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
(3)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数．
45．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：是等边三角形．
题型十、等边三角形的性质
46．如图：是等边三角形，点、分别在、的延长线上，，的延长线交于．
(1)求证：；
(2)求度数．
47．如图，在等边三角形边，上分别取点P，Q，且，连接，交于点．
(1)求证：．
(2)求的度数．
48．（1）如图1，是等边三角形，点为边上的一动点（点不与，重合），以为边在右侧作等边，连接，求证：．
（2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与，重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，求的度数．
49．【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答)
【探究应用】
（1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ．
①写出与的数量关系和位置关系： ；
②的面积与的面积相等吗？并说明理由．
【问题解决】
（2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则
①∠= °
②线段的长是 ．
50．如图，已知和都是等边三角形．
(1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ；
(2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明；
(3)深入研究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点，（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
题型十一、等边三角形的存在性问题
51．如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动：同时，点在线段上由点向点匀速运动．设点的运动时间为．
(1)若，点的运动速度为点的倍，当为等边三角形时，求的值；
(2)当点的运动速度为多少时，与在某一时刻全等？
52．在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．

(1)如图1，若，，则的值为_____；
(2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形．
(3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值．
53．如图1，等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接．
(1)和全等吗？请说说你的理由；
(2)与的位置关系是：___________；
(3)如图2，当图中动点运动到边的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有？说明理由．
54．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．
(1)当时，试判断的形状，并说明理由；
(2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？
55．如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒．
(1)点、从出发到相遇所用时间是 秒；
(2)当取何值时，也是等边三角形？请说明理由；
(3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
题型十二、等腰三角形中的最值训练
56．图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
57．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ）

A．3B．6C．9D．12
58．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小，则的度数为 ．
59．设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小．
当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明．
下面来探究当点、、不共线时的情况：
(1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点．
(2)如图2，已知：在中，最大角时，
我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由；
②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接．
求证：．
60．教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略．
【模型一】两定一动异侧求线段和最小
如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短．
问题解决：
小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即．
在直线上另取任一点，连接，在中可知，
综上所述：．故，当共线时，即
【模型二】两定一动同侧求线段和最小
如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短．
（问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则
【应用】
（1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值；
【拓展】两动一定三角形周长最小
（2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值．
题型十三、等腰三角形中的旋转问题
61．数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题：
(1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接．
与全等的三角形是_____；
的度数为_____；
(2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为．
证明：；
求的度数；
(3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系．
62．（1）问题背景：
如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．
请直接写出四边形的面积为_______．
（2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形中，， ，，，，求五边形的面积．
63．如图1，在和中，，，，且点，，在一条直线上，连接，，点，分别为，的中点．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)在图1的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，使点落在线段上，其他条件不变，得到图2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论．
64．如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连结OD．
(1)判断的形状，并证明；
(2)当为多少度时，是等腰三角形；
(3)添加或更改条件使是等边三角形．
65．如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；
(3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
试猜想与的数量关系，并说明理由；
你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
题型十四、等腰三角形中的新定义问题
66．在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)操作判断：如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：____．
(2)性质探究：如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，均在外，连接，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程．
67．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号）
①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理．
(2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
(3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，求证：．
68．阅读理解：
【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．
【概念理解】
(1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
(2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”．
69．新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则．
(1)如图1，若与均为等腰直角三角形，，
①求证：；
②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，
①的度数为
②线段之间的数量关系，并说明理由．
70．定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点．
(1)若和是“双赢三角形”，，则 ；
(2)如图3，延长到点，连接和，，，．
①试说明：与是“双赢三角形”；
②若，，求的长；
③若，，求的度数．
71．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
72．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
73．如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
74．如图，在中，与的平分线相交于点，过点作交于，交于．若，，，则的周长为（ ）
A．30B．33C．36D．39
75．如图，在中，，于点C，平分交于点F，交于点D，连接．若，下面结论正确的个数是（ ）．
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
76．如图，是内一点，．若，则 ．
77．如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
78．如图，在边长为4的等边中，为边上的中线，点E为所在直线上的一动点，连接，将线段逆时针旋转得到，连接、，则在点E运动的过程中，的最小值是 ．
79．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：

(1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个；
(2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个．
80．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．
81．如图，已知中，，，垂直平分，求的度数．
82．已知一个三角形的两边长分别为和，
(1)求这个三角形的第三边的取值范围．
(2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
83．如图，在等边中，过点在边的右侧作射线，，点与点关于直线对称，连接，且交射线于点，连接并延长交射线于点．
(1)求的度数（用含的代数式表示）；
(2)在变换过程中，的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围，如果不变化，求的大小．
84．在中，，，点D、E在直线上，且．过点B作交直线于点F，直线交直线于点G，连接．
(1)如图1，射线都在的内部，设，则_______（用含有α的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，作点B关于直线的对称点，证明；
(3)如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
85．如图，四边形的对角线相交于点，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：
①；
②试探究与的位置关系．
86．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：
①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________．
(3)拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________．
小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将绕点逆时针旋转；
第二步：利用与互补，
证明三点共线，
从而得到正方形；
进而求得四边形的面积．