初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.1 等腰三角形综合训练题

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.1 等腰三角形综合训练题，文件包含171等腰三角形等腰边三角形的判定题型专练原卷版docx、171等腰三角形等腰边三角形的判定题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
基础达标练
题型一 格点中画等腰三角形
1．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
分三种情况：
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、；
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点；
当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、；
综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是，
故选：C．
2．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图，
由图得满足条件的格点P有5个，
故选：C．
3．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（ ）
A．A，B，CB．B，C，DC．A，D，ED．A，C，E
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题．
【详解】解：如图，，是等腰三角形．
故选：A．
4．如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：
①当为等腰底边时，符合条件的点有个：；
②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：；
∴点的个数是个，
故选：A．
题型二 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形
5．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．
根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可．
【详解】解析:∵，
∴
∵是角平分线，
∴，
∴．
∴．
同理，．
∴．
∴．
同理，．
∴．
∴等腰三角形有，共8个．
故选：A．
6．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（ ）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答．
【详解】解：∵与的平分线相交于点O，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，即都为等腰三角形．
又∵，，
∴，且，
∴都为等腰三角形．
∵，与的平分线相交于点O，
∴，
∴，即是等腰三角形．
故等腰三角形有：．
故选：B．
7．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴为等腰三角形，，
∵
∴，
∴，为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴，为等腰三角形，
，
∴，为等腰三角形，
∵，，
∴
∴，为等腰三角形．
综上所述：共有5个等腰三角形．
故选C．
8．如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2B．3C．5D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
9．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．
【详解】解：在中，，
是等腰三角形；
，
，
，
点在的垂直平分线上，
，
是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
，，
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．
【详解】解：是的角平分线，
，
，
是等腰三角形①．
，
，
是等腰三角形②．
，，
，
，
是等腰三角形③．
故图中的等腰三角形有个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
11．如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明．
【答案】是等腰三角形，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可
【详解】解：是等腰三角形，
证明：平分，
，
，
，
，
，
即是等腰三角形
题型三 利用等角对等边证明等腰三角形
12．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论．
【详解】解：第三个内角的度数为，
，
∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形．
故选：C．
13．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意；
C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意．
故选：D．
14．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，，B．
C．，D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵
∴，
∴不是等腰三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
15．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（）
A．3B．3或6C．6D．6或12
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形，
∵，，
∴当时，，解得；
②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得
是等边三角形，则，
∵，，
∴当时，，解得；
综上可得：当或6秒时，是等腰三角形，
故选B．
16．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论．
【详解】证明：平分，
，
，
，
，
是等腰三角形．
17．如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点E是的中点，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
（1）根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质得到，根据等角对等边证明即可；
（2）根据平行线的性质得到，证明，得到，进而证明是等边三角形，可知，根据平分及即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
又∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴（），
∴．
∵，，
∴，即是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
18．如图，已知，平分，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点D，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得；
（2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
题型四 利用等角对等边证明边相等
19．如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可得，由，可得，结合已知条件，可证，从而题目可解．
【详解】证明：，
，
，
，
在与中，
，
．
．
20．已知：如图，、、、四点在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】要证 ，可先证，得到、 ，再证（或利用等腰三角形性质 ）得出 ．本题主要考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（等 ）和等腰三角形“等角对等边”是解题的关键．
【详解】证明：，，，
，
，
∴。
21．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接．
(1)证明：是等腰三角形．
(2) 与相等吗？对你的结论说明理由．
(3)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案．
（2）根据得到，，则，得到，即可根据证明；
（3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵与的角平分线交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）证明：由（1）得，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
22．如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长，相交于点Q，根据证明，得到，再根据角平分线的定义以及证明从而得到进而得到结论．
【详解】证明：延长，相交于点Q，如图．
，
，，
．
在和中，
,
，
，
平分，，
，
．
在和中，
，
．
题型五 利用等角对等边求边长
23．如图，，，，则的周长是（ ）
A．18B．20C．26D．28
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键．
根据，得，则，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是，
故选：A ．
24．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵的周长为，
∴，
∴，
即，
故选：．
25．如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，同理可得，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，和的平分线交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故选：A．
26．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长．

【答案】14
【分析】本题综合考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质、角平分线的性质推知， 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案．
【详解】解：∵，平分，，
∴，，
∴，
∴；
同理，平分，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
27．如图，，是的中点，平分，，，求的长．
【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等角对等边，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．延长、交于，可证明，得，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，得出，即可求解．
【详解】解：如图，延长、交于F，
，
，，
∵点E是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
平分，
∴，
∴，
∴．
题型六 证明等边三角形
28．已知a，b，c为的三边边长，且满足方程组，则是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不等边三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式、非负数的性质等知识点，掌握因式分解是解题的关键．
先变形，再进行因式分解，然后运用完全平方公式的变形，最后根据非负数的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∵a、b、c为的三边，
∴，故，
∴，即，
∴，即是等边三角形．
故选：A．
29．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件．
根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可．
【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∴这个等腰三角形是等边三角形，正确；
②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误；
④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确．
故选C．
31．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定定理、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，最后由等边三角形的判定定理即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：平分，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
32．如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由．
【答案】是等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形．
【详解】解：是等边三角形．理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
同理，
∴是等边三角形．
33．如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形．
【详解】证明：平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
34．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是等边三角形．
35．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状．
（1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到；
（2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
平分，
，
在和中，
，
．
（2）证明：，
，
即，
，
为等边三角形．
题型七 尺规作等腰三角形
36．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
37．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，
认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（ ）
①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角．
A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；
图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；
图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．
故选：．
【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．
38．请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图①，已知，作点P，使，且点P在边AB的高上．
(2)如图②，已知线段a，b，以b为腰，a为底画等腰三角形，并作出它的一个底角的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形底边与高的画法，角平分线的画法等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）过点作的垂线，作线段的垂直平分线交垂线于点，点即为所求；
（2）作，分别以点，为圆心，b为半径画弧交于点，连接，，就是所求的三角形，再画的角平分线即可.
【详解】（1）解：如图①，点即为所求．
（2）解：如图②，和射线即为所求．
39．如图，在中，，．
(1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法）
(2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
（1）先作，然后截取；
（2）作交于F，根据平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质计算出，，则，从而得到，然后证明，从而得到结论．
【详解】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：作交于F，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
．
题型一 与等腰（边）三角形相关的多结论问题
40．如图，在中，，点分别在的延长线上，与的平分线相交于点．以下结论：①；②；③和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】三角形外角的定义以及性质得出根据角平分线的性质得出，进而可得出，可判定①，根据平行线的性质以及角平分线的定义可判断②，根据平行线的性质以及角平分线的定义结合等腰三角形的判定定义可判断③．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
即，故②正确．
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形，故③正确，
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义以及性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，以及平行线的判定以及性质等知识，掌握这些判定以及性质是解题的关键．
41．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个．
①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：和的平分线相交于点G，
，
，
，
，
，
同理可得，
，故①正确；
∵与不一定相等，，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，故②错误；
和的平分线相交于点G，
，
，故③错误；
和的平分线相交于点G，
点G到的距离相等，到的距离相等，
点G到各边的距离相等，故④正确；
如图所示，连接，
点G到各边的距离相等，，，
，故⑤正确．
故选：C．
42．如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
43．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ）
①；②为的平分线；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确．
【详解】解：∵为等边三角形，
，
∵，
，
∵四边形中，，
．
故结论①正确；
如图，过点作的延长线于点，作于点．
则，
，，
，
又，
，
，
∴为的平分线．
故结论②正确；
， 平分，
∴垂直平分，
∴．
故结论③正确；
，
而， ，
．
故结论④不正确；
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
44．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，，若平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，由题意可得，即可判断①；证明，即可判断②；由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，推导出，即可判断③；求得，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，即，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
题型二 等腰三角形的判定与性质的综合运用
45．如图，为的角平分线，交的延长线于点，．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形．
（2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证．
【详解】（1）证明：设，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
​​​​​​​∴为等腰三角形；
（2）证明：过点作交的延长线于点，
∴，．
∵平分， ，
∴， ，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
46．在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F．
(1)如图1，当点D与点C重合时，求证：；
(2)如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形判定及平行线性质是解题的关键．
（1）由得到．由三角形的内角和定理与旋转的性质证明，，从而得到，进而有，再由得到，从而，因此根据等腰三角形的判定即可解答；
（2）延长到点H，使，由得到．由垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而，即可证明，得到，．证明得到，从而．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
延长到点H，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
∵由旋转有
∴
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型三 等边三角形的判定与性质的综合运用
47．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证明平分，再证明是等边三角形，接着利用平行线的性质，求得，，从而可证明，根据等腰三角形的判定，可得，再利用，求出．
【详解】解：连接交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴平分，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，．
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．
48．如图，，点P在的内部，点C，D分别是点P关于的对称点，连接交分别于点E，F；若的周长为9，则线段（ ）
A．8B．18C．12D．9
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质．连接，．证明是等边三角形，进而可得结论．
【详解】解：连接，．
点，分别是点关于，的对称点，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：D．
49．如图，已知和均为等边三角形，且 ，的延长线交的延长线于点． 求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，三角形外角性质等知识，过作，则，由和均为等边三角形，得，，证明，再由等边三角形性质可得，，则有，因为，所以，可得，然后通过外角性质得，由等角对等边，从而可证，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，是等边三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
50．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)求证：平分．
(3)若，，求的长．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质．
（1）由，可以先证明是等边三角形，所以．再由得到，即可证明是等边三角形；
（2）由题意得是的垂直平分线，再由等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）先由等边三角形的性质和证明，从而求出的值，再由等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下；
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形；
（2）证明：，，
是的垂直平分线，
即，
，
平分；
（3）解：平分，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
51．综合与实践
问题情境：
如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，．
问题探究：
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由；
(3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)12
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）先运用证明可得，再说明即可证明结论；
（2）证明可得，然后根据线段的和差即可解答；
（3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
52．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．
（1）由已知和作图得到，依据是______．
A． B． C． D．
（2）边上的中线的取值范围是______
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：．
【拓展提升】
如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______．
【答案】【问题情境】（1）C；（2）；【初步运用】见解析；【拓展提升】4
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
问题情境：（1）根据全等三角形的判定方法即可求解；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解；
初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明；
拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答．
【详解】问题情境：
解：（1）是的中线，
，
在和中，
∴，
∴由已知和作图得到，依据是，
故选：C；
（2）由（1）得，，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为：；
初步运用：
证明：延长到，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
拓展提升：
解：延长到，使，连接，如图所示：
∵点为边的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：4．
53．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，．
(1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °．
(2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值，
①求的度数；
②当时，求的度数．
(3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)70
(2)①②
(3)或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键．
（1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案；
（2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数；
（3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即为等腰三角形，
∵，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70；
（2）①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）若，
则，
∴．
①当时，，
∵，
∴此时不符合题意；
②当时，，
∵，
∴，
∴；
③当时，，
∴，
∴．
综上所述，当或时，是等腰三角形．
54．如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且．
【问题思考】在图①中，求证：；
【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；
【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出；
（2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出；
（3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2），理由如下，
如图，在上取点G，使，连接．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即．
又∵，，
∴，
∴．
∵
∴，
∴；
（3）解：延长交于点H，如图，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的定义等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键．
（7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练）
基础达标练
题型一 格点中画等腰三角形
题型二 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形
题型三 利用等角对等边证明等腰三角形
题型四 利用等角对等边证明边相等
题型五 利用等角对等边求边长
题型六 证明等边三角形
题型七 尺规作等腰三角形
能力提升题
题型一 与等腰（边）三角形相关的多结论问题
题型二 等腰三角形的判定与性质的综合运用
题型三 等边三角形的判定与性质的综合运用