初中数学17.4 直角三角形全等的判定当堂达标检测题

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基础达标练
题型一 利用HL证明三角形全等
1．如图，能直接用“”判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：A．
2．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：C．
3．如图所示，在中，，是延长线上一点，点E在上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
4．如图，点在线段上，，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，再根据直角三角形的全等判定定理“”证明即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
5．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据已知条件直接利用证明即可求解．
【详解】证明∶ ，，
．
是的中点，
．
在与中，
6．如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据得出，再根据可证．
【详解】证明：，
，即，
，
在和中，
，
．
题型二 HL与全等三角形的性质综合应用
7．如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数．
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（ ）
A．B．4C．3D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，得到是解答本题的关键．
连接，证明，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：C．
9．如图，在中，，于点，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．在上取．连接，在和中，，．证明即可求解
【详解】解：如图，在上取．连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴
∴，
故选：A．
10．已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和性质列式计算得，结合，，，证明，则，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
故选：B．
11．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，，．则长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，证明和，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
12．如图，平分，若，则的面积为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】求解，如图，记的交点为，过作于，证明，，可得，，结合，求解，，，设，利用勾股定理求解，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
如图，记的交点为，过作于，
∵，平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
13．如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
（1）分别为上的高线，得，即可根据直角三角形全等的判定定理证明；
（2）由，得，由“等角对等边”得．
【详解】（1）证明：∵分别为上的高线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：，
∴，
∴，
∴的长是5．
14．如图，在和中，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与勾股定理，确定用定理进行证明是关键．
（1）由题意可知和为直角三角形，根据定理证明即可；
（2）由可知，在中，根据勾股定理可得，再根据线段的和差计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴和为直角三角形，
在和中，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
15.如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，，，，、的角平分线交于点F．求：的度数．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，添加合适的辅助线利用三角形内角和为是解决本题的关键．
先证明，再根据角平分线的性质可得，，再由同旁内角可得，即可得，由此可解．
【详解】解：连接，如图，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
、的角平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
16．如图，在中，，于D，上有一点F，满足．
(1)求证；
(2)，点E为的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出；
（2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：于D，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
点E为的中点，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键．
17．如图，已知在四边形中，平分．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用．
（1）根据角平分线的性质可得到；可得，则，所以；
（2）已知，，可得，则得，最后证得即可．
【详解】（1）证明∶如图，过C作，交的延长线于F点，
平分，
．
，，
，．
，
．
．
，
．
（2）证明∶已知，
．
，，
．
，，
．
．
，，
．
题型三 添加条件使直角三角形全等
18．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可．
【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等，
若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等，
即或，
只有B选项符合.
故选：B．
19．如图，，垂足分别是E，F，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．分析已知条件为两直角边对应相等，根据“”为直角边和斜边对应相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且这两条线段为直角边，若利用“”证明，则添加的条件应为斜边对应相等，
∴需添加的条件是，
故选：B．
20．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答．
【详解】解：如图，，，，
要根据“”证明，
需再有斜边对应相等，
即．
故选：D．
21．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
【答案】当运动到或点与重合时，才能和全等
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根据不同的对应关系进行分类解答．
首先根据直角三角形全等的判定方法，结合三角形的对应边的不确定性，可知需分和两种情况， 结合全等的性质，可以得到点运动的位置．
【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知：
当运动到时，
∵在与中，
，
∴，
当与点重合时，，
∵在与中，
，
∴，
答：当运动到或点与重合时，才能和全等．
题型四 确定全等直角三角形的对数
22．如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、．做题时要由易到难，不重不漏．，，，，，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：，，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
；
，
；
，
，
，，
，，
综上，共有6对全等直角三角形，
故选：D．
23．如图，线段被垂直平分，连接则图中全等的三角形一共有几组（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
根据线段垂直平分线的性质得，根据“边边边”证明，再根据“斜边直角边”得，同理可得，则答案可证.
【详解】解：∵线段被垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴；
同理可得.
综上所述，图中有3对全等的三角形．
故选：C．
24．如图①，，，点在上，且．
(1)求证：．
(2)如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]．
【答案】(1)证明见解析；
(2)对全等三角形分别为，，，，证明见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）由题意可证，然后根据定理可证，进而可得；
（2）由图可知，对全等三角形分别为，，，，然后根据定理、定理、定理、定理依次证明即可．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）图②中的对全等三角形分别为，，，，证明如下：
，
，，，
在和中，
，
，
，
在和中
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
．
综上所述，图②中的对全等三角形为，，，．
题型五 灵活选用判定方法证明直角三角形全等
25．在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：如图：
①在和中，
，
∴，故本选项正确；
②在和中，
，
∴，故本选项正确；
③在和中，
，
∴，故本选项正确；
④∵，，，，
∴，
在和中，
，
∴，故本选项正确；
∴能判定的条件为：①②③④，
答案：D．
26．如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：在中，，
，
在和中，，，
添加后，根据可判定，故A选项不合题意；
添加后，根据可判定，故B选项不合题意；
添加后，根据可判定，故C选项不合题意；
添加后，不能判定，故D选项符合题意；
故选：D．
27．如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程；
①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③②④①B．③①④②C．①②③④D．①③④②
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
故顺序为③①④②，
故选：B．
28．如图，在中，，垂足为，点在上，，，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
（）由垂直的定义得到，再由判定方法即可证明；
（）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
29．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）利用可证明，则，再由线段的和差关系可证明结论；
（2）利用证明，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
题型六 全等直角三角形的应用
30．南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可根据证明，B选项不符合题意；
若添加，可根据证明，C选项不符合题意；
若添加，可根据证明，D选项不符合题意；
故选：A．
31．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质．先证明，推出，通过，得到，从而得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
32．如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角度关系以及直角三角形的面积计算等知识，通过构造辅助线和利用全等三角形的性质是解题的关键．过点作，交延长线于，连接，由可证，可得，，由可证得，可得，，可求的长，由面积关系可求解．
【详解】解：过点作，交延长线于，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
，
该纸片的面积．
33．如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，求的度数．
【答案】65°
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，即可得到．
【详解】解：在和中，
，
，
，
．
34．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A、B间的距离，同学们给出了以下建议：
(1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A、B的点O，连接、，并分别延长至点C，延长至点D，使，最后测出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由；
(2)乙同学的方案如下：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定定理是解决问题的关键．
（1）通过证明即可得出结论；
（2）先判断出与均为直角三角形，再利用证明全等即可得出结论．
【详解】（1）解：在和中 ，
，
,
，
故甲同学的方案可行；
（2）解：，
垂直平分，
与均为直角三角形，
在和中，
，
，
，
故乙同学的方案可行．
35．臂架泵车（如图1）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆．图2是其输送原理平面图，为输送臂，可分别绕点旋转，已知点到建筑物的水平距离为24米，点到地面的距离为16米，米，米，，点到的距离米．
(1)的长度为____________米；
(2)求出料口到地面的距离．
【答案】(1)24
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，利用勾股定理求边长是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得解；
（2）证明即可得解．
【详解】（1）解：，
（米），
（米），
故答案为：24．
（2）解：，
，
，，
，
米，
到地面的距离为（米）．
题型七 尺规作直角三角形
36．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （ ）
A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F
B．小聪作图判定的依据是
C．第二步作图是过点E作直线l的垂线
D．小聪作图判定的依据是
【答案】B
【分析】本题考查了基本尺规作图，全等三角形的判定．第一步作，第二步作，第三步作，判定的依据是，据此求解即可．
【详解】解：A、第一步作图是作，选项的作图步骤正确，故选项正确，不符合题意；
B、根据作图可以发现，，，证明依据是，选项错误，符合题意；
C、第二步作图是过点E作直线l的垂线，选项正确，不符合题意；
D、小聪作图判定的依据是，选项正确，不符合题意；
故选：B．
．
题型一 与直角三角形全等有关的几何多结论问题
37．如图，，且，能保证成立的条件有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答．
【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等，
和满足定理“”，
①∵，，
∴
又∵，
∴
条件③，不能证明
故选：C．
38．如图，在中，，平分，，E，F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质与判定定理、垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
①由角平分线的性质可得，再结合等边对等角可得，即①正确；②易证，可得，即②正确；③由角平分线的判定定理可判定③；④由垂直平分线的定义可知垂直平分，即④错误．
【详解】解：①∵平分，，E，F为垂足，
∴，
∴，即①正确；
②∵，
∴，
∴，即②正确；
③∵，，
∴平分，即③正确；
④∵，
∴垂直平分，而不是垂直平分，即④错误；
综上，说法正确的个数是3个．
故选C．
39．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：；；；，其中正确的是：（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④即可．
【详解】解：由旋转性质可知，，旋转角 ．
∴，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴，故①正确．
∵，
∴ ．
∵是的延长线，
∴，故②正确．
如图，连接，
∵，，且由旋转，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴
∵
∴（） ．
∴，故③正确．
连接，
由旋转可得：，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
④错误．
综上，正确的是①②③ ．
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系．
40．如图，点D为的外角平分线上一点，且垂直平分交于点G，过点D作于点E，交的延长线于F，连结、，则下列结论：；；；．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，逐一判断即可得解．
【详解】解：点D为的外角平分线上一点，，，
，
又垂直平分交于点，
，
和中，
，
故正确；
，
，
，
，
故错误；
∵垂直平分交于点G
，
，
，
，
故错误；
点D为的外角平分线上一点，，，，
，
，
，
，
，
故正确；
综上所述，正确的有个，
故选：B．
41．已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立．
【详解】∵于M， ，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．，，．
在中，，
∴，结论②正确．
∵，
∴．
，
但无法判定，进而不能确定．结论③错误；
综上，正确的结论是①②，
故选A．
42．如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：
①平分；
②；
③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；
④．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③
【答案】B
【分析】过点P作，，，依据角平分线的性质和判定即可判断①；利用四边形内角和为从而可判断②；借助全等三角形的性质和判定，进行等量变换即可判断③；利用和的外角写出关系式进行整理即可判断④．
【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D，
①∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴点P在的角平分线上，
故①正确；
②∵，，
∴，
∴，
由图可知，
∴错误，
故②错误；
③在与中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故③正确；
④∵平分，平分，
∴，，
∴，
故④正确．
综上所述，①③④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
43．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
，故②正确；
设于的交点为，
在中由三角形外角的性质可得，
在中由三角形外角的性质可得，
，
，故③正确；
过点作于，于，
，
又，，
，
，
又，
，
，
假设平分，
，
，即，
又，
，
，这与矛盾，
不平分，故④错误，
故正确的有：①②③．
故选：B．
题型二 全等直角三角形的综合问题
44．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：
(1)；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．
（1）先根据角平分线的性质可证，由，根据即可判定，即可得到结论；
（2）根据证，即证，在（1）的基础上可得，然后根据，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵平分，于E，于F，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
则在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
45．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且．
(1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：；
(2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由点P为平分线上一点，，，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论；
（2）证明，得到，由（1）得到，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵点P为平分线上一点，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
46．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．
(1)求证：；
(2)若，求的长
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键；
（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证；
（2）证明，得到，进而得到，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
47．如图，在中，是过点A的直线，于D，于点E．
(1)若B、C在的同侧（如图所示）且．求证：；
(2)若B、C在的两侧（如图所示），其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明是解题的关键.
（1）通过证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证；
（2）用和（1）相同的方法证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）．理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，即，
∴．
48．【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究．
【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为是直角、钝角、锐角三种情况进行探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等．
(2)第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）．
如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）．
(3)第三种情况：当是钝角时，≌．
如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程．
【答案】(1)不一定，作图见详解
(2)一定
(3)证明见详解
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及尺规作图及邻补角定义等知识，读懂题意，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理即可判定，再由尺规作图，以点为圆心、为半径，作交边于点即可得到答案；
（2）当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），直接结合条件判定即可得到答案；
（3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示，先判定，得到；进而判定，得到，从而得证．
【详解】（1）解：根据三角形全等的判定方法：“”， 在和中，，，，和不一定全等；
如图所示：
则即为所求；
故答案为：不一定；
（2）解：当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），如图所示：
在和中，，，，由判定，可知和一定全等，
故答案为：一定；
（3）解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示：
，
由，可得，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
在和中，
．
49．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，垂足分别为点和点．则．
(1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程（证明）．
(2)【应用】如图3，在中，平分于点，点在上，，若，则的长为___________．（不需证明）
(3)【拓展】如图4，在中，平分交于点，于点，若，，则的面积为___________．（不需证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)3
(3)16
【分析】（1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明；
（2）证明，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，代入求解即可；
（3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
故答案为：；
（3）解：过点作，交于点，如图，
平分交于点，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，证明角平分线的性质定理是解题的关键．
（7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练）
基础达标练
题型一 利用HL证明三角形全等
题型二 HL与全等三角形的性质综合应用
题型三 添加条件使直角三角形全等
题型四 确定全等直角三角形的对数
题型五 灵活选用判定方法证明直角三角形全等
题型六 全等直角三角形的应用
题型七 尺规作直角三角形
能力提升题
题型一 与直角三角形全等有关的几何多结论问题
题型二 全等直角三角形的综合问题