数学八年级上册（2024）17.3 勾股定理精练

这是一份数学八年级上册（2024）17.3 勾股定理精练，文件包含专题04勾股定理中的实际应用问题12大题型专项训练原卷版docx、专题04勾股定理中的实际应用问题12大题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共89页， 欢迎下载使用。
A题型建模・专项突破
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc200457827" 题型一、求梯子滑落高度 PAGEREF _Tc200457827 \h 1
\l "_Tc200457828" 题型二、求旗杆高度 PAGEREF _Tc200457828 \h 2
\l "_Tc200457829" 题型三、求小鸟飞行距离 PAGEREF _Tc200457829 \h 3
\l "_Tc200457830" 题型四、求大树折断前的高度 PAGEREF _Tc200457830 \h 5
\l "_Tc200457831" 题型五、解决水杯中筷子问题 PAGEREF _Tc200457831 \h 6
\l "_Tc200457832" 题型六、解决航海问题 PAGEREF _Tc200457832 \h 8
\l "_Tc200457832" 题型七、求河宽 PAGEREF _Tc200457832 \h 8
\l "_Tc200457832" 题型八、求台阶上地毯长度 PAGEREF _Tc200457832 \h 8
\l "_Tc200457833" 题型九、判断汽车是否超速 PAGEREF _Tc200457833 \h 9
\l "_Tc200457833" 题型十、判断是否受台风影响 PAGEREF _Tc200457833 \h 9
\l "_Tc200457833" 题型十一、选址使到两地距离相等 PAGEREF _Tc200457833 \h 9
\l "_Tc200457833" 题型十二、勾股定理中的最短路径问题 PAGEREF _Tc200457833 \h 9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、求梯子滑落高度
1．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．
(1)求梯子的顶端到地面的距离的长．
(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？
2．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？
3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点）
(1)求的长．
(2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度．
4．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
(1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长；
(2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动的距离为，求物体C上升的高度．
题型二、求旗杆高度
5．为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，求树干的高度．
6．如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2．
小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远．
请选择一种方案求出旗杆的高度．
7．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数）
8．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
(2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）．
题型三、求小鸟飞行距离
9．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？
10．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
(1)求此时风筝的垂直高度；
(2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？
11．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
12．燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：

①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
题型四、求大树折断前的高度
13．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
14．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
15．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．

(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长．
16．如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．

(1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
(2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
题型五、解决水杯中筷子问题
17．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？
18．如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
19．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？
20．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
题型六、解决航海问题
21．某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里．
(1)求乙船沿哪个方向航行？
(2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
22．目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？
23．如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取）
24．某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向．
(1)求A、D两点间的距离；
(2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由．
题型七、求河宽
25．如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？
26．著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则．
(1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米．
(3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长．
27．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，．
(1)通过计算说明公路是否与垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用．
28．某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：）
(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
题型八、求台阶上地毯长度
29．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
30．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
31．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
32．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．

题型九、判断汽车是否超速
33．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？

34．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长．
(2)这辆大巴车超速了吗?
35．学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，）
36．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
(1)请求出观测点C到公路的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
题型十、判断是否受台风影响
37．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问：
(1)海港C会不会受到台风的影响？
(2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
38．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
39．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
(1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
40．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域．
(1)求的度数．
(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？
题型十一、选址使到两地距离相等
41．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
42．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少．
43．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得：
(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？
(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离．
44．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，）
题型十二、勾股定理中的最短路径问题
45．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？取，底面周长取整数）
46．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，．
(1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
(2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度．
47．某单位大门口有个圆形柱子，已知柱子的直径为，高为，为庆祝国庆节，单位想在柱子上挂一根彩带．（以下计算规定）当彩带从点开始绕柱子1圈后，挂在点的正上方的点处，求彩带最短需要多少米？
48．阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题．
如图1，一个长方体盒子，长，宽，高．
探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？
探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？

小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形，
在中，．
(1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法；
(2)帮助小明完成探究2．
49．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（ ）
A．B．C．D．
50．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）．
A．8B．7C．4D．3
51．如图，长方体木块长，宽，高．一只蚂蚁从点A处沿木块表面爬行到点G处的最短路径长为（ ）
A．B．C．D．
52．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4B．5C．6D．2
53．如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个侧面爬到点，则它爬行的最短路径是（ ）
A．B．C．D．
54．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
55．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大体意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），从某处折断后，竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺．则竹子折断处离地面的高度（即折断后直立部分的长度）为 尺．
56．我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m．
57．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里．
58．小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？
59．2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．
60．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．
61．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号）
62．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
63．综合与实践
如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．
(2)求该金属丝的长．
(3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程．
课题
测量学校旗杆的高度
成员
组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具
皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．
第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；
第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度．
测量数据
测量项目
数值（单位：米）
图①中BC的长度
1
图②中BD的长度
5
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报告
测量风筝的垂直高度．
成员
组长：组员：，，
工具
皮尺等
示意图
方案
先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高．
数据
米，米，米，．
几何模型在最短路径问题中的应用
素材一
提出问题：求代数式的最小值．
素材二
建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？”
素材三
解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13．
问题解决
任务一
根据以上学习：代数式的最小值为___________．
任务二
知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km．
任务三
思维拓展：已知正数满足，求的值．