初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.3 勾股定理达标测试

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.3 勾股定理达标测试，文件包含173勾股定理勾股定理题型专练原卷版docx、173勾股定理勾股定理题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
基础达标练
题型一 勾股树
1．三个正方形的面积如图，正方形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据正方形的面积可知，，根据勾股定理可知，所以正方形的面积为．
【详解】解：如下图所示，
以为边的正方形的面积是，
，
以为边的正方形的面积是，
，
，
正方形的面积为．

故选：A．
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，分别设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
正方形的面积，
故选：A．
3．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的值是解题的关键．
根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积，
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故选：C．
4．如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据正方形面积得到、的平方，用勾股定理算出．在中，利用含角的直角三角形“角所对直角边是斜边的一半”，结合勾股定理求出另一直角边，最后用面积公式求解．本题主要考查勾股定理、含角的直角三角形性质及三角形面积公式，关键是利用勾股定理和特殊角性质，找到直角边之间的关系来计算面积．
【详解】解：∵正方形面积为， 正方形面积为，
∴ ， ．
∴在中，，
∴（边长为正，舍去负根）．
∵在中，，，
∴ ．
∵，即，
∴（边长为正，舍去负根）．
∴ ．
故选： ．
5．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．9C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出．
由勾股定理得出，求出，进而求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴由图形可知，阴影部分的面积为．
故选：D．
6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026B．2025C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026．
故选：A．
7．问题情境：
毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．
解决问题：
(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是，正方形的边长是_________．
(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长．
【答案】(1),
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．
（1）先由正方形，，，的面积分别为，，，，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积；
（2）根据题意得出，勾股定理求得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：正方形，，，的面积分别为，，，，
正方形，，，的边长分别为，
由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，
正方形的面积为，
故答案为：，．
（2）解：∵正方形，正方形的面积分别为，，
∴
在中，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
∴
∴．
题型二 以弦图为背景的计算
8．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，则正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，求得，在中，利用勾股定理求解，然后根据正方形面积公式即可解答．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
正方形的面积是
故选：D．
9．如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据大正方形的面积和勾股定理可判断；根据小正方形的面积和四个直角三角形全等可判断；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，可判断；利用完全平方公式先求得，进而可判断．
【详解】解：大正方形的面积是，
大正方形的边长是，
利用勾股定理可得， 故说法正确，符合题意；
小正方形面积为，
小正方形的边长是，
四个直角三角形全等，
，
， 故说法正确，符合题意；
根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
即，化简得， 故说法正确，符合题意；
，
，
，
， 故说法不正确，不符合题意；
综上所述，说法正确的是．
故选：B ．
10．综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值．

【答案】（1）见解析
（2）
（3）x的值为．
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】（1）解： ，，，，
，，，
，
，
；
（2）解：借助网格，可知，，
边上的高为：；
故答案为：；
（3）解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
．
题型三 勾股定理与网格问题
11．如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，
先连接，根据题意可知，再根据勾股定理可得答案.
【详解】解：连接，根据题意可知，
根据勾股定理，得.
故选：A.
12．如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，由勾股定理得：
，
根据的面积，得：
，
即：，
解得：．
故选：C．
13．如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度B．线段的长度
C．线段的长度D．线段的长度
【答案】B
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，理解题意，结合图形求解是解题关键．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此求解即可．
【详解】解：由题图可知，，
，
点到直线的距离是线段的长度．
故选：B
14．在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结．
(1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值；
(2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值．
【答案】(1)，，
(2)存在，
【分析】此题考查了勾股定理，最短路径等知识﹒
（1）分别用x表示出的长度，再根据勾股定理即可求解；
（2）作点A关于的对称点，连接，即可得到，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意结合图形得,
在中，，
在中，，
当时， ；
（2）解：存在﹒
如图，作点A关于的对称点，连接，
∴，
在中，，
∴最小值为．
题型四 由勾股定理求线段长度
15．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10B．13C．7D．14
【答案】A
【分析】由勾股定理解答．
【详解】解：由题意得，
直角三角形的斜边为：
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．若直角三角形的三边长为，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏．
分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25；
当长为的边为直角边时，由勾股定理得：；
综上所述，的值为或，
故选：D．
17．在中，斜边，则的值是（ ）
A．100B．200C．300D．400
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值．
【详解】解：如图所示，

在中，，
又，
，
，
故选：B．
18．在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
【答案】C
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
19．如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解得，由，可证明，结合题意证明，从而得到，再利用勾股定理解答即可．
【详解】解：在中，，F为中点，
，DE=1
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20．已知：如图，在中，，，，是斜边上的高．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)25
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理：
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据，即可求解．
【详解】（1）解：在中，∵，，，
∴；
（2）解：∵是斜边上的高，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
题型五 由勾股定理求面积
21．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，
∵，，
∴，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．
22．如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（ ）
A．20B．22C．24D．25
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求出的面积，根据三角形中线的性质即可求出的面积.
【详解】解：，
，
在中，，
是边上的中线，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
23．（1）如图1，，，，求的面积．
（2）如图2，，，，求的面积．
【答案】（1）30；（2）210
【分析】本题考查勾股定理逆定理，用勾股定理解三角形，三角形面积的计算；
（1）先根据题干中所给出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断出三角形的形状，再根据形状来找到三角形的底和高，从而计算出面积；
（2）过C点作，利用勾股定理建立方程求出，然后计算出面积.
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴.
（2）如图所示，过C点作，
∵，，，
设，则
∵在中，
在，，
∴，
解得
∴，
∴.
24．已知如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，由即可求解．
【详解】解：连接，
，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
．
题型六 由勾股定理求线段的平方和（差）
25．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7B．9C．16D．25
【答案】C
【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得．
【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
26．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)“垂美”四边形对边的平方和相等
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解；
（3）由（1）（2）得到，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
题型七 勾股定理的证明方法
27．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．
【详解】解：∵，即，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键．
28．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
∴，
整理得，
故①可以证明勾股定理；
在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得，
故②可以证明勾股定理；
在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴，
整理可得，
故③可以证明勾股定理；
在图④中，连接，
此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和，
所以，
即，
整理：，
，
∴，
故④可以证明勾股定理；
∴能证明勾股定理的是①②③④．
故选：D．
29.【问题背景】
图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得到勾股定理：．
【问题探究】
（1）如图2，在四边形中，点是边上一点，连接．
①若，借助图中几何图形的面积关系验证勾股定理；
②若，求的长；
【问题解决】
（2）如图3，是某公园的一块空地，现准备对该区域进行绿化改造，通过测量得到．已知于点，绿化改造的价格为50元，求对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用．
【答案】（1）①证明见解析，②；（2）元
【分析】本题考查的是勾股定理的证明以及应用，全等三角形的性质，化为最简二次根式．
（1）①证明，，，，，结合，进一步可得结论．
②求解，，，可得．
（2）由，可得，可得：，，求解，进一步可得答案．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用为：（元）．
题型八 由勾股定理证明线段平方关系
30．在中，若，则下列式子成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案．
【详解】解：在中，若，
，
为直角边，为斜边，
根据勾股定理可得，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键．
31．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形．
∴
∵
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴
32．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
33．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)试说明：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，再由勾股定理即可得解；
（2）由题意可得，再结合勾股定理计算得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵是斜边的中点，，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
∴；
（2）解：∵是斜边的中点，，
∴，
在中，由勾股定理可得，，
∴，
∴的周长．
34．如图，在等腰直角三角形和中，的顶点在的斜边上，求证：．（提示：添加辅助线连接）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，连接，由等腰直角三角形的性质得到，，证明得到，则可证明，由勾股定理可得，，据此可证明结论．
【详解】证明：如图所示，连接，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
．
题型一 与勾股定理有关的几何多结论问题
35．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②③④
C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③．
【详解】解：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
由①中证明，
，
，，
，
，
连接，
，
，
，，
，
故②正确；
设与的交点为，
，，
，，
，
故④正确；
，，
，
故③不正确，
故选：D．
36．如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，证明，得到，，可判定①，结合三角形内角和可判断②，过点A作，，垂足分别为M，N，根据全等三角形面积相等，底边相等可得，利用角平分线的判定可判断③，根据勾股定理可得，可判断④．
【详解】解：由旋转可知：，，，
∴，即，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确，
过点A作，，垂足分别为M，N，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，，
，，
∴，
，
∴，故④正确，
∴正确的有4个，
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
37．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接、与相交于点，下列结论：
①是等腰三角形；②；③是的垂直平分线；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根据等角对等边可得AB＝BC，从而得证；
②根据三角形的内角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；
③证明BD＝CD，根据等三线合一即可得证；
④由②得出BF＝AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE＝AE＝AC，连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG＝CG，再由直角△CEG得出CG2＝CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系．
【详解】解：①∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
故①正确；
②∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC；
故②正确；
③∵在△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，
由点H是BC的中点，
∴是的垂直平分线；
故③正确 ；
④由②知：BF＝AC，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠CEB，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴CE＝AE＝AC，
∴CE＝AC＝BF；
连接CG．
∵BD＝CD，H是BC边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG＝CG，
在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2，
∴CE2+GE2＝BG2．
故④正确．
综上所述，正确的结论由4个．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
38.如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由“”可证，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：如图1，连接，
，，为中点，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，，故①正确；
，
如图2，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证，
，故②错误，
由
，
，
，故③正确；
如图2，连接，

同理可证：，，
，
．故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
题型二 勾股定理与折叠问题的综合运用
39．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长．
（2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长．
【详解】（1）解：，，，
根据翻折的性质可得，
则．
（2）解：设，由折叠可知：，，
在中，
∴
解得：
∴的长为．
40．如图，在四边形中，，，在上选取一点，连接，将沿翻折，使点落在上的点处．求：
(1)的长；
(2)的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用方程解决几何问题，灵活运用勾股定理及翻折的性质是解题的关键．
（1）利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长；
（2）设，则，在中，，据此求出的长度即可．
【详解】（1）解：在中，
∵，
∴，
∵，
∴，（负值已舍），
∴，
∴根据勾股定理得，
∵，
在中，，
∴由勾股定理得；
（2）解：设，由翻折的性质得，，
，
在中，由勾股定理得，
故
解得．
故．
41．阅读材料，解答问题：
(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________．
(2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整：
___________（用含的式子表示）
又______________________．
___________．
(3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长．
【答案】(1)
(2)；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积正方形的面积；；
(3)3
【分析】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：在中，，，，，
由勾股定理得，，
故答案为：；
（2）解：
（用含的式子表示）
又正方形的面积四个全等直角三角形的面积正方形的面积，
，
（3）解：设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，，
则，
解得，，
则的长为3．
42．同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！
(1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明；
(3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用．
（1）运用勾股定理可得的值；
（2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解；
（3）根据折叠，长方形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得，即可求解．
【详解】（1）解：根据勾股定理得，，
故答案为：；
（2）证明：图②的面积，
又图②的面积，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质得：，
∵四边形是长方形，
∴，
在中，，即，
解得：，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴．
43．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求阴影部分的面积．
【答案】(1)3
(2)20
(3)
【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可；
（2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案；
（3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知 ，．
设，则，．
在中，，
∴，
解得，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，则．
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
即，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作于点．
在中，，，．
由，
得，
∴．
44．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：．
【结论运用】
（2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）学校修建这个花园需要投资5040元.
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点.
（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解；
（2）由，根据勾股定理得，求解即可；
（3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解.
【详解】解：（1）如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为．
∴，
∴．
（2）∵的长比的长大2，
∴，
∴，
解得：．
（3）如图所示，过点作于，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，则，
解得，
∴，
解得，
∴．
∴学校修建这个花园需要投资：(元)，
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
45．几何模型：
条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）．
模型应用：
(1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ；
(2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为
(3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值．
（提示：分别作点P关于和的对称点，连接）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键．
（1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；
∵为的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，是高，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，，
∴，，
，
∴的周长，
∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；
∵，
∴，
∴的周长的最小值为．
46．问题提出
（1）如图1，在中，．若，，，则______．
问题探究
（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且．
求证：．
问题解决
（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求得的长，再求即可；
（2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论；
（3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：于点，
在中，，在中，，
在中，，在中，，
，
；
（3）解：，，，
，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
米，
骑行小道的长为米．
（8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练）
基础达标练
题型一 勾股树
题型二 以弦图为背景的计算
题型三 勾股定理与网格问题
题型四 由勾股定理求线段长度
题型五 由勾股定理求面积
题型六 由勾股定理求线段的平方和（差）
题型七 勾股定理的证明方法
题型八 由勾股定理证明线段平方关系
能力提升题
题型一 与勾股定理有关的几何多结论问题
题型二 勾股定理与折叠问题的综合运用