初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.5 反证法课后作业题

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基础达标练
题型一 辨别反证法与举反例
1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：．
求证：，，中不能有两个角是直角．
证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，．
于是．
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立．
所以，一个三角形中不能有两个角是直角．
上述证明方法是（ ）
A．归纳法B．枚举法C．反证法D．综合法
2．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（ ）
A．举反例法B．整体代入法C．反证法D．数学归纳法
3．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．，
C．，D．，
4．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法B．反证法C．综合法D．分析法
5．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”观点是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，学派中的希帕索斯发现了无理数，引发了第一次数学危机． 欧几里得《原本》中对是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么（是互质的正整数），所以，故是偶数，从而是偶数．设，则，即，从而也是偶数，这与 “是互质的正整数”矛盾，于是“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．反证法B．综合法C．举反例法D．列举法
6．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．B．0C．﹣1D．﹣2
7．对于命题“若则”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
8．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝0B．a＝﹣1，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝2
题型二 反证法证明中的假设
9．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A．B．C．D．
10．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ）
A．假设三个外角都是钝角B．假设三个外角中至少有一个钝角
C．假设三个外角中至多有两个钝角D．假设三个外角中至多有一个钝角
11．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（ ）
A．B．C．D．
12．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（ ）
A．四边形的外角中没有钝角B．四边形的外角中有1个钝角
C．四边形的外角中有2个钝角D．四边形的外角全部都是钝角
13．用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ）
A．这个三角形中有一个内角大于
B．这个三角形中有一个内角大于等于
C．这个三角形中每一个内角都大于
D．这个三角形中每一个内角都小于
14．用反证法证明，若，则时，应假设（ ）
A．B．C．D．
15．用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中（ ）
A．有一个钝角B．有两个钝角
C．有三个钝角D．有不止一个钝角
题型三 判断反证法证明步骤
16．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ）
A．①②③B．①③②C．②③①D．③①②
17．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立，∴
③假设在中，
④由，得，即
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
18．求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若，且、被所截，求证：
以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点作直线，使，
②依据理论依据1，可得，
③假设，
④．
⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）

A．①②③④⑤B．①③②⑤④C．③①④②⑤D．③①②⑤④
19．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④）B．③④②①C．③④①②D．④③②①
20．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
题型四 反证法证明无理数
21．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程．
证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，
设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．
，
∴_______________．
是一个偶数，
是一个偶数．
∴_______________．
设（k是正整数），
，
_____________，
是一个偶数．
∴_______________．
∴p和q均为偶数．
这与__________________的假设矛盾．
这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，
所以不是有理数．
22．证明：是无理数．
23．证明：中x不是有理数．
题型五 反证法在代数中的证明
24．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明）
25．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零．
26．请用反证法证明：已知：，求证：．
27．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）
28．用反证法证明“”，求证：必为负数．
证明：假设不是负数，那么是__________或是__________．
①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；
②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________．
综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数．
29．设a，b，c是不全相等的任意实数，若．求证：x，y，z至少有一个大于零．
30．证明：对任意正整数和两数中至少有一个不能等于两整数的平方和.
题型六 反证法在几何中的证明
31．用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”．
32．用反证法证明：如图所示，已知，那么．
33．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等．
34．如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交．
35．用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
36．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于．
已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于．
证明：假设①___________，
所以，②_____________．
这与“③___________”矛盾．
所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于．
37．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
．
题型 反证法的综合问题
38．阅读下列文字，回答问题.
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC． 这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
39．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用反证法证明不可能是直角三角形．
40．七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动：
活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）
已知：如图，直线、被直线所截，．
求证：．
证明：假设，则可以过点作，
∵，
∴（ ），
∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾，
∴假设不成立，
∴．
活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）
已知: ．
求证： ．
证明：
41．已知正整数x，y满足，且满足不等式组．
(1)请用反证法证明：；
(2)求所有符合条件的正整数对．
42．已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
43．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，求证：是直角三角形；
(3)能否为等边三角形？请说明理由．
44．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？
45．人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了．
已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF．
证明：假设 （1） ，
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
∴PQ//CD（ （2） ），
∵AB//CD，且AB也过点G，
∴与（ （3） ）矛盾，
所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF．
请完成上面（1）、（2）、（3）空：
(1)___________；
(2)___________；
(3)请选择合理的依据（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
46．如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且，
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？
47.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义ab为数阵中第a行第b列的数．
例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以32=3．
（1） 对于数阵A，23的值为 ；若23=2x，则x的值为
（2）若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：aa=a；条件二：；则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）；
②已知一个“有趣的”数阵满足12=2，试计算21的值；
③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律ab=ba？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．
（6大题型基础达标练+1大题型能力提升练+拓展培优练）
基础达标练
题型一 辨别反证法与举反例
题型二 反证法证明中的假设
题型三 判断反证法证明步骤
题型四 反证法证明无理数
题型五 反证法在代数中的证明
题型六 反证法在几何中的证明
能力提升题
题型 反证法的综合问题