冀教版（2024）八年级上册（2024）17.5 反证法获奖ppt课件

这是一份冀教版（2024）八年级上册（2024）17.5 反证法获奖ppt课件，共25页。
1.通过实例体会反证法的含义.2.掌握反证法证明命题的一般步骤，能用反证法进行简单的推理证明.3.借助实例感受反证法的思想.
# 17.5 反证法（初中八年级数学）## 一、导入新课（5分钟）1. **情境激趣**：讲述“路边苦李”的故事——王戎七岁时，与小伙伴们在路边发现一棵结满李子的树，其他孩子争相摘李子，王戎却不动，说“这李子是苦的”。引导学生思考：“王戎没吃李子，怎么知道是苦的？”（引导学生说出：如果李子是甜的，路边人多，早就被摘光了，不会剩下满树李子，因此李子是苦的）。2. **逻辑提炼**：点明王戎的思考方式是“反过来想”——先假设结论不成立，再推出矛盾，从而证明原结论正确。引出课题：“这种特殊的推理方法叫做反证法，今天我们就来学习反证法的原理和应用。”## 二、探究新知（20分钟）### （一）反证法的定义与核心思想1. **定义**：反证法是一种间接证明的方法，它先假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立），然后通过逻辑推理，推出与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题的结论一定成立。2. **核心思想**：“否定结论→推出矛盾→肯定结论”，即“正难则反”——当直接证明一个命题有困难时，可采用反证法。### （二）反证法的一般步骤以“证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”为例，梳理反证法的步骤：1. **第一步：假设结论不成立（反设）** 假设命题的结论反面成立。即假设“三角形的三个内角都大于60°”（“至少有一个”的反面是“全部都不”）。2. **第二步：推出矛盾（归谬）** 根据假设进行推理：设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，因此∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。 但三角形内角和定理告诉我们“三角形内角和等于180°”，这与推理得出的“∠A+∠B+∠C>180°”矛盾。3. **第三步：肯定原结论成立（结论）** 由于假设导致矛盾，说明假设不成立，因此原命题的结论成立，即“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。### （三）反证法的适用场景1. 直接证明困难的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题证明）；2. 含有“至少”“至多”“唯一”“不可能”等关键词的命题（如“证明：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”）；3. 否定性命题（如“证明：√2是无理数”）。### （四）注意事项1. 反设时要准确把握结论的“反面”，避免反设错误（如“大于”的反面是“小于或等于”，而非“小于”；“至少有一个”的反面是“一个也没有”）；2. 归谬时的推理必须严谨，矛盾的产生要与已知条件、定义、公理等相关，不能凭空制造矛盾；3. 反证法的核心是“矛盾”，没有矛盾则无法证明原结论成立。## 三、例题讲解（12分钟）### 例题1：基础应用（证明“唯一性”命题）- 题目：证明：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。- 解答： 1. 先证明“存在性”（略，已学过过直线外一点可作一条直线与已知直线平行）； 2. 再用反证法证明“唯一性”： ① 假设经过直线l外一点P，有两条直线a、b都与直线l平行； ② 根据平行公理的推论“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，可得a∥b； ③ 但直线a、b都经过点P，两条互相平行的直线不能有公共点，这与“a、b都过P点”矛盾； ④ 因此假设不成立，原结论成立，即经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。- 强调：“唯一”的反面是“至少有两个”，反设时要明确这一点。### 例题2：综合应用（证明几何命题）- 题目：证明：在△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C。- 解答： 1. 反设：假设∠B=∠C； 2. 归谬：根据“等角对等边”的性质，若∠B=∠C，则AB=AC；但已知条件是AB≠AC，这与推出的“AB=AC”矛盾； 3. 结论：因此假设不成立，原命题成立，即如果AB≠AC，那么∠B≠∠C。- 小结：这是“正难则反”的典型案例，直接证明“AB≠AC→∠B≠∠C”不易，通过反设“∠B=∠C”，利用已有性质推出矛盾，简化证明过程。### 例题3：拓展应用（证明无理数）- 题目：证明：√2是无理数。- 解答： 1. 反设：假设√2是有理数，那么可设√2=q/p（p、q为互质的正整数，即p、q的最大公因数为1）； 2. 归谬：两边平方得2=q²/p²，即q²=2p²，因此q²是偶数，所以q也是偶数（偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数）；设q=2k（k为正整数），则(2k)²=2p²，化简得4k²=2p²，即p²=2k²，因此p²也是偶数，p也是偶数； 3. 此时p、q都是偶数，说明它们的最大公因数至少为2，与“p、q互质”矛盾； 4. 结论：因此假设不成立，√2是无理数。- 强调：反证法在数论证明中应用广泛，关键是通过代数运算推出与“互质”“整数”等定义的矛盾。## 四、课堂练习（8分钟）1. 基础题：用反证法证明“在一个三角形中，最多有一个直角”，第一步应假设（ ） A. 三角形中有一个直角 B. 三角形中有两个直角 C. 三角形中有三个直角 D. 三角形中没有直角（答案：B）2. 中档题：证明：垂直于同一条直线的两条直线平行（提示：反设两条直线不平行，即相交，推出与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾）。3. 拓展题：证明：在△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠C180°，与内角和定理矛盾）。- 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注反设是否准确、推理是否严谨，最后集体订正，讲解易错点（如反设错误、矛盾推导不充分）。## 五、课堂小结（2分钟）1. 引导学生回顾：反证法的定义、一般步骤是什么？（反设→归谬→结论）2. 强调关键点： - 反设是核心，要准确把握结论的反面； - 归谬要严谨，矛盾需与已知条件、定义、公理等相关； - 适用场景：直接证明困难、含“至少”“唯一”等关键词的命题。3. 总结思想方法：反证法体现了“正难则反”的数学思想，为解决复杂命题提供了新的思路，后续学习中会在几何、代数等领域进一步应用。
在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.
在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢?思考：该命题直接去证明，显然比较麻烦，所以，我们如何去证明呢？
已知：如图17-5-1，∆ABC.求证：在∆ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.
证明：假设∆ABC中，有两个（或三个）直角，不妨设∠A=∠B=90°.∵∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B+∠C>180°.这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.
现在你能总结反证法的一般思路吗？
反证法证明的一般步骤：第一步，假设命题的结论不成立。第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。
例1：用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知:如图，已知AB ∥CD，直线EF分别于直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角.求证： ∠1= ∠2.
证明：假设∠1 ≠ ∠2 过点G作直线MN，使得∠EGN= ∠1 . ∵ ∠EGN= ∠1 , ∴MN ∥CD（基本事实） 又∵ AB ∥CD（已知） ∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行， 这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾。 ∴ ∠1 ≠ ∠2的假设是不成立的。 因此， ∠1= ∠2.
例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′.不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取连接A′D .在△ABC和△A′B′C′中，∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D，∴△ABC≌△A′DC′(SAS).∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等).∴AB = A′B′ (已知)，∴A′B′ = A′D(等量代换).
接上页证明∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角).∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)，即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).这与∠C′＝90°相矛盾.因此，BC≠B′C′的假设不成立，即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立.所以，△ABC≌△A′B′C′.
1．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　　　　.　　　　　　　　2．“ab C．a=b D．a=b或a>b
3．证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ） A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角
4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
5．完成下列证明．在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是 或 ，当∠B是 时，则 ，这与 矛盾；当∠B是 时，则 ，这与 矛盾．综上所述，假设不成立． ∴∠B一定是锐角．
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条D. 垂直的定义
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
正确的顺序应为( )
A. ①②③B. ①③②C. ③②①D. ③①②