数学八年级上册（2024）17.4 直角三角形全等的判定完美版课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）17.4 直角三角形全等的判定完美版课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了几何语言，第3题，第4题，第7题，第9题，或9或12等内容，欢迎下载使用。
1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用；2.会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形；3.初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.
# 17.4 直角三角形全等的判定（初中八年级数学）## 一、导入新课（5分钟）1. **旧知回顾**：提问学生：“我们之前学过的判定两个一般三角形全等的方法有哪些？”（引导学生回答SSS、SAS、ASA、AAS），随后追问：“直角三角形是特殊的三角形，它有一个角固定为直角，那判定两个直角三角形全等，除了上面这些方法，有没有更特殊的依据呢？”2. **情境猜想**：展示两把完全相同的含30°角的三角尺，提问：“这两把三角尺的斜边和一条直角边分别相等，它们能完全重合吗？”再让学生思考：“如果任意两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形是否全等？”引出本节课主题——直角三角形全等的判定。## 二、探究新知（20分钟）### （一）特殊判定方法——HL定理探究1. **动手验证**：组织学生进行尺规作图实验。 ① 要求学生画一个Rt△ABC，使∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm； ② 再画一个Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=3cm，A'B'=5cm； ③ 把画好的Rt△A'B'C'剪下来，放到Rt△ABC上，观察两者是否完全重合。2. **定理证明**：基于作图结果，进行严谨证明。 已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'。 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 证明：∵∠C=∠C'=90°，根据勾股定理可得\(BC^2=AB^2 - AC^2\)，\(B'C'^2=A'B'^2 - A'C'^2\)。又∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'。在△ABC和△A'B'C'中，AC=A'C'，BC=B'C'，AB=A'B'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SSS）。3. **定理总结**：由此得出直角三角形全等的特殊判定定理：**斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等**，简写成“斜边、直角边”或“HL”。4. **符号语言**：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，\(\begin{cases}AB = A'B' \\ BC = B'C'\end{cases}\)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。注意书写时需标注“Rt”，表明三角形为直角三角形。### （二）直角三角形全等的所有判定方法直角三角形兼具一般三角形的性质，因此判定其全等的方法有5种，可分类梳理：|判定方法|适用场景|| ---- | ---- ||SSS|三边对应相等的两个直角三角形||SAS|两条直角边对应相等的两个直角三角形||ASA|一个锐角和一条相邻的直角边对应相等的两个直角三角形||AAS|一个锐角和一条对边（可是直角边或斜边）对应相等的两个直角三角形||HL|斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形|特别提醒：HL是直角三角形特有的判定方法，一般三角形不能用该方法，且不能将HL等同于一般三角形中不成立的“SSA”判定。## 三、例题讲解（12分钟）### 例题1：基础应用（HL定理直接判定）- 题目：点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，且PC=PD。求证：点P在∠AOB的平分线上。- 解答：作射线OP。∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°。在Rt△OPC和Rt△OPD中，\(\begin{cases}PC = PD \\ OP = OP\end{cases}\)，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）。∴∠POA=∠POB，即OP是∠AOB的平分线，点P在∠AOB的平分线上。- 小结：涉及直角三角形且有斜边和直角边对应相等时，优先用HL定理判定全等。### 例题2：综合应用（HL与等腰三角形性质结合）- 题目：在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE。求证：AB=AC。- 解答：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠CEB=90°。在Rt△BDC和Rt△CEB中，\(\begin{cases}BD = CE \\ BC = CB\end{cases}\)，∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）。∴∠BCD=∠CBE，根据等角对等边，可得AB=AC。- 小结：通过HL判定直角三角形全等，可进一步推导角的关系，进而解决边的等量问题。### 例题3：易错辨析（区分不同条件的判定合理性）- 题目：判断“有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等”这句话是否正确，并说明理由。- 解答：不正确。分情况讨论，若两个直角三角形的两条直角边对应相等，可通过SAS判定全等；但如果一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边对应相等，另一条边对应相等，无法满足全等判定条件，例如Rt△ABC中直角边3cm、4cm，Rt△DEF中直角边3cm、斜边4cm，这两个三角形不全等。- 小结：判断直角三角形全等时，需明确对应边的类型，避免因边的对应关系混淆导致错误。## 四、课堂练习（8分钟）1. 基础题：下列能判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的是（ ） A. ∠A=∠D，∠B=∠E B. AB=DE，BC=EF C. AB=DE，AC=DF D. ∠A=∠D，BC=EF （答案：C）2. 中档题：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，另一个Rt△A'B'C'中，∠C'=90°，A'B'=10，A'C'=8，则Rt△ABC和Rt△A'B'C'______（填“全等”或“不全等”），依据是______（答案：全等，HL）。3. 拓展题：DE⊥AB的延长线于E，DF⊥AC于F，BE=CF，DB=DC。求证：AD平分∠BAC（提示：先证Rt△BDE≌Rt△CDF，再证Rt△ADE≌Rt△ADF）。## 五、课堂小结（2分钟）1. 回顾核心知识：直角三角形特有的全等判定定理HL，以及可适用的SSS、SAS、ASA、AAS四种通用方法。2. 强调关键要点：HL定理仅适用于直角三角形，书写证明过程需标注Rt；判定时要找准边和角的对应关系。3. 总结解题思路：遇到直角三角形全等问题，优先观察是否满足HL条件，再考虑通用判定方法，灵活结合勾股定理、角平分线性质等知识解题。
回忆三角形的判定定理：
SSS(三边对应相等的两个三角形全等).ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等).SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等).AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等).
在我们学习了勾股定理以后，在一个直角三角形中，由勾股定理可知:如果两条边确定，那么第三边也随之确定.所以大家思考一下，在一个直角三角形中， 如果斜边和直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠ C′＝90°，AB ＝ A′B′ ，AC＝ A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∠C＝90°，∠C′＝90°， ∴ BC2 ＝ AB 2－ AC 2 ， B′C′2 ＝ A′B′ 2－ A′C′ 2 (勾股定理). ∵ AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′. ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).
直角三角形全等的判定定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
现在请同学们思考，证明两个直角三角形全等的方法有哪些？
已知：如图(1)，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC＝PD.求证：点P在∠AOB的平分线上.
已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知：如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，AB＝c.
作法：（1）作线段CB＝a.（2）过点C，作MC⊥CB.（3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A.（4）连接AB.
1.回答下列问题，并说明理由.(1) 有两条边分别相等的两个直角三角形是否全等?(2)有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形是否一定全等?
2.已知:如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D，E，BD=CE.求证:AB=AC.
3.已知:如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，CE=DF，AC=BD.求证:(1) AE=BF.(2) AC//BD.
2. 下列条件不能作出唯一直角三角形的是( )
A. 已知两条直角边B. 已知一锐角和一斜边C. 已知两锐角D. 已知斜边和一直角边
A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对