浙江省绍兴市诸暨市名校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省绍兴市诸暨市名校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 二次函数 的顶点坐标为， 设抛物线C1， 定义等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 已知⊙O的半径为5．若，则点与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点在上
C. 点在外D. 无法判断
【答案】C
【解析】∵，
∴点与的位置关系是点在圆外．
故选：C．
2. 二次函数 的顶点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】二次函数y＝−（x＋2）2−1的顶点坐标为（−2，−1）．
故选D．
3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A. 第①块B. 第②块
C. 第③块D. 第④块
【答案】B
【解析】第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃
故选：B．
4. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A．
5. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点，，）都在该抛物线上，且，
∴，
故选：B．
6. 三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（ ）
A. 3B. 4
C. 5D. 6
【答案】C
【解析】∵，
∴该三角形为直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10，
∴此三角形的外接圆半径是5．
故选：C
7. 如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A. 或B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵直线与抛物线交于两点，
∴当时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式的解集为．
故选：B．
8. 如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
【答案】1
【解析】连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×2＝1，
即CD的最大值为1，
故答案为1．
9. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④．
其中正确的个数有（ ）个
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵抛物线的开口向下，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
∵抛物线交轴正半轴，
，
∴，故①正确，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
∵图象过点，
，
，
，
∴，故②错误，
当时，函数有最大值，
，
∴（为常数），故③正确，
，
∴，故④正确，
正确的个数有3个，
故选：C．
10. 定义：抛物线（，，为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则的值为（ ）
A. B.
C. 2D. 1
【答案】B
【解析】，
，．
抛物线的“相对深度”为6，
，
．
，
．
．
，
．
．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 如图，在中，，的度数是_____．
【答案】
【解析】∵，，
∴．故答案为：．
12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，已知，则__________．
【答案】
【解析】∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
13. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数是____个．
【答案】3
【解析】∵，
∴二次函数的图象与x轴有2个交点，
当时，，
∴函数图象与y轴交于点，
∴图象与坐标轴的交点个数是3．
故答案：3
14. 如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则_____．
【答案】
【解析】连接，
∵的半径弦于点，
，
设，
∵弦垂直平分半径，
，
在中，，
，
解得：，
∴，
∵，
，
∵是直径，
，
，
故答案为：．
15. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】当时，，解得，
，
∵将绕旋转得到，交轴于，将绕旋转得到，交轴于，
，
．．．
，
即，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵拋物线的开口向上，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
16. 二次函数，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为____________
【答案】0.5
【解析】二次函数的对称轴为直线，开口向下，大致图象如下：
且，
，
分两种情况讨论：
第种情况：当时，此时，
∴当时，y随x增大而增大，
当时，y取最小值2m，即，
解之得：舍去．
当时，y取最大值2n，即，

这两个根都与相矛盾，
故全部舍去．
第情况：当时，此时，
根据图象：
当时，y的最小值为2m，即：，
解之得：舍去，
当时，y取最大值为2n，即：
解之得：
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17. 已知二次函数的图像经过点．
（1）求的值；
（2）求此二次函数顶点坐标．
（1）解：将代入得：，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴此二次函数的顶点坐标．
18. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，，
（1）求圆的半径；
（2）求弦的长．
（1）解：∵，
，
；
（2）解：∵，，
，
，
，
．
19. 已知二次函数中的x，y满足如表：
（1）直接写出该函数图象的开口方向；
（2）当时，求自变量x的值；
（3）直接写出当时，x的取值范围．
（1）解：∵图象经过，，
∴图象对称轴为直线，
由表格可得，时，y随x增大而增大，
∴抛物线图象开口向上；
（2）∵关于直线的对称点是，
∴当时，求自变量x的值为或5；
（3）∵函数图象经过，，开口向上，
∴当时，x的取值范围为：．
20. 如图，是的直径，是的弦，如果．

（1）求的度数．
（2）若，求的长．
（1）解：是的直径，
，
，
，
；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
21. 如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．
（1）解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为米，
∴；
∵，
解得：；
∴S与x之间的函数关系式为：
，（）；
（2）解：由（1）可知，，
∴；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为50；
∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米；
22. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价；
（3）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（1）解：设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，
由题意得：，
∵每件售价不能高于105元，
∴，
解得：，
又∵x为正整数，
∴y与x的函数关系式为（，x为正整数）．
（2）解：由题意得：，
解得：（舍弃），
，
答：每件衬衫的售价90 元．
（3）解：由（1）知，
∴，开口向下，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
此时每件衬衫的售价为（元），
答：每件衬衫的售价定为 100 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润 7200 元．
23. 我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现以一个单位长度代表1米，以地面为x轴，以甲同学站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2．
（1）求值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）；
（2）若乙同学准备在点处接球．
①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值；
②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围．
（1）解：把点A的坐标代入中得，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点的横坐标为，纵坐标为，
∴顶点坐标为；
（2）解：①由题意得，乙同学接球点的坐标为，即，
把代入到中得，解得；
②当抛物线恰好经过点，即时，
则，解得，
∴若甲同学发出的球，乙同学可以接到，则．
24. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
（1）解：抛物线与轴的交点坐标是、，
设该抛物线解析式为，
将点代入函数解析式代入，得，
解得，
该抛物线的解析式为：，
联立方程组：，
解得或，
∵，
∴点的坐标是；
（2）解：如图所示：
过点作轴，交于点，
设，则，
，
，
当时，的面积的最大，最大值为，此时；
（3）解：设直线与轴相交于点，则，
∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，
∴设点坐标为，则点点坐标为，
，，，
轴，，
若为直角三角形，则是等腰直角三角形，
①当时，过点作于，
，，，
，解得：（舍去）或，；
②当，则，
，
解得（舍去）或，
；
综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
0
3
8
…