浙江省杭州市名校2025-2026学年九年级上册10月月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市名校2025-2026学年九年级上册10月月考数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分)
1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球绕着太阳转
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【解析】 A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；
C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；
故选∶ A．
3. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A. 4个B. 3个
C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题；
②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题；
③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题．
∴真命题只有1个，
故选：D．
4. 已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
∴的一个解x的取值范围为．
故选：B．
5. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O的直线交于点E，交于点F，米粒随机撒在平行四边形上，那么米粒最终停留在阴影部分的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵平行四边形中，对角线相交于点O，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的，
∴米粒最终停留在阴影部分的概率是．
故选：A．
6. 在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆外
C. 点B在圆上D. 点B在圆外
【答案】C
【解析】，，．
，
，，，
可得点在内，点在上．
故选：C．
7. 比较二次函数与的图象，则（ ）
A. 开口大小相同B. 开口方向相同
C. 对称轴相同D. 顶点坐标相同
【答案】C
【解析】开口大小由决定，越大，开口越小，中，中，不相等，开口大小不同，A错误；
中，开口向下，中，开口向上，方向不同，B错误；
对称轴为直线，对称轴为直线，两函数对称轴均为直线，C正确；
顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标不同，D错误；
故选：C．
8. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：B．
9. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵点的坐标为，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B．
10. 如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中：
；
；
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
．
其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个
C. 个D. 个
【答案】B
【解析】抛物线与轴交于点，
，故正确；
抛物线的顶点坐标是，
，
，
，故错误，
抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点为，
时，，
，故正确；
抛物线开口向上，顶点坐标为，
函数有最小值，
抛物线与直线没有交点，
关于的一元二次方程没有实数根，故错误；
，
抛物线为，
与轴交于点，
，

与轴交点的纵坐标在和之间不含端点，
．
．
，故正确；
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 二次函数的顶点坐标是___________．
【答案】（-2，-1）
【解析】∵二次函数y=（x+2）2-1是顶点式，
∴顶点坐标（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
12. 把抛物线向右平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式是______．
【答案】
【解析】∵抛物线先向右平移个单位，
∴根据“左加右减”规律可得抛物线平移后是，
故答案为：．
13. 三张完全相同的卡片上分别写有函数y = 2x，y = ，y = x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随x的增大而增大的概率是 _________ ．
【答案】
【解析】∵三张完全相同的卡片上分别写有函数y = 2x，y = ，y = x2，其中函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的有y = 2x，y = x2，
∴所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是：．
故答案为．
14. 如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__．
【答案】##
【解析】对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点与关于直线对轴，
，
不等式，
即，
抛物线的图形在轴上方，
．
故答案为：．
15. 外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________．
【答案】6
【解析】如图，设圆的圆心为点O，
∵直径是圆中最大的弦，
∴过P，O作圆的直径，则，，
∴，
∴圆的直径为，
故答案为：6．
16. 如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论：
①的长可以为；
②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值；
③农场面积的最大值为；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过．
其中，正确结论的是______．(只需填序号)
【答案】②④
【解析】设边长为 则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，
故①不正确．
菜园面积为，
．
解得：．
又，
．
满足条件的的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为，
根据题意得：
，，
当时，有最大值，最大值为不可能为．
故③不正确．
直径一侧是围墙，当直径取最大值时，半圆的弧长为，
设沿方向栅栏延伸米，则
．
农场的最大面积为．
农场的面积可以超过
故④正确．
故答案为：②④．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点的坐标分别为
（1）在网格所在的平面内，请画出平面直角坐标系；
（2）将绕着原点顺时针旋转得，画出．
解：（1）坐标系如图：

（2）如图：
18. 已知二次函数的图像经过，两点．
（1）求和的值；
（2）试判断点是否在此函数图像上？
解：（1）把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？
（2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率．
解：（1）统计表中第三行的数据分别为：
因此，当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
白球的概率为，设口袋中白球个数为x个，
则，解得，即口袋中白球个数为3个；
（2） 设白球为，黑球为B，由题意，将这4个球中3白1黑，摸球的所有可能的结果有12种，如下表所示：
它们每一种结果出现的可能性相等，
从表中看出，两次摸出的两个球颜色相同的概率的结果有6种，
故两次摸出的球都是黑的概率为．
20. 如图所示，在中，半径弦，垂足为D，．求半径的长．
解： 连接，
∵半径弦，
∴，
∵，
∴，
设的半径为r，
∵，
∴，
在中，，
即
∴，
答：的半径长为10．
21. 素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图1是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）这艘货船能否安全过桥？
解：（1）由题易知，，抛物线的顶点为点，
设抛物线的解析式为，
将分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）根据题意得，点D的横坐标为，
把代入，
得
∵，
∴该船能安全通过．
22. 如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，．
（1）连接，证明为等腰直角三角形；
（2）连接，若点，在上，且，求证：．
证明：（1）∵为直径，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形；
（2）连接，交于，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数，）．
（1）判断该函数图像与轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图像的对称轴为直线，，为该函数图像上的任意两点，其中，求当，为何值时，；
（3）若该函数图像的顶点在第二象限，且过点，当时求的取值范围．
解：（1），
，
，
故函数图像与轴的交点个数为个；
（2）函数图像的对称轴为直线，
，则，
则函数表达式为，
当时，有，
解得或，
，
，；
（3）将代入函数表达式得，则，
，故，解得，
则函数表达式为，
由（1）知，函数图像与x轴的交点个数为个且图像的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即，
则函数图像的对称轴，解得，
，
，
，
即的取值范围为．
24. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）由，当时，，则
∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立解得：，
∴
综上所述，或；
（3）∵，，
∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
x


y


摸球次数n
1000
2000
4000
5000
8000
10000
…
摸到白球的次数m
749
1499
2998
3751
6000
7501
…
摸到白球的频率
0．7490
0．7495
0．7495
0．7502
0．750
0．7501
…
0．7490
0．7495
0．7495
0．7502
0．750
0．7501