2025-2026学年浙江省杭州市名校九年级上学期月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市名校九年级上学期月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：D．
2. 已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在外
C. 点P在上D. 无法判断
【答案】A
【解析】∵的半径，，
∴，
∴点P在内．
故选：A
3. 在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】中，，，，
∴，
，，．
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
4. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
，
∵所对圆周角是，所对圆心角是，
．
故选：B．
5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【解析】
根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，
A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意；
D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意；
故选：B．
6. 如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵，
为的直径，即，
∵玉佩的形状是扇形，
∴，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，与位似，原点是位似中心．
∴位似比为，
∵的周长表示为，则的周长表示为．
故选：A．
8. 已知二次函数，当时函数值有最小值，则的值为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】，
∴顶点为．
当时，；
当时，．
当时，开口向上，
当时，随的增大而减小，
∴当时，函数值有最小值．
，解得．
当时，开口向下，
当时，随的增大而增大，
∴当时，函数值有最小值．
，解得．
综上所述，的值为或．
故选：C．
9. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．射线交正方形的边于点E，记的面积为，四边形的面积为．若，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，过A作交延长线于点G，过点E作于点F，
根据题意得：，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
10. 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵在图3中，，
∴．
过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的．
∵点O是的中点，
∴．
∴，
同理可知：图1液面的右端点是
根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴，
设这个抛物线的解析式为：，
则由图1可知，抛物线经过点和点，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式是：．
令，
解得
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式是：，
∵直线经过点，，
∴
解得：，
∴直线的解析式是：，
将抛物线与直线的解析式联立得：
，
解得：或，
∴，
又∵，
∴
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分
11. 计算___________．
【答案】
【解析】；
故答案为：．
12. 已知，则代数式的值为__________
【答案】
【解析】设，
则，，，
则，
故答案为：．
13. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______．
【答案】6s
【解析】由题意，令，得
，
整理得，
解得．
故答案为．
14. 若C是线段的黄金分割点（），若，则线段的长为 ___________．
【答案】
【解析】设，则有，
∵C是线段的黄金分割点，，
∴，即，
解得：；
∴；
故答案为：．
15. 如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的内角度数为______．
【答案】或
【解析】如图，
∵重叠部分是正八边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∴菱形的内角度数为或，
故答案为：或．
16. 在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中，轴上方区域存在沿轴负方向的匀强电场，轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从处射出，先沿抛物线运动至点，再沿弧运动至点．为弧所在圆的圆心，连接．已知点的坐标为，，则______，的长为______．
【答案】 ①. ②. 8
【解析】如图，连接，，过点作于点，
，，
，，
，
，
，
设
，
，点的坐标为，
，
解得，
，，
，
，，
∴，
将代入
得：
解得：
抛物线解析式为：
当
，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知，二次函数经过，两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若，求取值范围．
解：（1）由题意得，
解得，
故这个二次函数的表达式；
（2）当时，，
解得，，
，
时，或 ．
18. 如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．
（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；
（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．
解：（1）画出树状图得：
由图可知，小明进入密室后一共有6种不同的可能路线，
因为小明是任选一条道路，
所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入密室的有2种可能，进入密室的有4种可能，
所以进入密室可能性较大；
（2）由（1）可知小明进入密室的通道分别是中入口和右入口，
因此从中间通道进入密室的概率为．
19. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
解：（1），
，，
，
；
（2），
，
在中，，
．
20. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21. 数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数．
[总结归纳]
（1）填空：的顶点坐标为______，的顶点坐标为______．
[知识应用]
（2）求的互利函数解析式；
（3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点，设的顶点为．若，．求证：这两个函数的图象的交点为、．
解：（1）已知二次函数与，，
∴的顶点坐标为，的顶点坐标为．
故答案为：，．
（2），
互利函数解析式为．
（3）证明：，，
，
∴它的互利函数为．
它的顶点坐标为．
经过点，
，解得．
，，
，．
联立，解得或，
∴这两个函数的图象的交点为，．
∴这两个函数的图象的交点为、．
22. 综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？
素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．
素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得，，．
根据以上素材解决问题：
（1）求灯杆的长度．
（2）求灯管支架的长度．（结果精确到．参考数据：）
解：（1）∵在中，，
，
．
（2）如图，过点C作于点E，过点B作于点E．
设．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
所以灯管支架的长约为．
23. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示）
（1）直接写出经过、、三个点二次函数表达式；
（2）当函数值随的增大而增大时，求的取值范围；
（3）当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围．
解：（1），
∴当时，，当时，，
解得：，，
∴图象与坐标轴的交点为，，，
设经过、、三个点的二次函数表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴经过、、三个点的二次函数表达式为；
（2）根据图象得：图象的对称轴为直线，
观察图象得：当或时，函数值随值的增大而增大；
（3）如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点，
，
解得：，
当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点，
，
解得：，
当时，，
当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点，
令，
整理得，，
，
解得，，
结合图象得，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或．
24. 如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交圆于点，连结交于点，记
[认识图形]（1）求证：．
[探索关系]（2）求证：．
[问题解决]（3）若点与点关于对称
①当时，求的值．
②若，求最大值．
解：（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∴；
（2）证明：∵，∴，
由上知，，
∴，
∴，∴；
（3）如图，
连接，，
∵ 点与点关于对称，
∴ 垂直平分，
，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵ 四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，∴，
① 由设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，∴，
∴，
∴；
②由①知， ，设，
∴，
由①知，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴ 当时，最大．