浙江省绍兴市名校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省绍兴市名校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A. y＝2x2﹣2B. y＝﹣2x2﹣2
C. y＝2 （x﹣2）2D. y＝（x+2）2
【答案】D
【解析】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；
B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；
C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项不正确，不符合题意；；
D. y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；；
故选D
2. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在上
C. 点P在外D. 无法判断
【答案】A
【解析】圆的半径，点P到O的距离，
∴，
∴点P在内，
故选：A．
3. 下列成语或词语所反映的事件中发生的可能性大小最小的是（ ）
A. 夕阳西下B. 旭日东升
C. 瓜熟蒂落D. 守株待兔
【答案】D
【解析】A．夕阳西下，是必然事件，发生的概率为1；
B．旭日东升，是必然事件，发生的概率为1；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的概率为1；
D．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，发生的可概率小于1；
∴4个选项中可能性大小最小的是守株待兔，
故选：D．
4. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】．
故选：C．
5. 已知点是抛物线上的两点，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵2＜3＜，
∴，
故选：A．
6. 如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，
则表达式为的抛物线，左移1个单位，下移2个单位得原函数解析式为，即，
故选：C．
7. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
当时，取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下
B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是直线x＝－
【答案】D
【解析】将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4．
A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确；
C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确；
D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确．
故选D．
9. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
故①正确；
②当时，，
∴，
故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线，
∴与的函数值相同，
∴时，，即，
故③错误；
④∵，
∴，
将代入得，
故④正确；
⑤∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
当时，，
∴，
∴（为实数且），
故⑤正确．
综上，正确的有①④⑤，一共3个．
故选：C．
10. 如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接．若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】在上截取，作于F，连接，如图，
在中，，，，
，
，
在中，，
，
，
，
∵将线段绕点顺时针旋转至，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
∴当时，有最小值，即有最小值，
则的最小值为．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 已知二次函数经过原点，则的值是_____．
【答案】1
【解析】∵二次函数的图象经过原点，
∴，
∴，
故答案为：1．
12. 一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是_____．
【答案】
【解析】∵一个不透明的盒子中装有9个除颜色外其他均相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球3个红球，
∴从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：．
故答案为：．
13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，，若，则______度．
【答案】
【解析】将绕点A逆时针旋转得到，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为_____m．
【答案】.
【解析】如图：
以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y＝ax2+5，
把A（5，0）代入，得a＝﹣ ，
所以抛物线解析式为：y＝﹣x2+5，
当x＝3时，y＝，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m．
故答案为．
15. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数表达式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为_____．
【答案】20
【解析】，
∵，
∴当时，该函数有最大值600．
即飞机着陆后滑行的最长时间为
故答案为：20．
16. 如图，抛物线交轴于点、点，交轴于点且点在点的左侧，顶点坐标为．在轴右侧的抛物线上存在点，使点到直线的距离为，则点的坐标_____．
【答案】，，
【解析】抛物线顶点坐标为，
抛物线的顶点式为：，展开后得，
又抛物线交轴于点、点，交轴于点且点在点的左侧，
令，则，得到，
令，则，解得，，得到，．
设直线的表达式为，
把，代入可得，解得，
直线的表达式为．
由，可知，
是等腰直角三角形，
设点的坐标为，
点在轴右侧的抛物线上，
，
过点作于点，即，
再轴交于，
，，
是等腰直角三角形，
，
点在直线上，且横坐标为，代入直线的解析式，得到点纵坐标为，
，
化简得．
①，
解得或（舍去），
当时，，
故；
②，
解得或，
当时，，
故；
当时，，
故；
故答案为：，，．
三、解答题（第17—21题每题8分，第22—23题每题10分，第24题12分，共72分）
17. 已知二次函数，
（1）求此函数图象的顶点坐标和与轴的交点坐标；
（2）当取何值时，抛物线在轴的上方？
（3）当取何值时，随的增大而增大？
解：（1），
所以此函数图象的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
所以与轴的交点坐标为，；
（2）∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，
∵与轴的交点坐标为，，
∴当或时，抛物线在轴的上方；
（3），
二次函数开口向上，对称轴为，
所以当时，随的增大而增大．
18. 已知函数，请按要求填空或解答问题：
（1）函数图象的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____．
（2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；
（3）利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）．
解：（1）∵，
∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
故答案为：，；
（2）
如图，
由图象可知，当时，函数值；
（3）方程的近似解即为与的交点横坐标，由图象可知，．
19. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．
解：（1）由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近；
故答案为：；
（2）由（1）摸到白球的概率为，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（个）；
（3）列表得：
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能．
（颜色相同）．
20. 如图，在单位长度为的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．
（1）请完成如下操作：根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，连接、．
（2）请在的基础上，完成下列填空：
的半径_____（结果保留根号）
求出四边形的面积．
解：（1）如下图所示，连接线段、，作线段、的垂直平分线，
两条垂直平分线的交点即为圆心，
连接、；
（2）是半径，并且是直角边长为和的直角三角形的斜边，
，
的半径是，
故答案为：；
由图可知，，边上的高是，
，
由图可知：，
的半径是，
边上的高是，
，
四边形面积是.
21. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．
已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案，设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为．
（1）在方案一中，
①求S与的函数表达式；
②若围成的花圃面积为，求与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，求与墙平行的边的长度为多少米？
解：（1）①与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
∴，
②根据题意得，
解得，
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）设与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，则与墙垂直的边的长度为，
根据题意得，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
22. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
解：(1)由题意可得：整理得；
(2)由题意，得：
∵，
∴有最大值，
即当时，，
∴应降价(元)
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
(3)由题意，得：
解之，得：，，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故，
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
23. 已知点是二次函数图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当时，求函数的最大值与最小值的和；
（3）当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值．
解：（1）∵已知是二次函数图象上的点，
∴，
解得，
∴此二次函数的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴当时，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∴当时，函数的最大值与最小值的和为；
（3） 当时，，
当时，，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，点关于对称轴的对称点为，
分以下三种情况讨论：
当时，当时，随的增大而减小，当时，有最小值，当时，有最大值，
∴，
解得，
∴，；
当时，当时，有最小值，当时，有最大值，
，不符合题意；
当时，当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，的值为或．
24. 如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点．
（1）求该二次函数的表达式和顶点的坐标；
（2）若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围；
（3）试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标．
解：（1）∵二次函数的图象经过三点，
∴设二次函数的解析式为，
把代入得：，解得
∴二次函数的解析式为，
∴顶点M的坐标是，
答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是．
（2）把代入得：，解得，
∴正比例函数的解析式为，
联立，解得或
∵
∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为，
由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值，
答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是．
（3）设正方形边长为，
∴，，
∵点是轴上一动点，，
∴和都垂直轴，
∴或不可能在抛物线上，或，
当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或；
当在抛物线上时，
若在的左上方时，，，，
把代入得，
解得（舍去），
此时，；
若在的左下方时，，，，
把代入得，
解得（舍去），
此时，；
若在的右上方时，，，，
把代入得，解得（都不符合题意，舍去）；
若在的右下方时，，，，
把代入得，解得（都不符合题意，舍去）；
综上所述，或或或。
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
x
0
1
y
0
0
摸球的次数
2048
4040
10000
12000
24000
摸到白球的次数
1061
2048
4979
6019
12012
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
第二次
第一次
白1
白2
黑1
黑2
白1
（白1，白1）
（白1，白2）
（白1，黑1）
（白1，黑2）
白2
（白2，白1）
（白2，白2）
（白2，黑1）
（白2，黑2）
黑1
（黑1，白1）
（黑1，白2）
（黑1，黑1）
（黑1，黑2）
黑2
（黑2，白1）
（黑2，白2）
（黑2，黑1）
（黑2，黑2）
方案一
方案二
如图1，围成一个矩形花圃.

如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）.