2025-2026学年浙江省金华市名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省金华市名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.下列函数中是二次函数的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】A、是二次函数，故正确；
B、是一次函数，故错误；
C、是反比例函数，故错误；
D、不二次函数，故错误．
故选A．
2.在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A.3B.4
C.5D.6
【答案】D
【解析】当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
4.已知△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4.若BC＝1，则EF的长为( )
A.1B.2
C.3D.4
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4，
∴BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2，
故选B．
5.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】解：，
故选：B．
6.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为（ ）
A.2B.4
C.D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7.如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A.点B.点
C.点D.点
【答案】D
【解析】连接，交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D．
8.如图，已知正方形的边长为，以为直径作两个半圆，分别取弧，弧的中点M，N，连结．则阴影部分的周长为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】如图，取的中点O，连接，设交于点E，
∵N是弧的中点，
，
，
，
∴，
，
，
在中，，
，
∵点M，N分别为弧，弧中点，
∴弧，弧的长度和为，
图中阴影部分的周长为，
故选：B．
9.如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（ ）
A.2B.
C.D.4
【答案】C
【解析】连接，
则，
∵四边形菱形，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，
又∵是切线，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10.如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（ ）
A.的面积B.的面积
C.四边形的面积D.的面积
【答案】B
【解析】∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即可求的面积，
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.已知线段，，则a、b的比例中项线段等于_____．
【答案】
【解析】∵，，
∴的比例中项线段为；
故答案为：．
12.古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为________．
【答案】
【解析】∵共有6个数字，其中4有2个，
∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为．
故答案为：．
13.如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为_______．
【答案】
【解析】，
，
，
为的直径，与相切于点，
，
，
，
，
故答案为：．
14.抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．
【答案】且
【解析】∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
15.如图①，已知扇形，作如下操作：步骤1：以O，B为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2：直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，(如图②)经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是_______．
【答案】
【解析】由作图可得，直线垂直平分，，，
∴，，
由勾股定理可得：，
设扇形的半径为，则，的度数为，
∵扇形面积，
∴，
∴，
∴扇形的面积是,
故答案为：．
16.如图，在矩形中，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为_______，线段长度的最小值为_______．
【答案】 10
【解析】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，连接，
则，
∵矩形，，E，F分别为，边的中点，
∴，，，，
∴
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小，
∴的最小值为；
∵点P的速度是点Q的速度的2倍，
∴当点P运动到点A时，点Q运动到点N，
∴在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为，
∴，
故答案为：10，．
三、解答题（本题共8题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.计算：．
解：原式
．
18.作图题：上有三个点，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出你的结论．
（1）在下图中作一个的角；
（2）在下图中作一个的角；
（3）在下图中作一个的角．
解：（1）连接，，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：，
∴即为所求；
（2）在上任取一点，由圆内接四边形性质可得，
∴即为所求；
（3）如图，
延长交于点，连接，，
∴，，
∴，
∴即为所求．
19.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）∵AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
解得AB=9．
20.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，无人机测得操控者的俯角为75°，测得小区楼房顶端点处的俯角为45°．已知操控者和小区楼房之间的距离为70米，此时无人机距地面的高度为74.6米，求小区楼房的高度．
（参考数据：，，）
解：过点作于点，过点作于点
由题意知：∠DAE=75°
在中，
∴（米）
∴（米）
∵四边形是矩形
∴米
在中，
∴是等腰直角三角形
∴米
∴（米）
故小区楼房的高度24.6米．
21.问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时．
问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是．筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过后，该盛水筒旋转到点处．
问题解决：
（1）求该筒车半径．
（2）当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离．
解：（1）如图，过圆心作交于点，交于点．
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点分别作交于点．
由题知，到水面的距离是，即，
，
，
，
又
，
，
．
22.
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为直线．
，
，
把点代入抛物线得：，
把代入得：．
解得：，
，
∴水流抛物线的函数表达式为：；
任务二、不能，
圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，．
，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三、
当时，，
解得：或（负值，不符合题意，舍去），
圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，
，
即．
23.已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
解：（1）∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或
综上，或．
（3）如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．
24.如图1，四边形内接于，为直径，，，交于点E，，过点O作，垂足为G，交于点H．
（1）求的半径；
（2）当时，求的值；
（3）延长交的延长线于点Q，当时，求的长．
解：（1）∵为直径，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴,
，
∴的半径；
（2）∵过点作，
∴，
∵，
∴为的中位线，
，
∵，
∴,
∴，
在和中,
，
，
，
，
；
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，，
，
设 ，则，
，
，
，
，
解得： (负值不合题意，舍去)，
，
连接，如图，
，
，
由（2）知：为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
由（1）得的半径是；
∴
，
∴．制作简易水流装置
设计方案
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一
求水流抛物线函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．