初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）实际问题与二元一次方程组第3课时导学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）实际问题与二元一次方程组第3课时导学案，共4页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
2.利用路程、速度、时间之间的关系解决实际问题感知数学在实际生活中的应用.
【学习重点】认识行程问题中的数量关系,列方程解决问题
【学习难点】用方程组刻画和解决实际问题.
【自主学习】
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 11 min，从学校到家里需 14 min. 问小华家离学校多远?
【合作探究】
探究点一、行程问题
问题1：路程、时间、速度三者之间有什么关系?
问题2：怎么表示上坡所用时间，平路所用时间，下坡所用时间? 它们和总用时有什么关系?
填一填：设未知数 x，y 并填写下表：
追问：你能列出二元一次方程组并解决问题吗?
【典型例题】
例1 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少?
要点归纳
【典型例题】
例2 两地相距 280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用 14 h，逆流用 20 h.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
要点归纳
探究点二、其他问题
例3 如下图 ，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连，这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地，已知长绒棉的进价为 3.08 万元/t，纺织面料的出厂价为 4.25 万元/t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5200 元，铁路运费 16640 元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元?
分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买 x t 长绒制成 y t 纺织面料.
根据题中数量关系填写下表：
题目所求的数值是________________________________.
为此需先解出_____________与_______________.
由上表 ，列得方程组：
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多___________元.
归纳总结：对于复杂的实际问题，可以通过_____的方法将所有的数量关系进行整理，发现等量关系，列出方程组.
【典型例题】
例4 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

课堂检测
1. 甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇.已知小轿车比大客车每小时多行驶20千米，设大客车每小时行驶x千米，小轿车每小时行驶y千米，则可列方程组为( )
A.x−y=20①，6x+4y=880② B.y−x=20 ①，6x+4y=880② C.y−x=880 ①，6x+4y=20② D.y−x=20 ①，6x+4y=880②
2. A，B两码头之间的距离为120千米，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，则水流速度是______千米/时.
3. 甲、乙两人匀速骑车从相距60千米的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，则甲在出发后6小时追上乙，则甲的速度为_______千米/时.
4.一个两位数，两个数位上的数字一个是另一个的2倍.若把此两位数的两个数字对调，所得新数比原数大27，则此两位数是_______.
5. 某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘出租车走了10千米，付车费21.2元.”
乙说：“我乘出租车走了14千米，付车费27.6元.”
(1)出租车起步价是多少元？超过3千米的部分每千米收费多少元？
(2)小张乘出租车走了5.5千米，应付车费多少元？
6. 如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(单位 cm)

参考答案
【合作探究】
探究点一、行程问题
问题1 路程 = 速度×时间 问题2 所用时间=对应的路程÷对应的速度；
上坡、平路、下坡所用时间加起来就是总用时.填一填 0m y m x m 0 m
追问 x60+y80=11①x60+y40=14② x=480①y=240②
答：小华家离学校有 720 m.
【典型例题】例1 解：设甲的速度是每小时 x km，乙的速度是每小时 y km.
2x−2y=4 ①0.5x+0.5y=4② x=5 ①y=3②
答：甲的速度是每小时 5 km，乙的速度是每小时 3 km.
例2 解：设这艘轮船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h.
14（x+y）=280①20（x−y）=280② x=17 ①y=3 ②
答：这艘轮船在静水中的速度为 17 km/h，水流速度为 3 km/h.
探究点二、其他问题
例3 分析 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x+20y) 0.2×120x 0.2×110y
0.2(120x+110y） 30800x 42500y
纺织面料的销售额-(原料费+运输费) x(原料数量) y(纺织面料数量)
0.5（10x+20y）=5200 ①0.2（120x−110y）=16640 ② x=400 ①y=320 ②
42500×320-(400×30800+5200+16640)=1258160(元) 1258160
例4 解：设安排生产螺钉的工人 x 名，生产螺母的 y 名.
x+y=22 ①1200x×2=2000y ② x=10 ①y=12 ②
答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.
课堂检测
1.D 2. 3 3. 20 4. 36
5.解：(1)设出租车起步价是x元，超过3千米的部分每千米收费y元，
x+(10−3)y=21.2①x+(14−3)y=27.6② x=10 ①y=1.6 ②
答：出租车起步价是10元，超过3千米的部分每千米收费1.6元.
(2) 解：10＋(5.5－3)×1.6＝14(元)
答：小张乘出租车走了5.5千米，应付车费14元.
6.解：设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm，
x+y=60①x=3y ② x=45 ①y=15 ②
答：每块小长方形地砖的长和宽分别是 45 cm，15 cm.上坡路程
平路路程
下坡路程
总用时
家里到学校
x
y
11min
学校到家里
14min
行程问题
基本数量关系
路程=速度×时间
运动方向
相向而行、同向而行、背向而行
相遇问题
总路程=快车的路程+慢车的路程
追及问题
追及距离=快车的路程-慢车的路程
流水行船类问题
顺水速度=静水船速+水速 逆水速度=静水船速-水速
静水船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
x t长绒棉
y t纺织面料
合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元