初中沪教版（五四制）（2024）整式的乘法一课一练

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知识点一
多项式与多项式相乘
★1. 法则
一般地，多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
★2. 式子表示
★3. 运算顺序
例如,可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘,得,再用单项式与多项式相乘的法则展开即

题型一 计算多项式乘多项式
1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则展开，然后再合并同类项即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
2．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算．
【详解】解：
．
故答案为：．
3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式的积中项的系数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘法法则的应用，根据多项式乘以多项式法则可知，相乘后积中的项为，然后再合并同类项即可，解题的关键是确定出的项．
【详解】根据多项式乘以多项式的法则可知，多项式的积中是项的是：
，
，
，
故答案为：．
5．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值．
【答案】4
【分析】本题考查多项式乘多项式，先对等式左边进行变形得，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出值．
【详解】解：
∵，
∴，解得：
6．（23-24七年级上·上海闵行·期中）解不等式：，并求出最小整数解．
【答案】，最小整数解为0
【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的最小整数解，先根据整式的乘法化简，然后根据不等式的性质进行计算即可求解．
【详解】解：
即，
∴，
解得：，
∴最小整数解为
题型二 (x+p) (x+q)型多项式乘法
1．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．根据，、为整数，可得、有组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断．
【详解】解：，
，
即，
、为整数，，
，或，或，或，或，或，，
或或或或或，
即的值为，，，不可能为，
故选：B．
2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．5D．1
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【详解】解：
故选：．
3．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
故选B．
4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ）
A．11B．13C．8D．7
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，找到常数项的所有可能分解结果，即可进行判断．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴的最大值为
故选：A
5．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
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题型三 已知多项式乘积不含某项求字母的值
1．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）要使多项式与的乘积中不出现一次项，那么下列各式正确的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
，由题意得，然后作答即可．
【详解】解：，
∵多项式与的乘积中不出现一次项，
∴，
故选：A．
2．（23-24七年级上·上海松江·期中）若的展开式化简后不含项，则常数a的值是 ．
【答案】
【分析】先运用多项式乘多项式法则展开合并同类项后，根据不含项，即项系数为0，即可作答．
【详解】解：，
因为不含项，
所以，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）若的乘积中不含和项， ．
【答案】4
【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，即可求出答案．
【详解】解：
，
∵其结果中不含和项，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
4．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求、的值．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式中的不含某项问题．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算是关键．
【详解】解：
乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，
，
．
5．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含和项，求、得值．
【答案】，
【分析】求多项式乘多项式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可．
【详解】解：
，
∵展开式中不含和项，
∴，，
解得，，．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算．
6．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与
【答案】
【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项与一次项系数为0，即可求出与的值．
【详解】解：
∵积不含的项，也不含的项，
∴，
∴解得：．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键．
7．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．
求：
(1)系数与的值；
(2)二项式与的积．
【答案】(1)系数的值为，系数的值为
(2)
【分析】（1）先计算，得，再根据关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于与的方程，解方程即可得到答案；
（2）把与的值代入即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，
，
解得：，
系数的值为，系数的值为；
（2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为，
二项式与的积为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．
题型四 多项式乘多项式一一化简求值
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
2．已知，则的值为 ．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：2025．
3．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中，
【答案】，
【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当，时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】
，
∵，
∴原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键．
5．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
6．先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当时，原式．
题型五 多项式乘多项式与图形面积
1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张．
【答案】10
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据大长方形的面积及A、B、C三类纸片的面积可进行求解．
【详解】解：长为、宽为的长方形的面积为，
正方形A的面积为，正方形B的面积为，长方形C的面积为，
∴需要A、B类纸片各6张，C类纸片10张；
故答案为10．
2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．
(1)________．
(2)的商是________，余式是________．
(3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查整式乘法和除法；根据题意找出规律是解决此题的关键．
（1）根据题意，结合法则找规律计算即可；
（2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可；
（3）利用面积关系求长方形的边长即可．
【详解】（1）解：，
用竖式计算如下：
故答案为：；
（2）解：．用竖式计算如下，
的商是，余式是，
故答案为：；
（3）长方形的周长为：，
长方形的周长为：，
∵长方形的周长是周长的2倍，
，
，
∴长方形的面积为：，
∴长方形的面积为：，
∴长方形的另一边长为：，
∴长方形的另一边长为：．
3．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．
例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式．
例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式．
(1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ．
(2)已知，请利用（1）中的结论，求的值．
【答案】(1)
(2)14
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值；
（1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解．
【详解】（1）解：由图得；
故答案：；
（2）解：由（1）可知：
，，
，
解得：．
4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．
(2)当，时，求阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，由，即可求解；
（2）将，代入计算，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：
长方形的长为：，
长方形的宽为：，
大正方形的长为：，
；
（2）解：，，
．
5．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积；
（2）当，时，代入（1）中代数式计算即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
；
（2）当，时，原式．
6．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

(1)当，，，时，__________，__________．
(2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示）
(3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示）
【答案】(1)，
(2)，
(3)b
【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】（1）解：，
，
，，，，
，
；
故答案为：，；
（2）解：，，
，
；
故答案为：，；
（3）解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
题型六 多项式乘法中的规律性问题
1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是求解代数式的值，多项式的乘法运算中的规律问题，熟练的利用特值法求解代数式的值是解本题的关键；本题令代入可得答案．
【详解】解：∵
令，
∴，
即；
故答案为：；
2．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空：
我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子，
__________．
__________．（结果按字母x降幂排列）
__________．（结果按字母x降幂排列）
……
观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”．
利用“贾宪三角”可知：__________．
“贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）．
【答案】，，，，
【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可．
【详解】解 ：由题意知，．
．
．
利用“贾宪三角”可知：．
∵第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
第5个数为，
……
∴可推导一般性规律为：第n个数是．
故答案为：，，，，．
3．阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题．
多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如
（乘法分配律）
（合并同类项）
则叫做的展开式，叫做的展开式．
(1)计算的展开式；
(2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）；
(3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）．
【答案】(1)
(2)的展开式是二次三项式；的展开式是三次四项式；是n次项式
(3)的系数之和为，证明见解析
【分析】（1）按照完全平方公式，将展开即可；
（2）将展开，然后得出是几次几项式即可，按照多项式乘法运算法则将展开，得出这个展开式是几次几项式即可；找出规律推测是几次几项式即可；
（3）根据展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，……得出的展开式中各项系数之和即可，设，令，，则，得出，从而证明结论．
【详解】（1）解：
，
∴的展开式为．
（2）解：∵，
∴的展开式是二次三项式；
∵
，
∴的展开式是三次四项式；
由的展开式是二次三项式，的展开式是三次四项式，推测是n次项式．
（3）解：的系数之和为，理由如下：
∵展开式的各项系数之和为，
展开式的各项系数之和为，
展开式的各项系数之和为，
展开式的各项系数之和为，
……
∴展开式的各项系数之和为；
设，
令，，
则，
∴，
即展开式的各项系数之和为．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算．
4．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为 ．
(2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值；
(3)如果，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可；
（2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可；
（3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可．
【详解】（1）解：一次项系数为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得一次项系数，
解得；
（3）解：的一次项系数为，
．
【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键．
5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶

(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键.
（1）根据题意得到规律即可；
（2）由即可得到答案；
（3）设①，则②，①＋②后即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
故答案为：
（2）由题意可得， ，
∴
故答案为：
（3）设①
则②
①＋②得，
∴
解题技巧提炼
计算多项式乘以多项式时,要正确应用运算法则，避免漏乘项.避免的方法是在合并同类项之前,数一下积的项数，它应该等于两个多项式的项数之积.
解题技巧提炼
.
解题技巧提炼
不含某项字母的值，实际就是其前面的系数为0，再利用方程解出字母的值.
解题技巧提炼
先利用多项式乘多项式的运算法则将代数式化简，并将已知的字母的值代入计算结果.
解题技巧提炼
图形面积问题先将整个图形拆分成部分图形，根据部分图形面积等于整个图形面积，再根据多项式乘多项式的运算法则进行求解.
解题技巧提炼
规律性探究问题，先读懂题意，理解数学原理，再根据提示步骤进行计算求值.