初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.1.2 幂的乘方与积的乘方优质ppt课件

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地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
请分别求出下列两个正方形的面积.
幂的乘方的法则(较简单的)
请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想.
(32)3= ___ ×___ ×___ =3( )+( )+( ) =3( )×( ) =3( )
猜想：(am)n=_____.
(am)n= amn　(m，n都是正整数)
即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
am · an = am+n
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015.
(2) (a2)4 = a2×4 = a8 .
(3) (am)2 =am·2=a2m .
(4)–(x4)3 =–x4×3=–x12.
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6 .
(6)[(–x)4]3= (–x)4×3 = (–x)12 = x12.
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”.
计算：① (103)7；② (b3)4；③ (xn)3；④ –(x7)7
=103×7=1021
= –x7×7= –x49
=(–x)3×3= –x9
=(–x)5×4=(–x)20=x20
(–a5)2表示2个–a5相乘，结果没有负号.
(–a2)5和(–a5)2的结果相同吗?为什么?
(–a2)5表示5个–a2相乘，其结果带有负号.
幂的乘方的法则(较复杂的)
下面这道题该怎么进行计算呢？
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(–a)2(–a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18.
(2) a2(–a)2(–a2)3＋a10
= –a2·a2·a6＋a10
= –a10＋a10 = 0.
先乘方，再乘除，最后算加减
有关幂的乘方的混合运算
与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
计算：(1) (x3)4·x2 ； (2) 2(x2)n–(xn)2 ；(3)[(x2)3]7 ； (4)[(–m)3]2 ·(m2) 4.
(1)原式= x12 ·x2 = x14.
(2)原式= 2x2n –x2n =x2n.
(3)原式=(x6)7 = x42.
(4)原式=(–m)3×2·m2×4 = m6·m8 = m14.
例2 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求值的式子正确变形，然后代入已知条件求值即可.
指数中含有字母的幂的乘方的计算
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y–3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵2x＋5y–3＝0，∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
例3 比较3500,4400,5300的大小.
分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,可以考虑逆用幂的乘方法则.
解: 3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100. ∵256100>243100>125100, ∴4400>3500>5300.
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种: 1. 底数相同,指数越大,幂就越大; 2. 指数相同,底数越大,幂就越大. 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
比较大小：233____322
233=(23) 11=811
，322=(32) 11=911 .
∵811＜911，∴233＜322.
1．(a2)3=　　 ；(b4)2=　　.
2. 下列各式的括号内，应填入b4的是( )A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2
3．下列计算中，错误的是( )A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7C．[(a–b)3]n＝(a–b)3n D．[(a–b)3]2＝(a–b)6
4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( )A．4 B．3 C．2 D．1
解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(–a)3]5＝(–a)15＝–a15.
(4)–(x2)m＝–x2m.
(1)5(a3)4–13(a6)2；(2)7x4·x5·(–x)7＋5(x4)4–(x8)2；(3)[(x＋y)3]6＋[–(x＋y)2]9.
解：(1)原式＝5a12–13a12＝–8a12.
(2)原式＝–7x9·x7＋5x16–x16＝–3x16.
(3)原式＝(x＋y)18–(x＋y)18＝0.
已知3x+4y–5=0,求27x·81y的值.
解:∵3x+4y–5=0, ∴3x+4y=5. ∴27x·81y=(33)x·(34)y =33x·34y =33x+4y =35 =243.　
已知a=355,b=444,c=533,试比较a，b，c的大小.
解: a=355=(35)11=24311, b=444=(44)11=25611, c=533=(53)11=12511. ∵256>243>125, ∴b>a>c.
(am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m
P101 习题2、3、4题