选择性必修 第一册空间向量的应用精品精练

这是一份选择性必修 第一册空间向量的应用精品精练，文件包含人教A版2019高二数学选择性必修第一册141用空间向量研究直线平面的位置关系思维导图知识梳理常见题型解析版docx、人教A版2019高二数学选择性必修第一册141用空间向量研究直线平面的位置关系思维导图知识梳理常见题型-学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
一、空间中直线、平面的平行
(1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔
(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，则l∥α⇔
(3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔
知识点01：利用向量证明线线平行的思路：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
知识点02：证明线面平行问题的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
知识点03：证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)一个平面的法向量与另一个平面的两条相交直线垂直．
二、空间中直线、平面的垂直
(1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔.
(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， ，则l⊥α⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
(3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔.
知识点05：证明两直线垂直的思路：
证明线线垂直只需证明两条直线的方向向量垂直即可．
知识点06：用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：
(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
知识点07：用坐标法证明面面垂直的方法：
证明两个平面的法向量互相垂直．
【题型1 利用空间向量证明线线平行】
【例1】（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知Ax,1,2,B3,y,0，若直线l的方向向量v=-1,-2,2与直线AB的方向向量平行，则x+y=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】求出AB，再利用AB//v，解得得到关于x、y的方程，求解即可.
【解答过程】因为Ax,1,2,B3,y,0， 所以AB=3-x,y-1,-2，
由已知AB//v，v=-1,-2,2，
所以3-x-1=y-1-2=-22，即3-x-1=-1y-1-2=-1，解得x=2y=3，
所以x+y=5.
故选：D.
【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E=2EB1，BF=2FA1．求证：EF∥AC1．
【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证.
【解答过程】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设DA=a，DC=b，DD1=c，则得下列各点的坐标：
Aa,0,0，C10,b,c，D10,0,c，B1a,b,c，Ba,b,0，A1a,0,c.
由D1E=2EB1即D1E=2EB1，可得：E23a,23b,c，
由BF=2FA1，即BF=2FA1，可得：Fa,b3,23c．
∴FE=-a3,b3,c3，AC1=-a,b,c，∴FE=13AC1．
又FE与AC1不共线，∴EF∥AC1．
【题型2 利用空间向量证明线面平行】
【例2】．是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．D．15
【答案】A
【分析】由，得到，求解即可；
【详解】由，得，即，解得.
故选：A
【变式2.1】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP=2，D是AP的中点，E,F,G分别为PC,PD,CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，试用向量方法证明AP ∥平面EFG.
【解题思路】建立空间直角坐标系，求出AP的方向向量和平面EFG的法向量即可求解.
【解答过程】法一：由题意可知底面ABCD为正方形，
因为PD⊥平面ABCD，DA,DC⊂平面ABCD，所以DA,DC,DP两两垂直，
如图以D为原点，以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz，
则有关点及向量的坐标为：
P0,0,2，C0,2,0，G1,2,0，E0,1,1，F0,0,1，A2,0,0，
AP=-2,0,2，EF=0,-1,0，EG=1,1,-1，
设平面EFG的法向量为n=x,y,z，
则n⋅EF=-y=0n⋅EG=x+y-z=0，取x=1可得平面EFG的一个法向量为n=1,0,1，
因为n⋅AP=-2+0+2=0，又AP在平面EFG外，
所以AP ∥平面EFG.
法二：由题意可知底面ABCD为正方形，
因为PD⊥平面ABCD，DA,DC⊂平面ABCD，所以DA,DC,DP两两垂直，取AD中点H
如图以D为原点，以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz，
则有关点及向量的坐标为：
P0,0,2，C0,2,0，G1,2,0，H1,0,0，F0,0,1，A2,0,0，
AP=-2,0,2，HF=-1,0,1， 则
又,
所以AP ∥平面EFG.
法三：由题意可知底面ABCD为正方形，
因为PD⊥平面ABCD，DA,DC⊂平面ABCD，所以DA,DC,DP两两垂直，取AD中点H
如图以D为原点，以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz，
则有关点及向量的坐标为：
P0,0,2，C0,2,0，G1,2,0，E0,1,1，F0,0,1，A2,0,0，
AP=-2,0,2，EF=0,-1,0，EG=1,1,-1，
假设存在实数
，
，解得，所以
【题型3 利用空间向量证明面面平行】
【例3】．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为2B．最大值为
C．最小值为D．最小值为2
【答案】B
【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
则存在唯一实数，使得，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D//平面FCC1．

【解题思路】先根据直棱柱及DM⊥CD建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证．
【解答过程】法一：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
所以BF=BC=CF，所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=CD=2，
所以∠BAD=∠ABC=60°．
取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则D0,0,0，D10,0,2，A3,-1,0，F3,1,0，C0,2,0，C10,2,2，
所以DD1=0,0,2，DA=3,-1,0，CF=3,-1,0，CC1=0,0,2，
所以DD1//CC1，DA//CF，所以DD1//CC1，DA//CF
又因为CC1⊂平面FCC1，DD1⊄平面FCC1，所以DD1//平面FCC1，
因为DA//CF，CF⊂平面FCC1，DA⊄平面FCC1，所以DA//平面FCC1，
又DD1∩DA=D，DD1,DA⊂平面AA1D1D，所以平面AA1D1D//平面FCC1.
法二：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
所以BF=BC=CF，所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=CD=2，
所以∠BAD=∠ABC=60°．
取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则D0,0,0，D10,0,2，A3,-1,0，F3,1,0，C0,2,0，C10,2,2，
所以DD1=0,0,2，DA=3,-1,0，CF=3,-1,0，CC1=0,0,2，
的一个法向量，
则,
所以
令
的一个法向量，
则,
所以
令
所以
【题型4 利用空间向量证明线线垂直】
【例4】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥l的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得.
【解答过程】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B,D1，
对于A，B(2,2,0),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,1,0)，直线l的方向向量a=(2,2,-2)，

MN=(1,-1,-2)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，A不是；
对于B，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,-2)，M(0,1,2),N(2,0,1)，

则MN=(2,-1,-1),显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，B不是；
对于C，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,-2)，M(0,2,1),N(1,0,0)，

则MN=(1,-2,-1),显然MN⋅a=0，MN⊥l，C是；
对于D，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,-2)，M(2,0,1),N(1,2,0)，

则MN=(-1,2,-1),显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，D不是.
故选：C.
【变式4.1】（24-25高二上·北京·期中）直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，如图，建立空间直角坐标系.
(1)求BN的坐标及BN的长；
(2)求证：A1B⊥C1M.
【解题思路】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长；
（2）由（1）求A1B,C1M，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.
【解答过程】（1）由题意可知：A1,0,0,B0,1,0,C0,0,0,A11,0,2,B10,1,2,C10,0,2,M12,12,2,N1,0,1，
则BN=1,-1,1，可得BN=12+-12+12=3，
所以BN的长为3.
（2）由（1）可得：A1B=-1,1,-2,C1M=12,12,0，
因为A1B⋅C1M=-12+12+0=0，
所以A1B⊥C1M.
【题型5 利用空间向量证明线面垂直】
【例5】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知直线l的方向向量为a=1,1,2，平面α的法向量为n=2,2,4，则l与α的关系是（ ）
A．l⊥αB．l//αC．l与α相交D．l//α或l⊂α
【解题思路】判断a,n的关系，再利用空间位置关系的向量证明判断即得.
【解答过程】由向量a=1,1,2，n=2,2,4，得n=2a，即a//n，
所以l⊥α.
故选：A.
【变式5.1】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F．求证：PB⊥平面EFD．

【解题思路】DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，法一：由PB⋅DE=0，得PB⊥DE，又由PB⊥EF，由线面垂直的判定证明PB⊥平面EFD；法二：设Fx,y,z，由EF⊥PB得EF⋅PB=0，结合PF//PB，求得F坐标，从而得到平面EFD的法向量n，由PB//n得PB⊥平面EFD．
【解答过程】因为PD⊥平面ABCD，DA,DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DA,PD⊥DC，
又因为底面ABCD是正方形，所以DA⊥DC，
所以DA，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，

设DC=PD=1，
则P0,0,1，A1,0,0，D0,0,0，B1,1,0，E0,12,12．
所以PB=1,1,-1，DE=0,12,12，EB=1,12,-12．
法一：因为PB⋅DE=1,1,-1⋅0,12,12=0+12-12=0，所以PB⊥DE，所以PB⊥DE，
又因为PB⊥EF，EF∩DE=E，EF,DE⊂平面EFD，
所以PB⊥平面EFD．
法二：设Fx,y,z，则PF=x,y,z-1，EF=x,y-12,z-12．
因为EF⊥PB，所以EF⋅PB=x+y-12-z-12=0，
即x+y-z=0．①
又因为PF//PB，可设PF=λPB0≤λ≤1，所以x=λ，y=λ，z-1=-λ．②
由①②可知，x=13，y=13，z=23，所以EF=13,-16,16．
设n=x1,y1,z1为平面EFD的法向量，
则有n⋅EF=0n⋅DE=0，即13x1-16y1+16z1=012y1+12z1=0，所以x1=-z1y1=-z1，取z1=1，则n=-1,-1,1．
所以PB//n，所以PB⊥平面EFD．
【题型6 利用空间向量证明面面垂直】
【例6】．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解.
【详解】设为空间内一点，且，
由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部），
故不妨取为其法向量，则，，
所以，取代入得到，故D正确.
故选：D.
【变式6.1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C=CB=CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱C1C,B1C1的中点．证明：平面ACE⊥平面A1BD．
【解题思路】以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面ACE与平面A1BD的法向量分别为m,n，求出m,n，可得m⋅n=0，即可证明.
【解答过程】如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),E(0,1,2),D(0,0,1)，
所以CA=(2,0,0),AE=(-2,1,2),DA1=(2,0,1),DB=(0,2,-1)．
设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z)，
则m⃗⋅DA1⃗=0m⃗⋅DB⃗=0，即2x+z=02y-z=0，令x=-1，
可得平面A1BD的一个法向量m=(-1,1,2)．
设平面ACE的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅CA=0n⋅AE=0，即2a=0-2a+b+2c=0，令b=2，
可得平面ACE的一个法向量n=(0,2,-1)．
因为m⋅n=-1×0+1×2+2×(-1)=0，
所以m⊥n，
所以平面ACE⊥平面A1BD．
【题型7 平行、垂直综合的向量证明】
【例7】以下命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则
【答案】C
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，求解即可判断A、B；由已知推得，即可根据法向量的关系，得出平面位置关系；根据已知得出，求出向量的坐标代入求解，得出，即可判断D.
【详解】对于A项，因为，
所以不垂直，所以l与m不垂直，故A错误；
对于B项，因为，
所以，所以或不垂直，故B错误；
对于C项，因为，
所以，所以，故C正确；
对于D项，因为，，向量是平面的法向量，
所以，，即，解得，故D错误.
故选：C.
【变式7.1】．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可.
【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面，
，
，为的中点，
，
， 平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，
设，则，，，
若，则，解得，
所以存在，使得直线，此时.
【变式7.2】．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，．
(1)若F为的中点，求证：平面；
(2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系；
（2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解.
【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，，
由题意知．
因为平面平面，平面，，平面平面，
所以平面，所以平面，则，，
又为等边三角形，所以．
故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
，，
，，
所以.又因为平面，
所以平面．
（2）设存在点N，使平面，
设，，则，
，
所以．
由（1）知，，，
设平面的法向量为，
由，
得，令，则，
由平面，得．
所以，解得．
所以当时，平面．
【变式7.3】．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．
(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；
(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可.
【详解】（1）证明：设的中点为，连接，
因为P为的中点，Q为的中点，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
（2）在直三棱柱中，平面，，
故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
则，，
又，则，
所以，
若平面，则，
则，解得，
所以线段上存在点P，使得平面，此时.
专题训练
一、单选题
1．已知向量，分别是直线､的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】因为，则､的方向向量的数量积为0可得．
【详解】由题意，即，代入各选项中的值计算，只有C满足．
故选：C.
2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）
A．异面B．平行C．垂直D．相交但不垂直
【答案】B
【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解.
【详解】由，，，，
得，，则，即，
而，显然向量不共线，即点不在直线上，
所以直线与平行．
故选：B
3．平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由直线平面，从而可知，设从而进行计算求解，即可得到答案.
【详解】由题意知直线平面，所以，因为，则设，所以，
又因为是单位向量，所以，解得，
所以，故B正确.
故选：B.
4．已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为（ ）
A．平面ABCB．l与平面ABC相交，但不垂直
C．直线BCD．平面ABC或平面ABC
【答案】D
【分析】计算可判断A，判断与是否平行可判断C，求出平面的一个法向量，由法向量与的关系可判断BD．
【详解】，与不垂直，也即与不垂直，所以直线与平面不垂直，A错；
，因此不存在实数，使得，所以与不平行，即直线与直线不平行，C错；
设是平面的一个法向量，
则，取，则，，
所以，所以直线与平面平行或在平面内，B错D正确．
故选：D．
5．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为2B．最大值为
C．最小值为D．最小值为2
【答案】B
【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
则存在唯一实数，使得，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
二、多选题
6．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【分析】确定是否共线判断A；由空间向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D.
【详解】对于A，当时，，显然不共线，因此与平面不垂直，A错误；
对于B，由，得，则，即，B正确；
对于C，当时，，则，C正确；
对于D，当时，，，
因此在上的投影向量为，D正确.
故选：BCD.
7．如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．三棱锥的体积是定值
D．不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量方法，证明线线垂直关系，空间中点与点的距离问题，以及点到面的距离，和线线夹角的余弦值，逐一判断各选项正误.
【详解】以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设，则；
因为，故，所以正确.
因为 所以，
，
当时，取得最小值为，所以B错误.
因为，平面平面，则平面
所以三棱锥的体积为，故C正确.
因为，
所以，
设与的夹角为，
则
因为，所以，故不存在点P使直线与直线夹角的余弦值为 故正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．两平面的法向量分别为，若，则的值是 .
【答案】6
【分析】根据可得，由此可求结果.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：.
9．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是
【答案】
【分析】根据题设，可求得平面的法向量，注意到点在平面内，即可由平面方程得到答案.
【详解】由题意可知：
平面的法向量为，点在平面内，
根据平面的方程公式可得：，
化简得：.
故答案为：.
10．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，再找出轨迹，即可求出轨迹长度.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，因为棱长为2，所以,
又,
所以平面,
又因为,所以圆锥母线与高的夹角为, 又点O为的中点，
且,在直角三角形中，
,所以Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，所以轨迹长度为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：求证平面，分析与夹角为的条件，结合（1）看出点Q的轨迹，计算出轨迹的长度
四、解答题
11．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可；
【详解】（1）

取的中点，连接，
因为矩形ABCD，，，
所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
（2）

作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，
由（1）得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以
所以存在点N，使得平面ADM，.
12．如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用线线平行来证明线面平行即可；
（2）利用空间向量坐标运算，把点在面内转化为点与面内另一点的直线向量与法向量垂直，从而利用数量积为0来求解.
【详解】（1）
证明：连接，，由于，，故，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图，取中点，连接MQ，由于平面，，
因此平面，又因为，所以，
故MB，MC，MQ两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
，，
设平面的法向量为，
则，即，可取，则，
设，则，
若点在平面内，则，
因此，解得，
故棱AC上存在点，使得点在平面内，此时.