人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用巩固练习，共53页。
考点一：空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．
2.空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta，①
把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3.空间中平面的向量表示式
平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).我们称为空间平面ABC的向量表示式．
考点二 空间中平面的法向量
平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
考点三： 空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
考点四：空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2. 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
知识点三 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
【题型归纳】
题型一：平面的法向量的求法
1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面经过点和，是平面的法向量，则实数（ ）
A．3B．C．D．
3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A．B．C．D．
题型二：空间中点、直线和平面的向量表示
4．（2021·全国·高二专题练习）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ）
A．②④B．②③C．①③D．①②
5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（ ）
A．(1，－1,1)B．(1,3，)
C．(1，－3，)D．(－1,3，－)
6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
题型三：空间中直线、平面的平行
7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面B．平面C．D．
8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．平面与所有坐标轴相交D．原点一定不在平面内
9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（ ）
A．当时，平面B．当时，平面
C．当为直角三角形时，D．当的面积最小时，
题型四：空间中直线、平面的垂直
10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知、分别为直线、的方向向量（、不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中不正确的是（ ）
A．；B．；
C．D．
11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面､的法向量分别为，，则
D．平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则
12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（ ）
A．，，（）B．存在实数k，使得
C．D．
题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题
13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．
(1)判断PQ与BD的位置关系；
(2)求的最小值．
14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.
(1)若，证明：直线平面PAB：
(2)线段PD上是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由
15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（ ）
A．1B．2C．D．
17．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．B．C．D．或
18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//B．C．//平面D．平面
19．（2022·全国·高二）有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
21．（2022·全国·高二）已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标．
22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【高分突破】
一：单选题
23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．D．或
24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面的一个法向量为=（2，－2，4）， =（－1，1，－2），则AB所在直线l与平面的位置关系为（ ）
A．l⊥B．
C．l与相交但不垂直D．l∥
25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（ ）．
A．点P的坐标为B．
C．可能为D．
26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且，
B．，，且
C．，，且
D．，，且
27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，点为线段的中点，点，分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设，是两条直线，，分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.
③平面的法向量分别为，则.
④平面经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.
其中真命题的序号是（ ）
A．②③B．①④C．③④D．①②
30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点，，在平面内，，1，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．，，B．C．D．
31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不确定
32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A．B．
C．或D．与相交但不垂直
二、多选题(共0分)
33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱中，分别为，的中点，点是棱上一动点，则（ ）
A．对于棱上任意点，有
B．棱上存在点，使得面
C．对于棱上任意点，有面
D．棱上存在点，使得
34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．顶点到平面的最大距离为B．存在点，使得平面
C．的最小值D．当为中点时，为钝角
35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若存在实数使则点共面
36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体中，，，点M，N分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．向量共面
C．平面
D．若AB=1，则该平行六面体的高为
37．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则
B．若，分别是不重合的两平面的法向量，则
C．若，分别是不重合的两平面的法向量，则
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．异面直线与的距离是定值
D．
40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，分别是平面，的法向量，则
B．若，分别是平面，的法向量，则
C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
三、填空题
41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．
42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．
43．（2022·全国·高二课时练习）已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________.
①；②；③；④.
44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
45．（2022·全国·高二课时练习）向量分别代表空间直角坐标系与轴同方向的单位向量，若，，若与垂直，则实数______．
46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______．
48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P是所在的平面外一点，，，，给出下列结论：
①；
②；
③是平面的一个法向量；
④，其中正确结论的个数是__________．
四、解答题
49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．
(1)求证：；
(2)若、E、F、四点共面，求证：．
50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E､F､G分别为AB､SC､SD的中点.若，.
(1)求；
(2)求；
(3)判断四边形AEFG的形状.
51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD；
(2)平面；
(3)平面．
52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．
(1)分别指出平面PAD、平面PAB的一个法向量；
(2)若，试在图中作出平面PDC的一个法向量；
(3)是否有可能是直角三角形？
(4)根据法向量判断平面PBC与平面PDC是否有可能垂直．
53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.
(1)证明：；
(2)若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.
【答案详解】
1．A
【解析】
【分析】
设法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
由题意可得,
设经过直线和点平面的法向量为，
则，
令，则 ，
所以，
所以经过直线和点平面的法向量为.
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
由是平面的法向量，可得，即可得出答案.
【详解】
解：，
因为是平面的法向量，
所以，
即，解得.
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.
【详解】
是正方形，且，
，
，
，，，，
，，
又，
，，
平面的法向量为，
则，得，，
结合选项，可得，
故选：C.
4．B
【解析】
【分析】
求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确.
【详解】
由，，，，2，，，2，，知：
在①中，，故①不正确；
在②中，，，，故②正确；
在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；
在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.
【详解】
对于选项A，，则，故排除A；
对于选项B，，则
对于选项C，，则，故排除C；
对于选项D，，则，故排除D；
故选:B
6．B
【解析】
【分析】
利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.
【详解】
解：空间任意一点和不共线的三点，，，且
则,,,四点共面等价于
若，，，则，所以,,,四点共面
若,,,四点共面，则，不能得到，，
所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件
故选B.
【点睛】
本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断；
对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断；
对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断.
【详解】
解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；
对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，
所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；
对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为与不是共线向量，且，
所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，，所以，故或，故A选项错误；
对于B选项，，所以，故或，故B选项错误；
对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与所有坐标轴相交，故正确；
对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点与平面关系，故错误.
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
【详解】
解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以
对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；
对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；
当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；
设到的距离为，则，
当的面积最小时，，故正确．
故选：．
10．B
【解析】
【分析】
按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可.
【详解】
A选项：因为、不重合，所以，A正确；
B选项：或，B错误；
C选项：，C正确；
D选项：因为，不重合，所以，D正确.
故选：B.
11．D
【解析】
【分析】
判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
对于A，因为，所以与不垂直，A错误；
对于B，因为，不成立，所以B错误；
对于C，因为与不平行，所以不成立，C错误；
对于D，，，由，，解得，，所以，D正确.
故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
由空间直线垂直时方向向量，即可确定充要条件.
【详解】
由空间直线垂直的判定知：.
当时，即，两直线与垂直.
而A、B、D说明与平行.
故选：C
13．(1)PQ与BD的位置关系是平行
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ与BD的位置关系；（2）用含参数的表达式求出，进而求出最小值.
(1)
以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．
因为P、Q均在平面上，所以设，，
则，，．
因为，，
所以
解得:
所以，，
即，，
所以PQ与BD的位置关系是平行．
(2)
由（1）可知：，，
所以．
当时，有最小值，最小值为．
14．(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；
（2）利用向量法计算，判断出点M不存在.
(1)
如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
则
若，则，
因为平面ABCD，所以
又因为
所以平面PAB
平面PAB的其中一个法向量为
所以，即
又因为平面
所以平面
(2)
不存在符合题意的点M，理由如下：
设平面PCD的法向量
则
不妨令，则
设，即
则
解得或，不满足，故不存在符合题意的点M.
15．(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点， F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.
(1)
证明：如图所示：
连接，，取的中点为M，连接，ME，
因为E为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为F为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以B，E，，F四点共面；
(2)
以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，
则，，，
设平面BEF的一个法向量为，
则，即，
取，则；
设平面GEF的一个法向量为，
则，即，
取，则；
因为平面平面BEF，
所以，
所以，
所以.
所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.
16．B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设出，根据垂直和唯一的点E得到方程由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出.
【详解】
如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，
则，
则，
因为在棱上有唯一的一点E使得，
所以在上有唯一的解，
令，可知，
故要想在上有唯一的解，只需，
因为，所以解得：
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
求出，即与平行，从而求出
【详解】
因为，即与平行，
所以直线与平面垂直.
故选：B
18．B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
19．A
【解析】
【分析】
根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.
【详解】
因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；
当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；
因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；
若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.
故选：A
20．A
【解析】
【分析】
由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.
【详解】
解：设正方体的边长为1，则，，，，，，
对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确；
对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确；
对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确；
对④：因为，，，，，
所以平面的一个法向量为不正确.
故选：A.
21．（不唯一）
【解析】
【分析】
由题设，、是直线、的方向向量，设面的法向量，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.
【详解】
由题设，直线、的方向向量分别为、，而，
所以直线、不平行，
设与两直线，都平行的平面的一个法向量，
所以，令，则.
故与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标.
22．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据面面垂直的性质证明平面，可得，再将用表示，再根据向量数量积的运算律证明，即可得证；
（2）根据（1），根据，将用表示，从而可得出答案.
(1)
证明：在矩形中，，
因为平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面，
又因平面，所以，
，
所以，
所以；
(2)
解：因为，
所以，
则，
即的长为.
23．C
【解析】
【分析】
推导出，利用空间向量法可得出线面关系.
【详解】
因为，，则，即，因此，.
故选：C.
24．A
【解析】
【分析】
由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系．
【详解】
因为，所以，所以．
故选：A．
25．C
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.
【详解】
建立空间直角坐标系如图：
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，
取，可得.
因为，，，
所以平面，
因为平面
所以平面平面，
所以，所以.
综上所述，A，B，D错，C正确.
故选：C
26．C
【解析】
【分析】
利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.
【详解】
对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；
对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；
对于C，，，且，则，故C正确；
对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.
故选：C.
27．D
【解析】
【分析】
以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据向量垂直的坐标表示求得，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围.
【详解】
解：因为平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，
所以以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，
设，，
所以，，又，所以，即，
整理得，
所以，又，所以，
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解.
【详解】
由题意可得，分别是平面α，β的法向量，所以等价于，
即“”是“”的充要条件．
故选：C.
29．B
【解析】
【分析】
依据题意得到：①求数量积，得到，即；②求数量积，可得到，故或；③利用与的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到，解出，，进而可求解．
【详解】
①，所以，即，所以①正确．
②，所以，所以或，所以②错误．
③因为，且，所以与是相交的．所以③错误．
④因为，，是平面的法向量，A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，
所以．所以，即，
解得，，所以．所以④正确．
故选：B.
30．B
【解析】
【分析】
根据题意可得，依次验证是否满足即可.
【详解】
设，，，则，，；
由题意知，，则，
，化简得.
验证得，在A中，，不满足条件；
在B中，，满足条件；
在C中，，不满足条件；
在D中，，不满足条件.
故选：B.
31．A
【解析】
【分析】
根据两个平面的法向量平行即可判断出平面与平面平行.
【详解】
对于平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
因为，所以平行.
又表示不同的平面，
所以平面与平面平行.
故选：A
32．C
【解析】
【分析】
由，知，从而确定l与的位置关系.
【详解】
因为，所以，
所以l与的位置关系是或，
故选：C.
33．AD
【解析】
【分析】
对于A，连接，证明平面即可；对于B，建立空间直角坐标系，判断MN与BN是否可能垂直即可；对于C、D，当N是AC中点时，MN∥DE，即可判断.
【详解】
A选项：
连接，由题可知四边形是正方形，则，
由题知平面平面，平面平面，，平面ABC，
∴平面，又，∴，
又，平面，∴平面，
∵平面，∴.
故A正确；
B选项：
如图建立空间直角坐标系，设AC＝BC＝＝2，
则，，，，，设，，则，，
若BN⊥MN，则，即，方程无实数根，即BN与MN不垂直，则不存在点N，使得平面，B错误；
C选项：
当N是AC中点时，MN∥，∥DE，∴MN∥平面；
当N不是AC中点时，MN和B1C相交，若∥平面，结合∥平面可知平面∥平面，这显然与图形不符(与AC相交)，故此时与平面不平行；故C错误；
D选项：
由C项可知，N为AC中点满足题意，故D正确.
故选：AD.
34．ABC
【解析】
【分析】
对A，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断A；
对B，当平面，则，则有，求出，即可判断B；
对C，当时，取得最小值，结合B即可判断C；
对D，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断D.
【详解】
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则，
则，故，
则，
，
对于A，，
设平面的法向量，
则有，
可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，
，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故A正确.
当平面，
因为平面，所以，
则，解得，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，取得最小值，
由B得，此时，
则，，
所以，
即的最小值为，故C正确；
对于D，当为中点时，
则，，
则，，
所以，
所以为锐角，故D错误；
故选：ABC.
35．AD
【解析】
【分析】
对于A：先计算出，判断出，即可证明与垂直；对于B：判断出，即可得到不成立；对于C：判断出不垂直，即可得到不成立；对于D： 不共线，由平面向量基本定理可以判断；共线时，可以判断共线，则点共面也成立.即可判断.
【详解】
对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，
且，所以，所以与垂直.故A正确；
对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正确；
对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；
对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；
若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立.
综上所述：点共面.故D正确.
故选：AD
36．AD
【解析】
【分析】
选定空间的一个基底，表示出相关向量，计算数量积判断A，C；利用共面向量定理判断B；求出正四面体的高判断D作答.
【详解】
在平行六面体中，令，不妨令，
依题意，，，
因点M，N分别是棱的中点，则，
，有，A正确；
，若向量共面，则存在唯一实数对使得，
即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；
因，，
因此，与不垂直，不垂直平面，C不正确；
连接，依题意，，即四面体是正四面体，
因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，
由知，由选项A知，，
则平面，是平面的一个法向量，，
，则，
所以平行六面体的高为，D正确.
故选：AD
37．ABD
【解析】
【分析】
由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.
【详解】
对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；
对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；
对于C，，故，可得l在α内或，C错误；
对于D，，易知，故，故，D正确.
故选：ABD.
38．ACD
【解析】
【分析】
A选项，由线面垂直的定义可判断正确；
B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；
C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；
D选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.
【详解】
对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以，∴，A正确；
对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；
对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴或∴，C正确；
对于D选项，两平面垂直它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确.
故选：ACD.
39．ABD
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
则，
，
所以，，
设，
则，
因为，故，故A正确；
，，
当时，取得最小值为，故B正确；
因为，平面，平面，则平面，
所以点到平面的距离为异面直线与的距离，
设平面 的一个法向量为，
则，即，取，
所以，故C错误；
因为，
，
所以，
，
则，
因为，则，故D正确；
故选：ABD
40．ACD
【解析】
【分析】
根据平面的法向量与平面的关系依次判断即可得出答案.
【详解】
对A，若，分别是平面，的法向量，则，故A正确B错误；
对C，若是平面的法向量，则与平面的任意直线的方向向量均垂直，所以，故C正确；
对D，若两个平面垂直时，它们的法向量垂直是真命题，所以它的逆否命题“若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直”也是真命题，故D正确.
故选：ACD.
41．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【详解】
设法向量为，
则有，
令得：，所以
故答案为：
42．垂直或
【解析】
【分析】
由题意可得与共线，从而可得答案
【详解】
因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，
所以与共线，，
所以直线l与平面的位置关系为垂直，
故答案为：垂直或
43．①②③④
【解析】
【分析】
根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断即可；
【详解】
解：因为､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量；
直线，的方向向量平行（垂直）等价于直线､平行（垂直），故①、②正确；
平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确；
故答案为：①②③④
44．
【解析】
【分析】
利用空间直角坐标系可知，平面A′C′D内的P满足， PM=PD的P满足，则可得，P是△A′C′D内（包括边界），则，点P的轨迹线段．
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量
则有，令，则
则
设，则
∵，则
又∵PM=PD，则
整理得：
联立方程，则
可得，可得
当时，，当时，
在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面
两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则
故答案为：．
45．6
【解析】
【分析】
根据空间向量垂直的条件即可求得的值.
【详解】
解：由题意可得：
，向量的坐标表示为，
若与垂直，，解得.
故答案为：6
46．
【解析】
【分析】
先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.
对于（1）（2）：直接求出方向向量；
对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；
对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.
【详解】
由题意可得：,,..
由图示，可得：，，，，，，
（1）直线BC的一个方向向量为，
（2）点OD的一个方向向量为；
（3）,.设为平面BHD的一个法向量，
则，不妨设，则.
故平面BHD的一个法向量为.
（4）因为，，，，
所以的重心坐标为.
故答案为：（1）；（2）；（3）（4）.
47．-2
【解析】
【分析】
由已知可得，即，计算即可得出结果.
【详解】
因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，
所以，解得.
故答案为：-2.
48．
【解析】
【分析】
只需验证两组空间向量的数量积为即可判断垂直，可判断①②的正误；由①②及线面垂直的判定可判断③的正误；由空间向量的减法的坐标运算可得的坐标，由空间向量共线定理可判断④的正误．
【详解】
解：，，，
①，所以，故①正确；
②，所以，故②正确；
③由①②知，，，平面，
所以，是面的一个法向量，故③正确；
④，因为，故④错误．
故答案为：．
49．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由证明；
（2）根据、E、F、四点共面，设求解；
(1)
解：由已知得，，，，
则，，
∴，
∴，
即．
(2)
，，．
设，
由解得，．
所以．
50．(1)；
(2)；
(3)矩形.
【解析】
【分析】
（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得，应用向量模长的坐标运算求；
（2）由（1）得，，利用向量夹角的坐标表示求；
（3）由知AEFG是平行四边形，再根据的关系确定AEFG的形状.
(1)
以D为原点，分别以射线DA､DC､DS为x轴､y轴､z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则､､､､､，
所以，则.

(2)
由（1）知：，，
所以；
(3)
由，故四边形AEFG是平行四边形，
又，则，即，而，
所以四边形AEFG是矩形.
51．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
（1）由于平面，所以为平面的一个法向量，
（2）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量，
（3）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量
(1)
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
所以平面的一个法向量为，
(2)
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
(3)
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则
所以平面的一个法向量为
52．(1)是平面的一个法向量，是平面的一个法向量；
(2)取的中点，连接，是平面的一个法向量；
(3)不可能；
(4)不可能.
【解析】
【分析】
(1)证明AB⊥平面PAD，证明AD垂直平面PAB；
(2)取的中点，连接，证明AE⊥平面；
(3)不妨设，表示出利用余弦定理分别判断，是否为直角；
(4)以为原点，分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面平面PBC与平面PDC的法向量，判断法向量的数量积是否为零即可.
(1)
平面平面平面，
，
又平面平面，
平面，即是平面的一个法向量.
同理，可证得平面是平面的一个法向量；
(2)
取的中点，连接，则.
在矩形中，∥，由(1)知平面，
平面平面，.
又平面平面，
平面，即是平面的一个法向量；
(3)
不妨设，则结合已知可得，
根据余弦定理可得：
，
，
同理，；，
，即不可能是直角三角形；
(4)
由(1)知所在直线两两垂直，∴以为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
令，则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，，取，则
设平面的法向量为，
则，，取，则；
，
与不可能垂直，即平面与平面不可能垂直.
53．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.
(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.
(1)
在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
因E为棱上的动点，则设，，而，
，即，
所以.
(2)
由(1)知，点，，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
显然有，则，而平面，因此，平面，
于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，
所以直线BE到平面的距离是.