数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用达标测试，共8页。试卷主要包含了给定下列命题，其中正确的命题是等内容，欢迎下载使用。
基础篇

1．(5分)(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2)
2．(5分)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝eq \f(15,2)
3.(5分)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，则平面ABC的一个法向量中，竖坐标为1的是____________．
4.(5分)已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________.
5．(5分)若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
6．(5分)设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
7．(5分)如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，那么( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
8．(5分)若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
9．(5分)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
10．(5分)平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
11.(5分)已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
提升篇
12．(5分)已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
13．(5分)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，2，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，－\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
14．(5分)(多选)给定下列命题，其中正确的命题是( )
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，且向量a⊂α，则a·n＝0
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
15.(5分)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
16.(5分)已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则x，y，z满足的条件为____________．
17.(5分)已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
18.(15分)在正三棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面EFG⊥平面PBC.
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（练习）
(60分钟 100分)
基础篇

1．(5分)(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2)
AC 解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，4，6)＝2(1，2，3)＝－2(－1，－2，－3)，故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(－1，－2，－3)．
2．(5分)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝eq \f(15,2)
D 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以存在λ∈R，使a＝λb，
则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy，
所以x＝6，y＝eq \f(15,2).
3.(5分)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，则平面ABC的一个法向量中，竖坐标为1的是____________．
(3，3，1) 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
因为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，1，3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－1，0)．
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＋y＋3z＝0，,x－y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3z，,x＝y.))
令z＝1，则x＝y＝3.
故n＝(3，3，1)是平面ABC的一个法向量．
4.(5分)已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________.
eq \f(3,2) eq \f(3,2) 解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，2－y，z－3)，eq \(AB,\s\up6(→))∥v，故eq \f(－1,2)＝eq \f(2－y,－1)＝eq \f(z－3,3)，故y＝eq \f(3,2)，z＝eq \f(3,2).
5．(5分)若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
C 解析：因为l∥α，所以l的方向向量与平面α的法向量垂直．故2×1＋eq \f(1,2)×m＋1×2＝0，解得m＝－8，故选C.
6．(5分)设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
C 解析：因为α∥β，所以eq \f(1,－2)＝eq \f(2,－4)＝eq \f(－2,k)，
所以k＝4，故选C.
7．(5分)如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，那么( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
B 解析：因为a·b＝－4＋4＝0，
所以a⊥b.又因为l⊄α，所以l∥α.
8．(5分)若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
A 解析：因为a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，
所以a∥b，所以α∥β.
9．(5分)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
B 解析：因为n＝－2a，所以n∥a，所以l⊥α.
10．(5分)平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
C 解析：因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，
所以两法向量垂直，从而两平面也垂直．
11.(5分)已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
－9 解析：因为l⊥α，所以u⊥v，所以(1，－3，z)·(3，－2，1)＝0，即3＋6＋z＝0，所以z＝－9.
提升篇
12．(5分)已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C 解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，4，－1)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.
所以eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→)).故△ABC为直角三角形．
又|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(AC,\s\up6(→))|，故选C.
13．(5分)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，2，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，－\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
B 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，))取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2，2)．因为|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3))).
14．(5分)(多选)给定下列命题，其中正确的命题是( )
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，且向量a⊂α，则a·n＝0
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
ACD 解析：B中，若α∥β，则n1∥n2，B错误，其他选项正确．
15.(5分)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
－3 解析：因为α∥β，
所以u1∥u2.
所以eq \f(－3,6)＝eq \f(y,－2)＝eq \f(2,z).
所以y＝1，z＝－4.
所以y＋z＝－3.
16.(5分)已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则x，y，z满足的条件为____________．
x＋y＋z＝3 解析：由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1，1)．
因为P∈α，所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))，
所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，
所以x＋y＋z＝3.
17.(5分)已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
0 解析：因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，
a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，
b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0.
所以a，b，c中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．
18.(15分)在正三棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面EFG⊥平面PBC.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)．
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq \(EG,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥eq \(EF,\s\up6(→))，n⊥eq \(EG,\s\up6(→)).
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＋z＝0，,x－y－z＝0.))令y＝1，得z＝－1，x＝0，即平面EFG的一个法向量n＝(0，1，－1)．
显然eq \(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量．
又n·eq \(PA,\s\up6(→))＝0，所以n⊥eq \(PA,\s\up6(→))，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.