高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用复习练习题，共22页。试卷主要包含了空间向量的应用等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,
所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
2．设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补，
所以.
故选：B
3．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
设(x，y，z)，,，
则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
故选：A.
5．如图所示，在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示：
∵平面，
∴是与底面所成角，
∴．
∵底面，
∴是与底面所成的角，
∴．
连接，，则．
∴或其补角为异面直线与所成的角．
不妨设，则，
，
∴，．
在等腰中，,
所以面直线和所成角的余弦值为.
故选：A.
6．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．垂直D．不确定
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
所以，
故选：A
7．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
8．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，
以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，
则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0,0.1)，
由，设，则，
记直线与平面ABCD所成角为，
则
设，
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，
故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
C．若，则可知
D．在四面体中，若，，则
【答案】CD
【解析】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；
对于B，当时，，不是直线的方向向量，所以B错；
对于C，
⇒⇒，所以C对；
对于D，如图，
过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，
连AO交BC于N，连BO交AC于T，，
同理为垂心，所以，
从而，所以D对；
故选：CD.
10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：① ；② ；③ 是平面的法向量；④ ．其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ABC
【解析】，所以，所以，故① 正确；
，所以，所以，故②正确；
因为与不平行，，所以是平面
所以是平面的法向量，故③正确．
因为，
因为，所以与不平行，故④错误．
所以选项ABC正确，
故选：ABC
11．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）.
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
【答案】ABC
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，
则由，，，，
，，所以，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解.
因此不存在点，使与平面垂直，
故选：ABC.
12．正三棱柱中，，则（ ）
A．与底面的成角的正弦值为
B．与底面的成角的正弦值为
C．与侧面的成角的正弦值为
D．与侧面的成角的正弦值为
【答案】BC
【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；
设，则.
.
．底面的其中一个法向量为，
与底面的成角的正弦值为，错对．
的中点的坐标为,
∴侧面的其中一个法向量为，
与侧面的成角的正弦值为：，
故对错；
故选：BC．

三、本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
【答案】．
【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
14．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
【答案】0
【解析】因为，
，
.
所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．
故答案为：0.
15．已知异面直线m，n的方向向量分别为＝(2，－1，1)，＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则 λ的值为 ______ ．
【答案】
【解析】由，
两边平方，化简得6λ＝7，解得．
故答案为：．
16．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为_______.
【答案】（0，1，1）
【解析】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴DA，DC，DS两两垂直，
如图以D为原点，以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
则D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），
＝（0，﹣2，0）.＝（0，﹣2，2）.，
设＝＝（0，﹣2λ，2λ），＝＝（﹣，﹣2λ，2λ）.
∠ABM＝60°，可得：cs60°＝＝＝，
解得λ＝，＝（0，﹣1，1），＝（0，1，1），M（0，1，1）.
故答案为：（0，1，1）.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（-1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则＝＝．
则
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（1）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2．
【解析】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，
PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，
AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），M（0，，），
＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），
设平面ACM的法向量，
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
∵4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），
设平面CDP的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（1，1，1），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，
则|csθ|＝＝，
∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．
（3）设，（0≤λ≤1），
则，
∴，
，平面CDP的法向量，
∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
∴| |＝＝＝，
解得λ＝，
∴．
19．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【解析】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM⊂平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
20．如图所示的五面体中，四边形ABCD是正方形，DA⊥平面ABEF，AB∥EF，AE⊥AF，DA＝AF＝1，AE＝，P，Q分别为AE，BD的中点．求证：PQ∥平面BCE．
【答案】证明见解析
【解析】
证明：∵AE＝，AF＝1，AE⊥AF，∴∠AEF＝30°．
∵AB∥EF，
∴∠EAB＝30°．
以A为原点，AE，AF，AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则E(，0，0)，B(，－，0)，D(0，0，1)，C(，－，1)，
∴＝(－，－，0)，＝(0，0，1)．
设平面BCE的法向量为＝(x1，y1，z1)．
由
得
令x1＝1，得平面BCE的一个法向量为＝(1，－，0)．
∵P，Q分别为AE，BD的中点，
∴P(，0，0)，Q(，－，)，
∴＝(－，－，)，
∴·＝－＋＝0，
∴⊥，又PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
21．在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足.
（1）证明：平面.
（2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）分别取中点，连结.
在梯形中，且，且分别为中点
∴， ∴，
∴四边形是平行四边形 ∴
又，为中点，∴为中点，
又为中点 ∴∴
又平面，平面 ∴平面
（2）在平面内，过作交于.
平面平面，平面平面，平面，，
∴平面 ∴即为四棱锥的高，
又底面面积确定，所以要使多面体体积最大，即最大，此时
过点作，易知，，两两垂直，
以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系
则，，
设为平面的一个法向量，则
，所以，取
设为平面的一个法向量，则
，所以，取
所以，
由图，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.
22．已知三棱柱中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.
【解析】（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，
，所以，四边形为菱形，
连接，则，又，且，平面，
平面，，
又，即，，平面，
平面，平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
、、、，
设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，
，
，，
设平面的一个法向量为，由，
取，可得，，得，
平面的一个法向量为，
由，
整理可得，即，
，解得.
故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为．